蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中專項(xiàng)復(fù)習(xí)：圓心角、圓周角【考題猜想32題7種題型】（原卷版+解析）

專題04圓心角、圓周角（32題7種題型）

一、利用弧、弦、圓周角關(guān)系求解（共4小題）

1.（2022秋?福建廈門(mén)?九年級(jí)廈門(mén)市蓮花中學(xué)校考期中）已知：如圖所示，A,B,C,。是。。上的點(diǎn)，且

4C=BD＞鑒端OB=125擄，求乙C0。的度數(shù).

2.（2022秋?浙江紹興?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是。。的直徑，C是的中點(diǎn)，CELAB于E,BD交

CE于點(diǎn)F.

⑴求證：CF=BF；

（2）若CD=6,AC=8,則。。的半徑和CE的長(zhǎng).

3.（2022秋?福建泉州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，NA08按以下步驟作圖：①在射線上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)。

為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓弧尸。，交射線于點(diǎn)。；②連接C。，分別以點(diǎn)C、。為圓心，CD長(zhǎng)為半徑

作弧，交圓弧尸。于點(diǎn)M、N；③連接OM,.根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形完成下列作答.

/\\c^

/V

Q

（1）求證：垂直平分MD

⑵若饕端OB=30擄，求NMON的度數(shù).

（3）若鑒斕0B=20擄，0C=6,求MN的長(zhǎng)度.

4.（2022秋?浙江寧波?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，CD金出B,垂足為D,

且，BE分另ij交CD、AC于點(diǎn)F、G.

C

⑴求證：；

（2）求證：F是BG的中點(diǎn).

二、利用弧、弦、圓周角關(guān)系證明（共5小題）

5.（2022秋?江蘇鹽城?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A,B,C,。在。。上，AB=CB求證：AC=BD；

6.（2022秋.江蘇淮安.九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在。O上，ZADC=60°,.請(qǐng)判斷4ABC

的形狀，并說(shuō)明理由.

7.（2022秋?北京東城?九年級(jí)匯文中學(xué)?？计谥校┤鐖D，&A8c內(nèi)接于金出樟，高AD經(jīng)過(guò)圓心0.

A

⑴求證：AB=AC；

（2）若BC=16,劍槨的半徑為10.求乙ABC的面積.

8.（2022秋?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在R//4BC中，ZBAC=90°,以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑

作圓，交BC于點(diǎn)、D,交AB于點(diǎn)E,連接。E.

（1）若NA2C=20。，求NDEA的度數(shù)；

（2）若AC=3,AB=4,求CD的長(zhǎng).

c

9.(2022秋?北京房山.九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，AB為黜槨的直徑，弦CD黜B于點(diǎn)E,連接DO并延長(zhǎng)交細(xì)樟

于點(diǎn)足連接AF,.

⑴求證：；

(2)連接AC,若AB=12,求AC的長(zhǎng).

三、利用圓周角定理求解(共4小題)

10.(2022秋?貴州黔西?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，正方形ABC。內(nèi)接于0O,P為上的一點(diǎn)，連接。P,CP.

(1)求NCP。的度數(shù)；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸為的中點(diǎn)時(shí)，CP是。。的內(nèi)接正"邊形的一邊，求〃的值.

11.(2022秋?吉林長(zhǎng)春.九年級(jí)?？计谀?如圖，BE是圓。的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)。是。。上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A

作。O的切線交8E延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,

(1)若/AOE=25。，求/C的度數(shù)；

(2)若AB=AC,CE=2,求＜30半徑的長(zhǎng).

12.(2022秋?貴州黔西?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，以四邊形ABC。的對(duì)角線8。為直徑作圓，圓心為O,過(guò)

點(diǎn)A作AE黜D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,已知D4平分.

（1）求證：AE是金出樟的切線；

（2）若AE=4,CD=6,求幼樟的半徑和AD的長(zhǎng).E

13.（2022秋?湖北恩施?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，AB是。0的一條弦，OD金出B,垂足為C,交00于點(diǎn)D,

點(diǎn)E在。0上.

（1）若鑒斕0D=52擄，求的度數(shù).

（2）若0C=3,OA=5,求AB的長(zhǎng).

D

14.（2022秋?江西贛州?九年級(jí)期末）如圖，43是。。的直徑，弦于點(diǎn)E,連接AC,BC.

（1）求證：/A=/BCD；

（2）若42=10,CD=6,求BE的長(zhǎng).

四、利用圓周角定理推論（同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等）求解（共4小題）

15.（2022秋?廣東韶關(guān)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，A8是。。的直徑，C￡）是。。的一條弦，且COLA8于E,

連接AC,OC,BC.

(1)求證：Z1=Z2；

(2)若BE=2,CD=6,求。。的半徑的長(zhǎng).

16.(2022秋?廣東中山?九年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖，4B是00的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，CF為。0的弦，且.垂

足為E,連接BD交CT于點(diǎn)G,連接CD,AD,BF.

(1)求證：△BFGVCOG；

(2)若AD=BE=4,求的長(zhǎng).

17.(2022秋?北京?九年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校校考期末)如圖，在。。中，=,COLOA于點(diǎn)。，CEL

08于點(diǎn)E.

(1)求證：CD=CE；

(2)若NAOB=120。，。4=2,求四邊形。OEC的面積.Q

18.(2022秋.安徽.九年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖，AB是黜槨的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CE黜B于點(diǎn)E,BD交

CE于點(diǎn)F.

