數(shù)值分析 課件 ch1-緒論

數(shù)值分析

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教材

提問：數(shù)值分析是做什么用的？數(shù)學(xué)建模

構(gòu)造算法程序設(shè)計(jì)實(shí)際問題近似解輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算數(shù)值計(jì)算方法

邏輯運(yùn)算計(jì)算機(jī)數(shù)值分析算法影響計(jì)算的速度和效率

數(shù)值分析算法影響計(jì)算的精度

數(shù)值分析算法影響計(jì)算的精度

即使數(shù)學(xué)上的恒等公式，用計(jì)算機(jī)來算，結(jié)果也是不一樣的。緒論01Chapter1.1數(shù)值分析研究對象與特點(diǎn)數(shù)值分析也稱計(jì)算方法.它根椐實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型提出求解問題的數(shù)值計(jì)算方法.算法能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，并有好的計(jì)算復(fù)雜性；面向計(jì)算機(jī)，提供切實(shí)可行的有效算法；有可靠理論，對算法進(jìn)行誤差分析，并能達(dá)到精度要求；通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明算法行之有效；研究對象學(xué)科特點(diǎn)1.2誤差來源與誤差分析實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型建立算法上機(jī)計(jì)算結(jié)果(初值誤差)觀測誤差模型誤差(方法誤差)截?cái)嗾`差舍入誤差誤差來源1.2誤差來源與誤差分析1.模型誤差（描述誤差）/*ModelingError*/簡化，抽象問題后建立的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際問題之差。2.觀測誤差/*MeasurementError*/觀測和實(shí)驗(yàn)得到的參量（物理量為電壓、電流、溫度等）誤差種類1.2誤差來源與誤差分析誤差種類3.截?cái)嗾`差（方法誤差）/*TruncationError*/有限過程代替無限過程的誤差（無窮級數(shù)求和，只能取前面有限項(xiàng)求和來近似代替）。這種計(jì)算方法本身出現(xiàn)的誤差，所以也稱為方法誤差。如右端是截?cái)嗾`差。

1.2誤差來源與誤差分析誤差種類4.舍入誤差/*RoundoffError*/計(jì)算機(jī)字長有限，一般實(shí)數(shù)不能精確存儲，于是產(chǎn)生舍入誤差。例如：在10位十進(jìn)制數(shù)限制下：舍入誤差很小，本課程將研究它在運(yùn)算過程中是否能有效控制。

1.2誤差來源與誤差分析大家一起猜？11/e

S4R4取則稱為截?cái)嗾`差|

舍入誤差|由截去部分引起由留下部分引起=0.747……1.3誤差的基本概念

絕對誤差/*absoluteerror*/相對誤差/*relativeerror*/

1.3誤差的基本概念

有效數(shù)字/*significantdigits*/

1.3誤差的基本概念用四舍五入法取準(zhǔn)確值的前n位作為近似值，則x*必有n位有效數(shù)字；有效數(shù)字位數(shù)相同的兩個近似數(shù)，絕對誤差限不一定相同；有效位數(shù)與第一個非0項(xiàng)后的數(shù)字個數(shù)是不一致的。四舍五入所得到的數(shù)是一致的。準(zhǔn)確值被認(rèn)為具有無窮位有效數(shù)字.一定要從規(guī)格化后的數(shù)來判斷其位數(shù)將任何數(shù)乘以10m(m為整數(shù))，等于移動該數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，并不影響它的有效數(shù)字的位數(shù)；有效數(shù)字的幾點(diǎn)說明1.3誤差的基本概念

數(shù)字末尾的0不可隨意省去1.3誤差的基本概念

1.3誤差的基本概念有效數(shù)字與誤差之間的關(guān)系

1.3誤差的基本概念

1.3誤差的基本概念

1.3數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)代數(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)加法和減法結(jié)果的誤差乘法和除法結(jié)果的誤差積的誤差積的相對誤差商的誤差1.3數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)一元函數(shù)情形

1.3數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)多元函數(shù)情形

1.3數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)例1.3.4：測得某桌面的長a的近似值a*=120cm,寬b的近似值b*=60cm。若已知|e(a*)|≤0.2cm,|e(b*)|≤0.1cm。試求近似面積s*=a*b*的絕對誤差限與相對誤差限。

Ch1緒論

解1.4選用算法應(yīng)遵循的原則BS

避免相近二數(shù)相減

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：

1.4選用算法應(yīng)遵循的原則BS

避免小分母

分母小會造成舍入誤差增大例：1.4選用算法應(yīng)遵循的原則BS

避免大數(shù)吃小數(shù)

算法1：利用求根公式在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時就成為：109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù)1.4選用算法應(yīng)遵循的原則BS

避免大數(shù)吃小數(shù)

注：求和時從小到大相加，可使和的誤差減小。1.4選用算法應(yīng)遵循的原則BS

簡化計(jì)算步驟，避免誤差累積

一般來說，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為

1.4選用算法應(yīng)遵循的原則選用穩(wěn)定的算法

注意此公式精確成立

1.4選用算法應(yīng)遵循的原則選用穩(wěn)定的算法

????!!!發(fā)生了什麼?!

造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法迅速積累,誤差呈遞增走勢.