湖南省長沙市瀏陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省長沙市瀏陽市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線的斜率，所以該直線的傾斜角為.故選：B2.“”是“2，，8成等比數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】2，，8成等比數(shù)列，等價(jià)于，所以“”是“2，，8成等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A3.已知等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于（）A.42 B.50 C.72 D.90【答案】C【解析】根據(jù)題意，等差數(shù)列中，，則．故選：C4.如圖，在平行六面體中,為的中點(diǎn)，則用向量可表示向量為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：.故選：B.5.已知直線的方向向量是，平面的法向量是，則與的位置關(guān)系是（）A. B.C.與相交但不垂直 D.或【答案】D【解析】由直線的方向向量是，平面的法向量是，得，即，所以或.故選：D6.作圓上一點(diǎn)處切線，直線與直線平行，則直線與的距離為（）A.4 B.2 C. D.【答案】A【解析】將點(diǎn)代入圓的方程：，所以點(diǎn)在圓上，因?yàn)椋簣A心，所以直線的斜率：，所以：切線的斜率為：，的方程為：，即：，又因?yàn)椋褐本€與直線平行，所以：.所以：直線與直線的距離：，故A項(xiàng)正確.故選：A.7.已知點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】拋物線中，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)在拋物線外，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，過作直線的垂線，垂足為，連接，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取等號，所以點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到該拋物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值為.故選：C8.直線交橢圓于兩點(diǎn)，為橢圓上異于的點(diǎn)，，的斜率分別為，且，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)點(diǎn)，則根據(jù)橢圓的對稱性知點(diǎn)，顯然，由與，相減得，整理得，而，于是，所以，所以該橢圓的離心率為.故選：A二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.已知雙曲線，則下列關(guān)于雙曲線的結(jié)論正確的是（）A.實(shí)軸長為6 B.焦距為5C.離心率為 D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為4【答案】AD【解析】由雙曲線，可得，則，可得雙曲線的實(shí)軸長為，焦距為，離心率為，所以A正確，B、C不正確；又由雙曲線的漸近線方程為，即，且焦點(diǎn)，不妨設(shè)右焦點(diǎn)，漸近線為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，所以D正確.故選：AD.10.在平面上，動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)滿足（且），則的軌跡是個(gè)圓，這個(gè)圓稱作為阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)滿足，記的軌跡為圓.則下列結(jié)論正確的是（）A.圓方程為：B.過點(diǎn)作圓的切線，則切線長是C.過點(diǎn)作圓的切線，則切線方程為D.直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值是【答案】ABD【解析】對于A，由題意點(diǎn)，，因?yàn)?，所以，即，所以?dòng)點(diǎn)M的軌跡圓C的方程為，正確；對于B，由選項(xiàng)A知圓心，半徑，設(shè)切點(diǎn)為D，所以，則，因?yàn)椋?，即過點(diǎn)作圓的切線，切線長是，正確；對于C，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，因?yàn)?，所以過點(diǎn)的切線斜率為，所以切線方程為，即，錯(cuò)誤；對于D，由，可得，聯(lián)立，解得，即該直線恒過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，由圖知，當(dāng)軸時(shí)，此時(shí)，有最小值是，正確.故選：ABD11.如圖所示，在棱長為1的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）A.直線與所成的角為B.直線與平面所成的角為C.直線與平面平行D.平面截正方體所得的截面面積為【答案】AC【解析】對選項(xiàng)A：如圖1所示，連接，，，，則，，，故是平行四邊形，故，即，為直線與所成的角，為等邊三角形，故，正確；對選項(xiàng)B：如圖2所示，為中點(diǎn)，連接，，，故為平行四邊形，故，平面，則為直線與平面所成的角，，故，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)C：如圖3所示，為中點(diǎn)，連接，，，，則，，故為平行四邊形，故，平面，平面，故∥平面，同理可得∥平面，，故平面∥平面，平面，故直線與平面平行，正確；對選項(xiàng)D：如圖4所示，連接，，，則，，，故為平行四邊形，故，則，則梯形為平面截正方體所得的截面，，，，等腰梯形的高為，，錯(cuò)誤；故選：AC12.關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A.是的極大值點(diǎn)B.函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C.對不等式在上恒成立D.對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則【答案】BC【解析】對于A，，，令，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，為的極小值點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對于B，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，B正確；對于C，若在上恒成立，得在上恒成立，則令，則，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，即，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)，則，C正確；對于D，令，，則在上單調(diào)遞減，則，即，，，結(jié)合A選項(xiàng)可得，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知空間向量，則______．【答案】【解析】空間向量，所以.故答案為：14.已知直線的傾斜角，直線，則的斜率為__．【答案】【解析】∵直線的傾斜角，直線，∴的傾斜角為，∴的斜率為，故答案為:．15.在數(shù)列中，，則______.【答案】【解析】由得，又，則數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，得，所以，所以.故答案為：16.已知實(shí)數(shù)，滿足,則代數(shù)式的最大值為______.【答案】【解析】因?qū)崝?shù)，滿足，，故可知點(diǎn)的軌跡是以為兩焦點(diǎn)的橢圓，軌跡方程為：，故可設(shè)該橢圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）則，故當(dāng)時(shí)，取得最大值為故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.矩形ABCD兩條對角線相交于點(diǎn)，AB邊所在直線的方程為，點(diǎn)在AD邊所在直線上．（1）求AD邊所在直線的方程；（2）求矩形ABCD外接圓E的方程．解：（1）因?yàn)锳B邊所在直線的方程為，且AD與AB垂直，所以直線AD的斜率為－3又因?yàn)辄c(diǎn)在直線AD上，所以AD邊所在直線的方程為，即；（2）由，解得：，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為，因?yàn)榫匦蜛BCD兩條對角線的交點(diǎn)為，所以點(diǎn)M為矩形ABCD外接圓圓心．又因?yàn)椋瑥亩匦蜛BCD外接圓E的方程為.18.如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）在正四棱柱中，以為原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)椋?，，所以，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為．（2），設(shè)平面的一個(gè)法向量為．則，得，取，得，，故平面的一個(gè)法向量為．于是，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.綜合應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡．這種望遠(yuǎn)鏡的特點(diǎn)是，鏡筒可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚．例如，某天文儀器廠設(shè)計(jì)制造的一種鏡筒長為2m的反射式望遠(yuǎn)鏡，其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示．其中，一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為拋物線，另一個(gè)反射鏡弧所在的曲線為雙曲線的一個(gè)分支．已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，其中同時(shí)又是拋物線的焦點(diǎn)，試根據(jù)圖示尺寸（單位mm），分別求拋物線和雙曲線的方程．解：對于雙曲線，有，，，，雙曲線的方程為；拋物線的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，拋物線的方程為．20.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若求數(shù)列的前項(xiàng)和解：（1），，成等差數(shù)列，，即，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，是等比數(shù)列，，則，得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，；（2），則前項(xiàng)和，，兩式相減可得，化簡可得．21.如圖，正三角形與菱形所在的平面互相垂直，，，是的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）已知點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角為，求出的值．解：（1）連接，∵，是的中點(diǎn)，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，菱形中，，所以是正三角形，∴．∴、、兩兩垂直．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以，點(diǎn)到平面的距離為.（2）由題意可知，平面的一個(gè)法向量為，，，設(shè)，，則，∵直線與平面所成的角為，，整理可得，解得，所以，．22.已知函數(shù)．（1）若在