江蘇省南通市海安市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南通市海安市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意集合是奇數(shù)集合，所以.故選：A.2.命題：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命題：“”為存在量詞命題，它的否定是.故選：C.3.若的終邊與的終邊垂直，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榈慕K邊與的終邊垂直，且，所以，則.故選：B.4.已知某種放射性元素在一升液體中的放射量（單位：）與時(shí)間（單位：年）近似滿足關(guān)系式且.已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則據(jù)此估計(jì)，這種放射性元素在一升液體中的放射量為10時(shí)，大約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.50 B.52 C.54 D.56【答案】B【解析】由題知，，解得，所以，由，得.故選：B.5.函數(shù)的最小值為（）A.0 B.1 C. D.2【答案】B【解析】，由于在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，又，即分段處端點(diǎn)值相等，故在處取得最小值，最小值為.故選：B.6.已知函數(shù)在上的圖象不間斷，則“”是“在上是增函數(shù)”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，顯然滿足，，但在上不是增函數(shù)；若在上是增函數(shù)，則，，所以，是在上是增函數(shù)的必要不充分條件.故選：C.7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，，，所以.故選：D.8.已知函數(shù)為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)，得，則，由函數(shù)為奇函數(shù)，得，因此，所以.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】求函數(shù)零點(diǎn)，令，即，分別畫出函數(shù)與函數(shù)的圖像，得到兩圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖像可知，有兩個(gè)零點(diǎn)，分別在區(qū)間和區(qū)間上；區(qū)間上的零點(diǎn)顯而易見，令，，所以，，，所以，所以，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，在存在零點(diǎn).故選：AC.10.已知，則（）A.的最大值為1 B.的最大值為1C.的最小值為2 D.的最小值為3【答案】ABD【解析】對于A，令，由二次函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，故A正確；對于B，原式可化為，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值1，即B正確；對于C，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，但此時(shí)不為實(shí)數(shù)，故無法取等號(hào)，即無法取到最小值2，故C錯(cuò)誤；對于D，易知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ABD.11.將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱【答案】ACD【解析】由題意可得，則函數(shù)的最小正周期為，A正確；當(dāng)時(shí)，，由于在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，即在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)取到最小值，故的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；將代入中，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，將的圖象向上平移個(gè)單位，即得到的圖象，故的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，D正確.故選：ACD.12.設(shè)定義在上的函數(shù)滿足：①當(dāng)時(shí)，；②，則（）A. B.為減函數(shù)C. D.【答案】ACD【解析】對于A，在中，令得，，解得，故A正確；對于B，令，則，此時(shí)有，即，即為增函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，令得，，故C正確；對于D，由基本不等式得，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，由B選項(xiàng)分析可知為增函數(shù)，所以，所以，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，13.已知扇形的圓心角為，且弧長為，則該扇形的面積為__________.【答案】【解析】由題意設(shè)圓心角、弧長、半徑分別為，則，解得，所以該扇形的面積為.故答案為：.14.試寫出一個(gè)實(shí)數(shù)________，使得函數(shù)在上恰有一個(gè)零點(diǎn).【答案】1（答案不唯一）【解析】不妨取，則，則，即得，又圖象的對稱軸為，則在上單調(diào)遞增，故在上恰有一個(gè)零點(diǎn).故答案：1.15.設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上的圖象交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，則線段的長為__________.【答案】【解析】設(shè)，令，解得，即點(diǎn)Q縱坐標(biāo)為，所以線段的長為.故答案為：.16.已知正數(shù)滿足，則__________.【答案】2【解析】因?yàn)檎龜?shù)滿足，其中恒成立，故，變形得到，令，，任取，且，則，即，故在上單調(diào)遞增，故，故.故答案為：2.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知.（1）化簡：；（2）若，求的值.解：（1）原式，因?yàn)?，所以，所以原式?）因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，所?18.設(shè)，集合關(guān)于的方程無實(shí)根，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)闊o實(shí)根，所以，解得，故，當(dāng)時(shí)，，即，解得或，故或，所以.（2）由（1）知，，因?yàn)槭堑某浞謼l件，所以，所以對任意的恒成立，即對任意的，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“，所以.19.已知函數(shù)的最小正周期為是的圖象上的一個(gè)最低點(diǎn).（1）求；（2）若，求的值.解：（1）依題意，，解得，由點(diǎn)是曲線上的一個(gè)最低點(diǎn)，得，此時(shí)有，則，即，又，解得，所以，，.（2）由（1）知，，由，得，顯然，于是，所以.20.汽車駕駛員發(fā)現(xiàn)前方有障礙物時(shí)會(huì)緊急剎車，這一過程中，由于人的反應(yīng)需要時(shí)間，在汽車的慣性作用下會(huì)有一個(gè)停車距離.記駕駛員的停車距離為（單位：），駕駛員反應(yīng)時(shí)間內(nèi)汽車所行距離為（單位），剎車距離為（單位），則，其中與剎車時(shí)的車速單位，滿足與剎車時(shí)的車速的部分關(guān)系見下表：1530601051.2552061.25（1）在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出的散點(diǎn)圖，從①；②③中選擇最恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)函數(shù)模型擬合與之間的關(guān)系，并求出其解析式；（2）在限速的高速公路上，駕駛員遇障礙物緊急剎車，已知駕駛員的停車距離為，請根據(jù)（1）中所求的解析式，判斷駕駛員是否超速行駛.解：（1）散點(diǎn)圖如下圖，最恰當(dāng)?shù)囊粋€(gè)函數(shù)模型為②，將點(diǎn)代入，得，解得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，表中其余三點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足，所以最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型為②.（2）由（1）知，為的增函數(shù)，法1：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以該車不超?法2：當(dāng)時(shí)，，即，所以，又，所以，因?yàn)?，所以該車未超速行?21.已知函數(shù)，其中.（1）若恒成立，求；（2）若，試