整式與因式分解-2025年中考數(shù)學專項復習（解析版）

專題02整式與因式分解

考情聚焦

課標要求考點考向

考向一單項式與多項式

1.會把具體數(shù)代入代數(shù)式進行計算。

2了解整數(shù)指數(shù)嘉的意義和基本性質(zhì)?？枷蚨愴?/p>

整式

3.理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則。

考向三整式的加減

4,能進行簡單的整式加減運算，能進行簡單的整式乘法運

算?？枷蛩恼降某顺?/p>

22222

5.理解乘法公式(a+b)(a-b)=a-b,(a±b)=a±2ab+b,了解公考向五整式的混合運算

式的幾何背景，能利用公式進行簡單的計算和推理。

因式

考向一提公因式法因式分解

6.能用提公因式法、公式法進行因式分解。

分解

考向二公式法因式分解

,真題透視,

考點一整式

A考向一單項式與多項式

1.(2024?吉林長春?中考真題)單項式-2a%的次數(shù)是.

【答案】3

【分析】此題考查單項式有關概念，根據(jù)單項式次數(shù)的定義來求解，解題的關鍵是需靈活掌握單項式的系

數(shù)和次數(shù)的定義，單項式中數(shù)字因數(shù)叫做單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做這個單項式的次數(shù).

【詳解】單項式的次數(shù)是：2+1=3,

故答案為：3.

2.(2024?江西?中考真題)觀察a,/,%/一”根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第如。個式子為.

【答案】a100

【分析】此題考查了單項式規(guī)律探究.分別找出系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律，據(jù)此判斷出第〃個式子是多少即可.

【詳解】解：回a,a2,a3,a4...

回第〃個單項式的系數(shù)是1；

團第1個、第2個、第3個、第4個單項式的次數(shù)分別是1、2、3、4，…，

13第〃個式子是o'.

團第100個式子是d。。.

故答案為：儲。。,

3.（2024?重慶?中考真題）已知整式“：見尤"+見_/7+—+.+4,其中…,小為自然數(shù)，。,為正整

F

數(shù),S.n+an+an_x-t-----Oj+a0=5.下列說法：

①滿足條件的整式M中有5個單項式；

②不存在任何一個〃，使得滿足條件的整式/有且只有3個；

③滿足條件的整式〃共有16個.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題考查的是整式的規(guī)律探究，分類討論思想的應用，由條件可得0V〃V4,再分類討論得到答案

即可.

【詳解】解：回〃，氏一|，…，為為自然數(shù)，?！盀檎麛?shù)，S.n+an+a?_1+---+al+a0=5,

EI0<n<4,

當〃=4時，貝1]4+。4+/+。2+4+4=5,

回。4=1,a3=a2=a{=aQ=0}

滿足條件的整式有，，

當〃=3時，則3+°3+%+%+%=5,

%%,旬）=（2,0,0,0）,（1,1,0,0）,（1,0,1,0）,（1,0,0,1）,

滿足條件的整式有：2x\xi+x2,x3+x,尤%I,

當"=2時，貝1]2+/+4+/=5,

回3，%,4）=（3,0,0）,（2,1,0）,（2,0,1）,（1,2,0）,（1,0,2）,（1,1,1）,

滿足條件的整式有：3/，2X2+X,2X2+1,X2+2X,X2+2,X2+X+1；

當〃=1時，則1+%+%=5,

團（4仆）=（4,0）,（3,1）,（1,3）,（2,2）,

滿足條件的整式有：4x,3x+l,x+3,2x+2;

當”=0時，。+4=5,

滿足條件的整式有：5；

回滿足條件的單項式有：/,2d,3r，4x,5,故①符合題意；

不存在任何一個"，使得滿足條件的整式M有且只有3個；故②符合題意；

滿足條件的整式M共有1+4+6+4+1=16個.故③符合題意；

故選D

A考向二同類項

易錯易混提醒

1.判斷同類項

標準：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也分別相等。

注意事項：同類項與系數(shù)的大小無關，與它們所含的字母順序無關，所有常數(shù)項都是同類項。

2.合并同類項

要點：字母和字母的指數(shù)不變，只把系數(shù)相加減。

考查角度1同類項的定義

4.（2024?河南?中考真題）請寫出2加的一個同類項：.

【答案】機（答案不唯一）

【分析】本題考查的是同類項的含義，根據(jù)同類項的定義直接可得答案.

【詳解】解：2加的一個同類項為加，

故答案為：m

考查角度2合并同類項

5.（2024?西藏?中考真題）下列運算正確的是（）

A.x-2x=xB.x（x+3）=x2+3

C.（-2/）3=_&/D.3尸4無2=12尤2

【答案】C

【分析】根據(jù)合并同類項、單項式乘以多項式、騫的乘方與積的乘方、單項式乘以單項式的運算法則逐項

判斷即可得出答案.