(1)求證：CF=BF；

(2)若CD=2,AC=4,求劍樟的半徑及CE的長(zhǎng).

五、利用圓周角定理推論(半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是直角)求解(共6小題)

19.(2022秋?浙江紹興?九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于金出樟，AC為劍槨的直徑，.

B

(1)試判斷乙A8c的形狀，并給出證明；

(2)若AB=V2,AD=1,求CD的長(zhǎng)度.

20.(2022秋.云南曲靖?九隼級(jí)?？计谥?如圖，以A8為直徑作黜樟，在黜槨上取一點(diǎn)C,延長(zhǎng)至點(diǎn)￡>,

連接。C,,過(guò)點(diǎn)A作AE黜D交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：CD是細(xì)樟的切線；

(2)若CD=4,DB=2,求AE的長(zhǎng).

21.(2022秋.江蘇南京?九年級(jí)?？计谥?如圖①，在AABC中，CA=CB,D是△ABC外接圓細(xì)槨上一點(diǎn),

連接CD,過(guò)點(diǎn)B作，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交觸槨于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形DEFC是平行四邊形；

(2汝口圖②，若AB為金出樟直徑，AB=7,BF=1,求CD的長(zhǎng).

22.（2022秋?福建南平.九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABC。為菱形，以為直徑作。。交A8于點(diǎn)R

連接08交。。于點(diǎn)反，過(guò)點(diǎn)。作。。的切線交BC于點(diǎn)E.

⑴求證：AF=CE；

⑵若BF=2,DH=V5,求。。的半徑.

23.（20Z2秋?福建福州?九年級(jí)校考期末）如圖，AB為幼樟的直徑，點(diǎn)C在金出樟上，連接AC,BC,過(guò)點(diǎn)。

作0D黜C于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作劍槨的切線交0D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求證：鑒契=鑒斕；

（2）連接AO.若CE=4近，BC=8,求的長(zhǎng).

24.（2022秋?江蘇揚(yáng)州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AB為。O的直徑，點(diǎn)C在。。上，NACB的平分線與A8

交于點(diǎn)E,與。。交于點(diǎn)。，尸為A8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且4c.

（1）試判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（2）若AC=8,BC=6,求。。的半徑及的長(zhǎng).

六、利用圓周角定理推論（90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑）求解（共3小題）

25.（2022秋?北京?九年級(jí)日壇中學(xué)?？计谥校┤鐖D，D是等腰三角形ABC底邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作.

（1）求證：AB是的直徑；

（2）延長(zhǎng)CB交于點(diǎn)E,連接DE,求證：DC=DE；

26.（2022秋?廣東潮州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，Rt-NSC中，鑒斕CB=90擄，按要求完成下列問(wèn)題:

B

C

（1）作出金目灰BC的外接圓；（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法）；

（2）在（1）的條件下，若CD平分鑒端CB,CD交于點(diǎn)、D,連接AD,BD.求證：AD=BD.

27.（2022秋?安徽安慶?九年級(jí)期末）如圖，AA8C中，ZACB=9Q°,AC=6,8c=8,點(diǎn)。是A8的中點(diǎn).

⑴若以點(diǎn)。為圓心，以R為半徑作。O,且點(diǎn)A,B,C都在。。上，求R的值；

⑵若以點(diǎn)2為圓心，以r為半徑作。2,且點(diǎn)O,A,C中有兩個(gè)點(diǎn)在。B內(nèi)，有一個(gè)點(diǎn)在。8外，求r的取

值范圍.

七、已知圓內(nèi)接四邊形求角度（共5小題）

28.（2022秋?陜西渭南.九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD是的內(nèi)接四邊形.DB平分鑒斕DC,連接

0G0C金出D.

⑴求證：AB=CD；

（2）若，求鑒蜘DB的度數(shù).

29.（2022秋.山東德州.九年級(jí)?？计谀┤鐖D，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，OC=2,AC=2/.

（1）求點(diǎn)。到AC的距離；

（2）求/AOC的度數(shù).

30.（2022秋?河南焦作?九年級(jí)?？计谀┰谟肁ABC中，AC=BC,將線段CA繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)a（0。<.<90。）,

得到線段C。，連接A。、BD.

AA

圖1圖2

⑴如圖1,將線段CA繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,則/AOB的度數(shù)為；

⑵將線段CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a時(shí)

①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并求的度數(shù)；

②若/BCD的平分線CE交2。于點(diǎn)孔交D4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)2E.用等式表示線段A。、CE、BE

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明

31.（2022秋?廣東廣州?九年級(jí)鐵一中學(xué)校考期末）已知：是金目坎BC的外接圓，且，饕艱BC=60擄，。為

上一動(dòng)點(diǎn).

⑴如圖1,若點(diǎn)。是船的中點(diǎn)，饕領(lǐng)BA等于多少？

⑵過(guò)點(diǎn)B作直線AD的垂線，垂足為點(diǎn)E.

①如圖2,若點(diǎn)。在和上，求證：CD=DE+AE.

②若點(diǎn)。在上，當(dāng)它從點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)且滿足CD=DE+AE時(shí)，求饕端BD的最大值.

32.（2022秋.河北邢臺(tái)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題:

“如圖1,在正方形ABC。中，Z￡AF=45°,求證：EF=BE+DF.

