湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市新洲區(qū)部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為集合，，所以.故選：D.2.若角的終邊經(jīng)過函數(shù)（且）的圖象上的定點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意令，得，而此時，所以，角的終邊經(jīng)過定點，所以，所以.故選：C.3.已知指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，若，，，則m，n，p的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)是減函數(shù)，可知，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)可知，即，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，即，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，即，.故選：B.4.已知扇形的面積為5，周長為9，則該扇形的圓心角為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】依題意，解得或，故圓心角為或.故選：C.5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以是偶函數(shù)，故A，C錯誤；，選項B符合函數(shù)，D不符合.故選：B.6.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，因為，所以，所以，即，所以，即，所以故選：C.7.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，由于，所以的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，當(dāng)時，為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以是增函數(shù)，則，由是奇函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，由得，即，則，解得或，所以不等式的解集為.故選：D.8.設(shè)，，且，則（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以，又，所以，所以，由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，滿足條件等式，所以，，即，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小?給出的選項中，有多項符合遇目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題中正確的是（）A.若且，則為第二象限角B.C.若，則（）D.若角的終邊在第一象限，則的取值集合為【答案】ABD【解析】若，則為第二或四象限角，又，則為第一或二象限角或終邊為y軸非負(fù)半軸，則為第二象限角，故A選項正確；，B選項正確；當(dāng)時，滿足，此時，不滿足（），故C選項錯誤；角的終邊在第一象限，則角的終邊在第一或第三象限，當(dāng)角的終邊在第一象限時，，當(dāng)角的終邊在第三象限時，，故則的取值集合為，D選項正確.故選：ABD.10.下列結(jié)論中，所有正確的結(jié)論有（）A.若，則B.若，則的最小值為C當(dāng)時，D.若，，，則【答案】BD【解析】對于A：當(dāng)時，若，有，不滿足條件，故A錯誤；對于B：，設(shè)，則，因為在上單調(diào)遞增，所以時，取最大值，即時，有最小值為，故B正確；對于C：當(dāng)時，，不滿足，故C錯誤；對于D：，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實根，則實數(shù)可能的取值有（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】如圖所示，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象和直線，如圖：當(dāng)時，方程無解，當(dāng)或時，方程有唯一解，當(dāng)時，方程有兩個解，而一元二次方程最多有兩個根，由題意若關(guān)于的方程有4個不同的實根，則當(dāng)且僅當(dāng)，一元二次方程在時，有兩個不同的根，令，所以，解不等式組得或，對比選項可知實數(shù)可能的取值有.故選：ACD.12.定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為2 B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的值域為 D.方程有6個根【答案】BC【解析】對于A，因為當(dāng)時，，所以，故，故A錯誤；對于B，定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)滿足，所以，則關(guān)于對稱，又，即的最小正周期為4，則函數(shù)在上的單調(diào)性與單調(diào)性相同，由在上單調(diào)遞增知，函數(shù)在上遞增，故B正確；又當(dāng)時，，結(jié)合對稱性與周期性作出函數(shù)的圖象，如圖，由圖可知函數(shù)的值域為，故選項C正確；作出的圖象，由圖知兩函數(shù)共有5個交點，可得方程有5個根，則D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則____________．【答案】【解析】【詳析】由冪函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，解得，當(dāng)時，，此時為奇函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時，，此時為偶函數(shù)；當(dāng)時，，此時為奇函數(shù)，不滿足題意，綜上所述，．故答案為：.14.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為________________.【答案】【解析】由題意函數(shù)的定義域為，所以要使函數(shù)有意義，則，解得，即函數(shù)的定義域為.故答案為：.15.函數(shù)，的值域是________________.【答案】【解析】，令，則函數(shù)為，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，所以，所以的值域為.故答案為：.16.若關(guān)于的不等式有且僅有兩個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是________________________________.【答案】【解析】①當(dāng)時，解得，不符合題意；故，關(guān)于的不等式，即，②當(dāng)時，不等式即，解得或，即它的解集為，不滿足題意；③當(dāng)時，不等式即，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故它的解集為，，由題意，即，解得或，則實數(shù)取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.計算：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.18.已知.（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1），又因為，所以，即，所以為第二或第三象限角，當(dāng)為第二象限角時，，，當(dāng)為第三象限角時，，.（2），即，，由，得.19.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求函數(shù)的最大值與最小值，并分別寫出取最大值與最小值時相應(yīng)的取值集合；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.解：（1）依題意有即，為奇函數(shù)，滿足題意，當(dāng)時取最小值；當(dāng)時取最大值2.（2）依題意，若單調(diào)遞減，則，，又，令得其減區(qū)間為與.20.1999年以來，漳州市連續(xù)每年11月18日承辦海峽兩岸花卉博覽會，開創(chuàng)了兩岸花卉直接交流的先河．近年來，漳州市委、市政府高度重視花卉苗木產(chǎn)業(yè)的培育和發(fā)展，將花卉苗木產(chǎn)業(yè)納入全市“千百億產(chǎn)業(yè)培育行動計劃”，出臺了多項扶持政策．某花卉苗木企業(yè)積極響應(yīng)市里號召，決定對企業(yè)的某花卉進(jìn)行一次評估．已知該花卉單價為15元，年銷售10萬棵．（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少4000棵，要使銷售的總收入不低于原收入，該花卉每棵售價最多為多少元？（2）為了抓住此次契機，擴大該花卉的影響力，提高年利潤，企業(yè)決定立即對該花卉進(jìn)行種植技術(shù)革新和營銷策略改革，擬投入x（）萬元作為技改費和宣傳費用，每棵售價定為（x+15）元，預(yù)估每棵成本為元，銷售量與投入費用的函數(shù)關(guān)系近似為S（x）萬棵．試問：投入多少萬元技改費和宣傳費能獲得最高利潤，此時利潤是多少萬元？（利潤＝銷售額－成本－技改費和宣傳費）解：（1）設(shè)每棵花卉售價為元，依題意，有，即，又，于是有，即，因此該花卉每棵售價最多為25元．（2）依題意，設(shè)利潤為萬元，則，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即，所以，從而有當(dāng)時，有最大值113，所以投入3萬元技改費和宣傳費時，可獲得最高利潤113萬元．21.已知函數(shù)是上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)，的值；（2）判斷函數(shù)單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（3）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，所以，所以，又，即，所以，當(dāng)，時，，此時，所以為奇函數(shù)，故，.（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：因為，設(shè)，則，因為，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.（3）因為為奇函數(shù)，所以不等式可變形為，又在上單調(diào)遞增，所以，即對任意，有恒成立，令，則，所以，，故，所以，故實數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)和函數(shù).（1）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）是否存在非負(fù)實數(shù)，，使得函數(shù)的定義域為，值域為，若存在，求出，的值；若不存在，則說明理由；