【詳解】解：A、x-2x=-x,故原選項計算錯誤，不符合題意；

B、x（x+3）=f+3x,故原選項計算錯誤，不符合題意；

C、（-2X2）3=-8X6,故原選項計算正確，符合題意；

D、3元2.4元2=12元*故原選項計算錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了合并同類項、單項式乘以多項式、騫的乘方與積的乘方、單項式乘以單項式，熟練掌

握運算法則是解此題的關鍵.

A考向三整式的加減

6.（2024?四川德陽?中考真題）若一個多項式加上y+3砂-4,結(jié)果是3xy+2y2-5,則這個多項式為.

【答案】/-I

【分析】本題考查整式的加減運算，根據(jù)題意"一個多項式加上/+3孫-4,結(jié)果是3沖+2/一5",進行列

出式子：（3孫+2/一5）-（/+3冷-4）,再去括號合并同類項即可.

【詳解】解：依題意這個多項式為

(3xy+2y2-5)-(y2+3xy-4)

=3Ay+2y2_5-y2-3孫+4

故答案為:y2-l

7.（2024?重慶?中考真題）一個各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)/=麗，若滿足a+d=6+c=9,則稱這

個四位數(shù)為"友誼數(shù)".例如：四位數(shù)1278,01+8=2+7=9,回1278是"友誼數(shù)".若麗是一個"友誼數(shù)"，

且6-a=c-6=1,則這個數(shù)為；若/=麗是一個"友誼數(shù)"，設尸（/）=#,且尸必亡改土絲是

整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是.

【答案】34566273

【分析】本題主要考查了新定義，根據(jù)新定義得至〔Ja+d=b+c=9,再由人一〃=。一〃=1可求出〃、b、c、d

的值，進而可得答案；先求出M=9994+906+99,進而得到%〃）+仍+，=9a+8+3“+"6,根據(jù)

1313

/（為）+“"+空是整數(shù),得到9a+8+”等是整數(shù)，即3°：7+6是整數(shù),貝1]3。+6+6是13的倍數(shù)，求

131313

出aV8,再按照。從大到小的范圍討論求解即可.

【詳解】解：回麗是一個"友誼數(shù)"，

仞、方格中的數(shù)據(jù)是由其□□口

所對的兩個數(shù)相乘得到

7的，如:2="2

4+9=13

回〃+d=/?+c=9,滿十進一?

03

圖1

又團6-々=。一/?=1,

團Z?=4,c=5,

團。=3,d=6,

團這個數(shù)為3456；

回〃=礪是一個〃友誼數(shù)〃,

團M=1000a+1OOZ?+1Oc+d

二1000〃+1006+10（9-b）+9-〃

=999a+90〃+99,

0F（M）=y=111（7+10/2+11,

F{<M^+ab+cd

0

13

111。+10Z?+11+10。+b+10c+d

~13

llla+10b+ll+10a+b+10（9-b^+9-a

一13

_120^+^+110

一13

117（2+3〃+Z?+104+6

一13

八c3。+Z?+6

=9〃+8+------------

13

回/（M）+〃Z2+cd是整數(shù)

13

3〃+Z?+63a+Z?+6

團9〃+8+是整數(shù),即是整數(shù)

1313

回3。+6+6是13的倍數(shù),

團口、b、c、d都是不為0的正整數(shù)，且a+d=6+c=9,

13<7<8,

團當a=8時，31<3a+Z?+6<38,此時不滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當4=7時，2843a+6+6435,此時不滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；

當4=6時，25<3a+6+6V32,此時可以滿足3a+6+6是13的倍數(shù)，即此時6=2,則此時d=3,c=7,

團要使M最大，則一定要滿足。最大，

回滿足題意的M的最大值即為6273；

故答案為：3456；6273.

A考向四整式的乘除

解題技巧/易錯易混

1.單項式與單項式相乘法則：將系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，相同字母的嘉相乘，單獨在一個單項式里的字母

連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

2.單項式與多項式相乘法則：用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。

3.多項式與多項式相乘法則：先用一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

4.單項式除以單項式法則：把系數(shù)、同底數(shù)嘉分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母,

則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式。

5.多項式除以單項式法則：用多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加。

考查角度1塞的運算

8.（2024?廣東?中考真題）下列計算正確的是（）

A.a2-a5=a10B.a-"C.-2a+5a=7aD.（a2）5=aw

【答案】D

【分析】本題主要考查了同底數(shù)褰乘除法計算，騫的乘方計算，合并同類項，熟知相關計算法則是解題的

關鍵.