小明同學(xué)的思路：：四邊形A8CD是正方形，ZB=ZADC=9Q°.

把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A0E的位置,然后證明△AFEWAXFK'，從而可得EF=E'F.

E'F=E'D+DF=BE+DF,從而使問(wèn)題得證.

圖1圖2圖3圖4

（1）【探究】請(qǐng)你參考小明的解題思路解決下面問(wèn)題:

如圖2,在四邊形ABCZ）中，AB=AD,/B=ND=90。,LEAF=-^BAD'直接寫(xiě)出EFBE,OF之間的

數(shù)量關(guān)系.

(2)【應(yīng)用】如圖3,在四邊形ABC。中，AB=AD,ZB+ZD=180°,工￡;，下二：二8八D，求證：EF=BE+

DF.

(3)【知識(shí)遷移】如圖4,四邊形4BPC是的內(nèi)接四邊形，8c是直徑，AB=AC,請(qǐng)直接寫(xiě)出P8+PC與AP

的關(guān)系.

專題04圓心角、圓周角（32題7種題型）

一、利用弧、弦、圓周角關(guān)系求解（共4小題）

1.（2022秋?福建廈門(mén)?九年級(jí)廈門(mén)市蓮花中學(xué)校考期中）已知：如圖所示，A,B,C,。是。。上的點(diǎn)，且

AC=BD>饕端OB=125擄，求乙COD的度數(shù).

【答案］

【分析】由題意易知，然后根據(jù)弧與圓心角的關(guān)系可直接進(jìn)行求解.

【詳解】解：??'A,B,C,。是劍槨上的點(diǎn)，AC=BD>

?'?AC-BC=BD-BC<即，

?'?LAOB-OD，

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，熟練掌握同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?浙江紹興?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是。。的直徑，C是的中點(diǎn)，CELAB于E,BD交

CE于點(diǎn)F.

（1）求證：CF=BF；

（2）若CD=6,AC=8,則。。的半徑和CE的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）5,y

【分析】（1）要證明CF=BF,可以證明NECB=NDBC；AB是。。的直徑，則/ACB=90。，又知CE_LAB,

則NCEB=90。，根據(jù)同角的余角相等證出/ECB=NA,再根據(jù)同圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等證出/DBC=

NA,從而證出NECB=NDBC；

(2)在直角三角形ACB中，AB2=AC2+BC2,又知，BC=CD,所以可以求得AB的長(zhǎng)，即可求得圓的半徑;

再根據(jù)三角形面積求得CE的長(zhǎng).

【詳解】(1)證明：：AB是。0的直徑，

.".ZACB=90°,

.,.ZA=90°-ZABC.

VCEXAB,

.,.ZCEB=90o,

.\ZECB=90°-ZABC,

ZECB=ZA.

又：C是的中點(diǎn)，

NDBC=/A,

/.ZECB=ZDBC,

，CF=BF；

(2)解：；

；.BC=CD=6,

VZACB=90°,

??B=JBC2+AC2=562+82=10

/.?O的半徑為5,

5.”=yAB-CE=jBC?AC

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理的推論、等腰三角形的判定及性質(zhì)以及求三角形的高.此題綜合性很強(qiáng)，

難度適中，掌握同圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等、直徑所對(duì)的圓周角為直角、等腰三角形的判定及性質(zhì)和

利用等面積法求直角三角形斜邊上的高是解決此題的關(guān)鍵.

3.(2022秋?福建泉州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，NAOB按以下步驟作圖：①在射線OA上取一點(diǎn)C,以點(diǎn)。

為圓心，0c長(zhǎng)為半徑作圓弧尸。,交射線于點(diǎn)。；②連接分別以點(diǎn)C、。為圓心，CQ長(zhǎng)為半徑

作弧，交圓弧于點(diǎn)M、N；③連接OM,.根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形完成下列作答.

DB

Q

(1)求證：04垂直平分MD

(2)若饕州OB=30擄，求/MON的度數(shù).

(3)若柴斕0B=20擄，0C=6,求MN的長(zhǎng)度.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

⑵鑒燃0N=90擄；

(3)MN=6.

【分析】(1)由垂徑定理直接證明即可得；

(2)根據(jù)相等的弧所對(duì)的圓心角也相等求解即可得；

(3)由(2)可得：，得出鑒燃0N=60擄，根據(jù)等邊三角形得判定可得金目秧MN為等邊三角形，即可得出

結(jié)果.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接

由作圖可知，CM=CD,

是經(jīng)過(guò)圓心的直線，

垂直平分MD；

(2)解：如圖所示，連接ON,

VCM=CD=DN,

-LMON="OYTLCOD+d）ON=90*，

即饕弁ON=90擄;

（3）解：由（2）可得：

，鑒博ON=60擄,

VOM=ON,

...金呂秧MN為等邊三角形，

/.MN=OM=OC=6.

【點(diǎn)睛】題目主要考查垂徑定理，等弧所對(duì)的圓心角相等，等邊三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合

運(yùn)用這些基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.B

4.（2022秋?浙江寧波?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，CD黜B,垂足為D,

且，BE分別交CD、AC于點(diǎn)F、G.

C

⑴求證：；

（2）求證：F是BG的中點(diǎn).