【詳解】解：A、a2-a5=a7,原式計算錯誤，不符合題意；

B^as4-a2=a6,原式計算錯誤，不符合題意；

C、-2a+5a=3a,原式計算錯誤，不符合題意；

D、（"）5="。，原式計算正確，符合題意；

故選：D.

9.（2024?河北?中考真題）若a,6是正整數(shù)，且滿足扛曰二必二且二S二，則a與b的關系正

8個2。相加8個2”相乘

確的是（）

A.a+3=8>B.3a=8bC.a+3=bsD.3a=8+b

【答案】A

【分析】本題考查了同底數(shù)鬲的乘法，鬲的乘方的運算的應用，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

由題意得：8、2。=（2〃丫，利用同底數(shù)塞的乘法，器的乘方化簡即可.

【詳解】解：由題意得：8x2fl=（2fc）8,

023x2a=28\

回3+a=86,

故選：A.

10.（2024?天津?中考真題）計算f+尤6的結(jié)果為

【答案】X2

【分析】本題考查同底數(shù)鬲的除法，掌握同底數(shù)鬲的除法，底數(shù)不變，指數(shù)相減是解題的關鍵.

【詳解】解：彳8+/=/,

故答案為:X2.

考查角度2單項式乘單項式

11,（2024?湖北?中考真題）2x-3/的值是（）

A.5x2B.5x3C.6x2D.6x3

【答案】D

【分析】本題主要考查單項式與單項式的乘法.運用單項式乘單項式運算法則求出結(jié)果即可判斷.

【詳解】解:2X-3X2=6X3,

故選：D.

考查角度3單項式乘多項式

12.（2024?甘肅蘭州?中考真題）計算：2”（a-1）-2/=（）

A.aB.C.2aD.—2a

【答案】D

【分析】本題主要考查了整式的混合運算，先計算單項式乘以多項式，再合并同類項即可.

【詳解】解?2a（a—l）—2a2

=2a2—2a—2a~

=-2a

故選：D.

考查角度4多項式乘多項式

13.（2024?山東威海?中考真題）因式分解：（x+2）（x+4）+l=.

【答案】（*+3）2

【分析】本題主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多項式乘以多項式展開，然后利用完全平方公

式分解因式即可.

【詳解】解：（x+2）（x+4）+l

=x?+4x+2x+8+1

=x2+6x+9

=（X+3）2

故答案為：（x+3y.

考查角度5平方差公式

14.（2024?上海?中考真題）計算（。+方）（0-。）=.

【答案】b2-a2

【分析】根據(jù)平方差公式進行計算即可.

【詳解】解:（a+b）（.b-a）

=(b+a)(b—a)

=b2—a2,

故答案為:b2-a2.

【點睛】本題考查平方差公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

考查角度5完全平方公式

15.(2024?黑龍江大慶?中考真題)已知a+1=唐，貝”/+二的值是.

aa

【答案】3

【分析】根據(jù)a+-=V5,通過平方變形可以求得所求式子的值.

a

【詳解】解：回a+工=而，

a

D=5，

1

團CL9H—z-+2=5,

a

1

回a9H———3,

a

故答案為：3.

【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關鍵是熟練掌握完全平方公式.

A考向五整式的混合運算

16.(2024?湖南長沙?中考真題)先化簡，再求值：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3),其中加=g.

【答案】4m-9；1

【分析】本題考查整式的混合運算及其求值，先根據(jù)整式的混合運算法則化簡原式，再代值求解即可.

【詳解】解：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3)

=2m—加2+2m+m2—9

=4m—9.

當m=*時，原式=4x9-9=10-9=1.

22

考點二因式分解

A考向一提公因式法因式分解

17.(2024?浙江?中考真題)因式分解：a2-la=

【答案】a(?-7)

【分析】本題考查了提公因式法因式分解，先提公因式”是解題的關鍵.

【詳解】解：一7).

故答案為：?(a-7).

18.(2024?江蘇徐州?中考真題)若力訓=2,m-n=l,則代數(shù)式1〃-加/的值是.

【答案】2

【分析】本題考查代數(shù)式求值.先將代數(shù)式進行因式分解，然后將條件代入即可求值.

【詳解】解：回wz=2,m-n=l,

n^n—mn2=nm^m—n)=2x1=2,

故答案為：2.

A考向二公式法因式分解

19.(2024?西藏?中考真題)分解因式：尤2-4尤+4=.

【答案】(X-2)2/(2-X)2

【分析】本題考查了分解因式，利用完全平方公式分解即可，熟練掌握完全平方公式是解此題的關鍵.

【詳解】解：x2-4x+4=(x-2)2,

故答案為：(x-2)2.