【答案】（1）答案見(jiàn)詳解

（2）答案見(jiàn)詳解

【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理及垂直的定義得到饕端CD+鑒頰CB=90擄，AB+CD=90擄,

進(jìn)而求證；

（2）由，，所以，F(xiàn)B=FC,再根據(jù),CffB4/CC=/1UV3jTF=初,得出=LDCG>所以FC=FG,

即可得出FB=FG.

【詳解】（1）解：：AB是。。的直徑，

AMCB=90擄，

鑒斕（TO+爨領(lǐng)CB=90擄，

：CD金出B,

/.?AB+饕斕CD=90擄,

(2)解：V,

；.FB=FC,

-LCGB+乙CM=UCG+zBCF=90'，

=-DCG，

AFC=FG,

；.FB=FG,

；.F是BG的中點(diǎn).

【點(diǎn)睛】此題主要考查了圓周角定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，注意直徑所對(duì)的圓周角是直角.

二、利用弧、弦、圓周角關(guān)系證明（共5小題）

5.（2022秋.江蘇鹽城?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A,B,C,。在。。上，超=2求證：AC=BD；

【分析】根據(jù)已知條件求得，根據(jù)弧與弦的關(guān)系即可得證.

【詳解】證明：丁的=,

??桓+幽=第十曲

??，

：.BD=AC.

【點(diǎn)睛】本題考查了弦與弧之間的關(guān)系，掌握同圓或等圓中，等弧對(duì)等弦是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?江蘇淮安?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在OO上，ZADC=60°,.請(qǐng)判斷4ABC

的形狀，并說(shuō)明理由.

【答案】AABC是等邊三角形，理由見(jiàn)解析.

【分析】由圓周角定理可知NADC=NABC=/BAC=/BDC=60。，再由三角形內(nèi)角和定理可知/ACB=60。,

故可得出結(jié)論

【詳解】AABC是等邊三角形，

理由：：

；.AC=BC,

ZADC=60°,

...NABC=/ADC=60°,

.,.△ABC是等邊三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，等邊三角形的判定，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解答此題的關(guān)鍵.

7.（2022秋?北京東城?九年級(jí)匯文中學(xué)校考期中）如圖，3A8C內(nèi)接于黜樟，高AD經(jīng)過(guò)圓心0.

A

⑴求證：AB=AC；

（2）若BC=16,細(xì)樟的半徑為10.求?ABC的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）128

【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可得，根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等，即可求解.

（2）連接OB,勾股定理求得OD,繼而得出AD,根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】（1）證明：：AD黜C,

AAB=AC；

(2)如圖，連接OB,

VAD黜C,

1

JBD=-BC=8,

2

槨的半徑為10.

.*.BO=10,

在Rt??BD中，BO=10,BD=8,

???OD=VOB2-BD2=6,

AAD=AO+OD=10+6=16,

:=xAD=16x16=128*

A

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，弧與弦的關(guān)系，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

8.(2022秋?江蘇無(wú)錫?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，在R///8C中，ZBAC=90°,以點(diǎn)A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑

作圓，交BC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,連接。E.

(1)若/A8C=20。，求NDEA的度數(shù)；

(2)若AC=3,AB=4,求CD的長(zhǎng).

【分析】(1)連接A。，求出/ZME,再利用等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AfUCD,垂足為足利用面積法求出AF,再利用勾股定理求出CE,可得結(jié)論.

【詳解】解：(1)如圖，連接AD

'：AC=AD,

：.ZACD=ZADC=70°,

：.ZCAD=180o-70°-70o=40°,

/.ZDAE=90o-40o=50o.

又：Ar>=AE,

:.NDEA=NADE=3(180°-50°)=65°；

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP_LC￡),垂足為K

22

：.AF=f

9

：AC=ADfAF±CD,

：.CD=2CF=—.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基

本知識(shí)，屬于中考常考題型.13

9.（2022秋?北京房山?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，AB為劍樟的直徑，弦CD劍B于點(diǎn)E,連接DO并延長(zhǎng)交細(xì)樟

于點(diǎn)尸，連接AF,.

⑴求證：；

（2）連接AC,若AB=12,求AC的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）AC=6

【分析】（1）根據(jù)題意和垂經(jīng)定理得,紇=衲，根據(jù)得，即可得；

（2）連接0C,根據(jù)直徑的長(zhǎng)可得0A=6,根據(jù)得饕端0C=60擄，根據(jù)0A=0C得金目坎0C是等邊三角形,

即可得.B

【詳解】（1）證明：：AB為斜1棒的直徑，CD黜B,

?"e=M，

???￡=行.

（2）解：如圖所示，連接0C,

ZT--------

VAB=12,

0A=6,

?，

，4"_；x］；-：（：--不匕

VOA=0C,

...金目妖0C是等邊三角形，

/.AC=0A=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂經(jīng)定理，等邊三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn).

三、利用圓周角定理求解（共4小題）

10.（2022秋.貴州黔西?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，正方形ABC。內(nèi)接于。。，尸為上的一點(diǎn)，連接。P,CP.

/7B

⑴求NCP。的度數(shù)；

⑵當(dāng)點(diǎn)尸為的中點(diǎn)時(shí)，CP是。。的內(nèi)接正〃邊形的一邊，求〃的值.

【答案】⑴鑒臻PC=45擄

（2）n=8

【分析】（1）連接。。，OC,根據(jù)正方形ABC。內(nèi)接于。。，結(jié)合圓周角定理可得NCPD；

（2）結(jié)合正多邊形的性質(zhì)以及圓周角定理得出NCOP的度數(shù)，進(jìn)而得出答案.

【詳解】（1）解：連接。￡>,OC,

正方形ABC。內(nèi)接于。0,

/￡(OC=90°

(2)解：連接P。，OB,如圖所示:

正方形ABC。內(nèi)接于。。,

ZCOB=90°,

點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，

.,?九=360：45=8,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓以及圓周角定理、正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握同弧所對(duì)

的圓周角等于圓心角的一半.

11.(2022秋?吉林長(zhǎng)春.九年級(jí)?？计谀?如圖，8E是圓。的直徑，點(diǎn)A和點(diǎn)。是。O上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A

作。。的切線交8E延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,

(1)若/ADE=25°,求/C的度數(shù)；

(2)若AB=AC,CE=2,求。。半徑的長(zhǎng).

【答案】(1)NC=40。；(2)。。的半徑為2.

【分析】(1)連接04利用切線的性質(zhì)和角之間的關(guān)系解答即可;

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可.

【詳解】(1)如圖，連接。4,

〈AC是。。的切線，04是。。的半徑，

：.0A.LAC,

：.ZOAC=90°,

???4￡=杷ZADE=25°,

：.ZAOE=2ZADE=50°f

：.ZC=90°-ZAOE=9Q°-50°=40°；

(2)\9AB=AC,

：./B=/C,

?if=Aff，

???NA0C=2NB,

：.ZA0C=2ZC,

?.?ZOAC=90°,

：.NAOC+N090。，

.'.3ZC=90°,

/.ZC=30°,

i

OA=-OC,

2

設(shè)。O的半徑為r,

'：CE=2,

?*??=-(r+2),

解得：r=2,

.??。0的半徑為2.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與

定理是解題的關(guān)鍵.

12.(2022稠貴州黔西?九年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，以四邊形ABC。的對(duì)角線8。為直徑作圓，圓心為O,過(guò)

點(diǎn)A作AE黜D的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,已知ZM平分.

B

E

(1)求證：AE是金出樟的切線;

(2)若AE=4,CD=6,求細(xì)槨的半徑和AD的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)5,2V5

【分析】(1)連接根據(jù)已知條件證明0A細(xì)E即可解決問(wèn)題;

(2)取CD中點(diǎn)E連接。尸，根據(jù)垂徑定理可得OF知D,所以四邊形AER9是矩形，利用勾股定理即可

求出結(jié)果.

【詳解】《1)證明：如下圖，連接04

「AE黜D,

二鑒炎炎AE+嬖斕DE=90擄.

平分鑒端DE,

-LADE-tADO

XVOA=OD,

鑒炎炎A,E+鑒康A(chǔ)D=90擄,

.,.OAfetE,

是半徑，

，AE是知樟切線;

(2)解El如上圖，取CD中點(diǎn)P,連接OR

；.0F翅D于點(diǎn)R

...四邊形AEFO是矩形.

VCD=6,

；.DF=FC=3.

在Rt/\OFD中，OF=AE=4,

AOD=VOF2+DF2=V42+32=5,

在Rt^AED中，

AE=4,ED=EF-DF=OA-DF=OD-DF=5-3=2,

.".AD=742+2?=V20=2V5,

；.AD的長(zhǎng)是2遍.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線

的判定與性質(zhì).0

13.（2022秋?湖北恩施?九年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，AB是。。的一條弦，0D金出B,垂足為C,交00于點(diǎn)D,

點(diǎn)E在。0上.

（1）若鑒斕O(píng)D=52擄，求的度數(shù).

（2）若0C=3,0A=5,求AB的長(zhǎng).

【答案】（1）26°；⑵8

【分析】（1）欲求鑒頸EB,又已知一圓心角，可利用圓周角與圓心角的關(guān)系求解;

（2）利用垂徑定理可以得到AC=BC=1AB=4,從而得到結(jié)論.

【詳解】解：（1）vODLAB>

二40=BB-

：.ADEB=z^AOD=：x52*=26*B

(2)：0C=3,0A=5,且0D黜B,

/.AC=VAO2-0C2=4,

VODSHiB,

,.AC—SC—AS=4，

鑒豳B=8.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等，以及垂徑定理，熟練掌握垂徑定理得出

AC=CB=4是解題關(guān)鍵.

14.（2022秋?江西贛州?九年級(jí)期末）如圖，A8是。。的直徑，弦COLA8于點(diǎn)E,連接AC,BC.

(1)求證：ZA=ZBCD；

(2)若AB=10,CD=6,求3E的長(zhǎng).

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）BE=L

【分析】（1）由垂徑定理可得先=即，再由圓周角定理即可得證;

（2）連接0C,結(jié)合已知求得0E的長(zhǎng)即可求得答案.

【詳解】（1）：直徑AB,弦CD,

,rwwxm

,,ot=ffV，

.,.ZA=ZBCD；

⑵連接oc,

:直徑AB，弦CD,CD=6,

；.CE=ED=3,

V直徑AB=10,

；.CO=OB=5,

在RtACOE中，VOC=5,CE=3,

.,.OE=V52-32=4,

；.BE=OB-OE=5-4=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理、圓周角定理，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵.

四、利用圓周角定理推論（同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等）求解（共4小題）

15.（2022秋?廣東韶關(guān).九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是。。的直徑，是。。的一條弦，且COLAB于E,

連接AC,OC,BC.

(1)求證：Z1=Z2；

(2)若BE=2,CD=6,求。。的半徑的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)R=f

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理和圓的性質(zhì)，同弧的圓周角相等，又因?yàn)锳AOC是等腰二角形，即可求證.

(2)根據(jù)勾股定理，求出各邊之間的關(guān)系，即可確定半徑.

【詳解】(1)證明：

「AB是。。的直徑，CZ)_LAB,

ZA=Z2.

又；OA=OC,

.'.Z1=ZA.

.?.Z1=Z2,

(2)為。。的直徑，弦CD_L4B,CD=6

：.ZCEO=90°,CE=ED=3.

設(shè)。。的半徑是R,EB=2,則?！?足2

在RtAOEC中，R2=(R-2/+32

解得：R=?

4

...。。的半徑是區(qū)=".

4

【點(diǎn)睛】本題考查垂弦定理、圓心角、圓周角的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練運(yùn)用垂徑定理和圓周角的性質(zhì)進(jìn)行推理

證明和計(jì)算.

16.(2022秋?廣東中山?九年級(jí)校聯(lián)考期中)如圖，A8是。0的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，為。。的弦，且.垂

足為E,連接BD交CP于點(diǎn)G,連接CDAD,BF.

F

⑴求證：39FG三"。G;

⑵若AD=BE=4,求BE的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)473

【分析】(1)根據(jù)弧與弦的關(guān)系證明CD=BF,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，證明d=QG，結(jié)合對(duì)頂角相

等，根據(jù)AAS證明：LBFG24CDG；

(2)連接OF,設(shè)。。的半徑為r,由CF=B。列出關(guān)于廠的勾股方程即可求解；

【詳解】(1)證明：：點(diǎn)C為的中點(diǎn)，

??，

是Q0的直徑，且

；.CD=BF

??LF—LCDG

在△BFG和△COG中，

［占二KDG

z5Gff=zZ>GC

IftF=m

■:ABFGmACDG(AAS)；

(2)如圖，連接。尸，設(shè)。。的半徑為r,

/△AQB中，BD2=AB2-AD2,SPBD2=(2r)2-42,

Rf/XOEF中,OF2=OE2+EF2,BPEF2=r2-(r-4)2,

???g一/二死?開(kāi)，

即，

，BD=CF,

.,.BD2=CF2=(2EF)2=4EF2,

即(2r)2-42=4[r2-(r-4)2],

解得：r=2(舍)或6,

BF2=EF2+BE2=62-(6-4)2+42=48

.?.BF=4后

【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、垂徑定理、三角形全等的性質(zhì)和判定以及勾股定理，綜合運(yùn)用以上知識(shí)

是解題的關(guān)鍵.

17.(2022秋?北京?九年級(jí)北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校?？计谀?如圖，在。。中，=,COLOA于點(diǎn)CE1

。3于點(diǎn)E.

⑴求證：CD=CE；

(2)若NAO8=120。，OA=2,求四邊形。。EC的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵百

【分析】(1)連接OC,根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到NA0C=N80C,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證

明結(jié)論；

(2)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出。。，根據(jù)勾股定理求出CZ),根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】(1)證明：連接OC,

ZAOC=ZBOC,

又C0_LQ4CELOB,

:.CD=CE；

(2)解：VZAOB=120°,

ZAOC=ZBOC=60°f

,：ZCDO=90°,

???NOCO=30。，

JOD=-OC=l

2f

：.CD=VOC2-OD2=V22-12=V3,

△OC。的面積=：XODXC￡)=F，

同理可得，△OCE的面積=》＜OExCE=苧，

/.四邊形DOEC的面積=日月肖2=W.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，在同圓或等圓中，如

果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

18.(2022秋?安徽?九年級(jí)校聯(lián)考期末)如圖，AB是金出槨的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CEB于點(diǎn)E,BD交

CE于點(diǎn)F.

(1)求證:CF=BF；

(2)若CD=2,AC=4,求劍樟的半徑及CE的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)。。的半徑為4,CE=15

【分析】(1)根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可證，根據(jù)CE劍B證明蒙煲BD+饕端CE=90擄，再利用直徑

所對(duì)的圓周角等于90擄，證明爨燃CF+鑒斕CE=90擄，等量代換即可證明4CBD=-5CF，再利用等角

對(duì)等邊即可證明CF=BF；

(2)證明CD=CB=2,再利用=7八SC=二CETB，即可求出CE.

■HAIP■?E

【詳解】(1)證明：是的中點(diǎn),

VCEB,

AB+饕端CE=90擄，

鑒煲BD+饕斕CE=90擄，

:AB是黜槨的直徑，

鑒端CB=90擄，

二饕帽CF+鑒端CE=90擄，

?"CSD=-BCF，

/.CF=BF.

（2）解：：，

/.CD=CB,

VCD=2,

.'.CD=CB=2,

：AB是劍槨的直徑，

爨斕CB=90擄，

VAC=4,

AAB=V22+42=2V5,

二。。的半徑為花.

VCE$fhB,

-S^?AOBCV>=-qACBCe=-CE-AB，?即4x2，=±CE▼x2、弓，

解得CE=等.

【點(diǎn)睛】本題考查圓與三角形的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握等弧對(duì)等弦，直徑所對(duì)的圓周角等于90擄,

等角對(duì)等邊，勾股定理.

五、利用圓周角定理推論（半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角）求解（共6小題）

19.（2022秋?浙江紹興.九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于黜槨，AC為黜槨的直徑，.

（1）試判斷△A8c的形狀，并給出證明；

（2）若AB=V2,AD=1,求CD的長(zhǎng)度.

【答案】（l）ZXABC是等腰直角三角形；證明見(jiàn)解析;

(2)V3；

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理可得NABC=90。，由NA￡)B=NC￡)B根據(jù)等弧對(duì)等角可得/ACB=/C4B,即可

證明；

(2)RtZXABC中由勾股定理可得AC,Rt/XADC中由勾股定理求得CD即可；

【詳解】(1)證明：：AC是圓的直徑，貝U/A8C=NAQC=90。，

VZADB=ZCDB,ZADB=ZACB,ZCDB=ZCAB,

：.ZACB=ZCAB,

AABC是等腰直角三角形；

(2)解：：△ABC是等腰直角三角形，

：.BC=AB=V2,

.,.AC=VAB2+BC2=2,

Rt/XAOC中，ZADC=90°,AD=1,則CD=7AC2-AD2=痘,

/.CD=V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)；掌握等弧對(duì)等角是解

題關(guān)鍵.

20.(2022秋?云南曲靖?九隼級(jí)?？计谥?如圖，以為直徑作金出樟，在劍槨上取一點(diǎn)C,延長(zhǎng)AB至點(diǎn)Q,

連接。C,,過(guò)點(diǎn)A作AE黜D交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：CZ)是黜槨的切線；

(2)若CD=4,DB=2,求AE的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)AE=6

【分析】(1)連接0C,根據(jù)圓周角定理的推論得到乙4cB=90。，即/8CO+/ACO=90。，求得/4CO=

ZDCB,得到/Z)CO=90。，根據(jù)切線的判定定理得到CD是。。的切線；

(2)根據(jù)勾股定理求出08=3,可得AB=6,AO=8,根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到AE=CE,在RfZkAOE中，利

用勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接0C,如圖，

E

：AB為直徑，

AZACB=90°,即/20)+/409=90°,

'：OC=OA,

：.ZACO^ZCAD,

又：ZDCB=ZCAD,

NACO=NDCB,

：.ZDCB+ZBCO=90°,即NDCO=90°,

:oc是。。的半徑，

.?.CO是。。的切線；

(2)解：VZDCO=90o,OC=OB,

.*.OC2+CQ2=O￡)2,

：.OB2+42=(02+2)2,

.?.08=3,

；.AB=6,AD=S,

?：AELAD,AB是。。的直徑，

；.AE是。。的切線，

：CO是。。的切線，

：.AE=CE,

:在RtAADE中，AD2+AS2=DE2,

/.82+AE2=(4+AE)2,

：.AE=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角

定理的推論、切線長(zhǎng)定理和勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

21.(2022秋?江蘇南京?九年級(jí)?？计谥?如圖①，在口ABC中，CA=CB,D是VABC外接圓細(xì)槨上一點(diǎn)，

連接CD,過(guò)點(diǎn)B作，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交細(xì)槨于點(diǎn)F.

⑴求證：四邊形DEFC是平行四邊形;

(2)如圖②，若AB為細(xì)樟直徑，AB=7,BF=1,求CD的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)473

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)，等弧對(duì)相等的圓周角，證得DE1CF即可；

(2)連接DF,AF,利用平行線的性質(zhì)證得鑒減AC+饕斕CF=180擄，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證

得爨斕DF+夔斕CF=180擄，得到，再利用圓周角定理得到AF=CD,最后在中即可求解.

【詳解】⑴證明：；,

DC=

VCA=CB,

=一CFB，

.?.饕爽=饕煲FB,

二陽(yáng)CF，

，四邊形DEFC是平行四邊形；

(2)連接DF,AF,如圖所示,

鑒炎炎AC4-鑒斕CF=180擄，

?.?四邊形ACFD是金出槨的內(nèi)接四邊形,

爨端DF+饕斕CF=180擄，

.".AF=CD,

：AB為劍樟直徑，

鑒端FB=90擄，

VAB=7,BF=1,

/.AF=VAB2-BF2=V72-I2=4V3,

/.CD=AF=4V3

【點(diǎn)睛】本題是一道圓的知識(shí)的綜合題，考查了圓周角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和

判定等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

22.（2022秋?福建南平.九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形A3C。為菱形，以為直徑作。。交于點(diǎn)R

連接DB交。。于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)。作。O的切線交BC于點(diǎn)E.

⑴求證：AF=CE；

（2）若BF=2,DH=75,求。。的半徑.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）1

【分析】（1）連接。R根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AD=C￡）,AD//BC,NA=NC.再由切線的性質(zhì)，可得/CED=

ZADE=90°.可證得AZM△OCE.即可求證；

（2）連接。尸，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD=2DH=2祈.在RfAAD尸和氏公2。月中，根據(jù)勾股

定理，即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。R

?.?四邊形ABC。為菱形，

：.AD=CD,AD//BC,ZA=ZC.

是。。的切線，

/.ZA￡)E=90°.

'：AD//BC,

：.ZCED=ZADE=9Q°.

是。。的直徑，

ZDFA=90°.

：.ZAFD=ZCED=90°.

(LAFD=Z.CED

在ADAF和ADCE中，,LA=LC

IAD=CD

:.ADAF出ADCE(AAS).

：.AF=CE.

(2)解：如圖，連接AH,DF,

是。。的直徑，

ZAHD=ZDFA=90°.

\"AD=AB,DH=V5,

ABD=2DH=2V5.

在Rt^ADF和RtLBDF中,

由勾股定理，得。尸2=A4一人產(chǎn)，DF2=BD2-BF2,

:.AD2-AF2=BD2-BF2.

.'.AD2-(AD-BF)2=BD2~BF2.

AAD2-(AD-2)2=(2V5)2-22.

：.AD=5.

的半徑為去

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理，菱形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)和判定，

勾股定理等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列方程解決問(wèn)題.

23.(2022秋?福建福州?九年級(jí)?？计谀?如圖，為細(xì)槨的直徑，點(diǎn)C在黜槨上，連接AC,BC,過(guò)點(diǎn)。

作OD金出C于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作劍樟的切線交OD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：饕斐=鑒婚；

(2)連接AD若CE=4“，BC=8,求的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)AD=4立

【分析】(1)連接OC通過(guò)垂徑定理和等腰三角形性質(zhì)證明

(2)連接AD通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)BC=EC,再通過(guò)證明底/XABC得到AC=DC=4.

【詳解】(1)證明：連接OC如圖：

BA

ODLCB

：.OB=OC,ZB=OCD

又CE為圓O的切線

???OCLCE

：.ZECD+ZDCO=ZECD+ZE=90°

/E=/DCO=/B

：.ZE=ZB

(2)連接AZ)如圖

Z\EDC為Rt/\

.*.DE=VEC2-DC2=J（4V5）2-42=8

由（1）得NE=NB

又AB為直徑

，NBC4=90。

在△CEO和△ABC中

zB=zf

dDC=LBCA

IFn=nr

.?.△CEO也△ABC（A4S）

：.AC=DC=-BC=4

2

AAD=V2AC=4V2

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些是本題解題關(guān)鍵.

24.(2022秋.江蘇揚(yáng)州.九年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，A2為。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，/AC2的平分線與

交于點(diǎn)E,與。。交于點(diǎn)。，尸為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且

(1)試判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)若AC=8,BC=6,求。。的半徑及的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；(2)。4=08=5；AD=5V2.

【分析】(1)連結(jié)OC,由OA=OC,可得NAC0=NCA0=N2CP,由AB為。。的直徑，可得NACO+NOC2=90。,

可證/OCP=90。即可；

(2)連結(jié)3D,由AB為。。的直徑，可得NAC2=90。，在RtZXABC中，AC=8,BC=6,由勾股定理

AB=J(AC)2+(BC)2=10,可求OA=OB=|AB=5；由CD是NACB的平分線，可得/AC￡)=NBCZ),可得

此=煙，可得AO=BD,NADB=90。用勾股定理即可得出答案.

【詳解】解：(1)連結(jié)OC,

OA=OC,

ZACO=ZCAO=ZBCP,

為。。的直徑，

ZACB=90°,即ZACO+ZOCB=90°,

ZBCP+ZOCB=90°,

：.ZOCP=90°,

直線PC是。。的切線；

D

(2)連結(jié)2D,

為。。的直徑,

二ZACB=9O°,

在RtAABC中，AC=8,BC=6,

：.AB=7(AC)2+(BC)2=V82+62=10,

1

；Q=°%AB=5；

?.?CO是/ACB的平分線,

ZACD=ZBCD,

：.AD=BD,ZADB=90°f

在中，AB=VAD2+BD2=V2AD,

???AD：**&

【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線判定，直徑所對(duì)圓周角是直角，角平分線定義，圓周角弧弦關(guān)系，勾股定理，

等腰直角三角形判定與性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線判定，直徑所對(duì)圓周角是直角，角平分線定義，圓周角弧弦關(guān)

系，勾股定理是解題關(guān)鍵.

六、利用圓周角定理推論（90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑）求解（共3小題）

25.（2022秋?北京?九年級(jí)日壇中學(xué)?？计谥校┤鐖D，D是等腰三角形ABC底邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作.

（1）求證：AB是的直徑；

⑵延長(zhǎng)CB交于點(diǎn)E,連接DE,求證：DC=DE；

【答案】（1）見(jiàn)詳解

⑵見(jiàn)詳解

3

【分析】（1）連接BD；根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和圓周角定理的推論即可證明；

（2）根據(jù)等腰三角形的兩底角相等以及同弧所對(duì)的圓周角相等可證饕爽=鑒煲；從而得出結(jié)論;

（3）先證明._CBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)果；

【詳解】（1）證明：如圖，連接BD；

在等腰4JIEC中，D為底邊AC的中點(diǎn)，BA=BC

鑒署D黜C,即：饕燃DA=90擄

；.AB是劍棒的直徑

（2）證明：在等腰6A5C中，鑒斕=爨煲

均為所對(duì)的圓周角

aDC=DE

26.（2022秋?廣東潮州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，CA9C中，鑒燃CB=90擄，按要求完成下列問(wèn)題:

（1）作出第妖BC的外接圓；