20.(2024?四川涼山?中考真題)已知且a—》=—2,則a+Z>=.

【答案】一6

【分析】本題考查了因式分解的應用，先把/-加=12的左邊分解因式，再把。-6=-2代入即可求出的

值.

【詳解】解:回/一4=12,

0(a+Z?)(a-Z?)=12,

^\a-b=-2,

團a+b=-6.

故答案為：-6.

21.(2024?陜西?中考真題)先化簡，再求值：(x+〉y+x(x-2y),其中尤=1,y=-2.

【答案】2x?+廣6

【分析】本題考查了整式的混合運算以及求值.根據(jù)完全平方公式和單項式乘以多項式法則進行運算，再

合并同類項，最后代入即可求解.

【詳解】解：(尤+?+尤(x-2y)

=x2+2xy+y2+x2-2xy

=2x2+y2；

當x=l,y=-2時，

原式=2xF+(_2)2=2+4=6.

_.、bQ

22.(2024?福建?中考真題)已知實數(shù)a,瓦。,機,幾滿足3根+〃=—，如:=—.

aa

(1)求證：/-⑵。為非負數(shù)；

⑵若a,b,c均為奇數(shù)，〃〃是否可以都為整數(shù)？說明你的理由.

【答案】⑴證明見解析；

⑵私”不可能都為整數(shù)，理由見解析.

【分析】本小題考查整式的運算、因式分解、等式的性質(zhì)等基礎知識：考查運算能力、推理能力、創(chuàng)新意

識等，以及綜合應用所學知識分析、解決問題的能力.

(1)根據(jù)題意得出人=。(3m+")"=劭加，進而計算廿一12砒，根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(2)分情況討論，①機,〃都為奇數(shù)；②m，“為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)，根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)結(jié)合

已知條件分析即可.

【詳解】(1)解：因為3m+77=—,〃?〃=—,

aa

所以Z?=a(3m+M，c=〃OT：.

則〃2-12ac=[a(3m-\-n^f-12a2rm

=a2(9m2+6mn+*)—12a2mn

=a2(9m2—6mn+/)

=a2(3m-n)2.

因為a,%〃是實數(shù)，所以〃2。加—〃)2>o,

所以后—12初為非負數(shù).

(2)加，〃不可能都為整數(shù).

理由如下：若根，〃都為整數(shù)，其可能情況有：①相/都為奇數(shù)；②也〃為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù).

①當W都為奇數(shù)時，貝(]3m+〃必為偶數(shù).

b

又3m+”=-，所以6=。(3m+“).

因為。為奇數(shù)，所以43機+〃)必為偶數(shù)，這與6為奇數(shù)矛盾.

②當私〃為整數(shù)，且其中至少有一個為偶數(shù)時，則〃譏必為偶數(shù).

又因為"7〃=-,所以C=WM.

a

因為。為奇數(shù)，所以卬曲必為偶數(shù)，這與。為奇數(shù)矛盾.

綜上所述，，"，〃不可能都為整數(shù).

23.（2024?安徽?中考真題）數(shù)學興趣小組開展探究活動，研究了"正整數(shù)N能否表示為，均為

自然數(shù)）”的問題.

⑴指導教師將學生的發(fā)現(xiàn)進行整理，部分信息如下（〃為正整數(shù)）：

N奇數(shù)4的倍數(shù)

1=12-024=22-02

3=22-128=32-12

5=32-2212=42-22

表示結(jié)果

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

LL

一般結(jié)論2n-l=n2-(H-1)24〃=

按上表規(guī)乍再，完成下列問題：

（i）24=（）2_（）2；

（ii）4n=；

⑵興趣小組還猜測：像2,6,10,14,…這些形如4"-2（"為正整數(shù)）的正整數(shù)N不能表示為/-V（劉y均

為自然數(shù)）.師生一起研討，分析過程如下：

假設4〃-2=Y-y2,其中方）均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若X,y均為偶數(shù)，設x=2Z,y=2m,其中后加均為自然數(shù)，

則x2-y2=（2k）2-（2m）2=4（，一一）為4的倍數(shù).

而4”-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故X，）不可能均為偶數(shù).

②若無丁均為奇數(shù)，設x=2Z+l,y=2m+l,其中后根均為自然數(shù)，

貝IJd—丁=(24+1)2—(2m+1)2=為4的倍數(shù).

而4”-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故%，，不可能均為奇數(shù).

③若入，)一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，則/-產(chǎn)為奇數(shù)

而4〃-2是偶數(shù)，矛盾.故%，，不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù).

由①②③可知，猜測正確.

閱讀以上內(nèi)容，請在情形②的橫線上填寫所缺內(nèi)容.

【答案】(1)(i)7,5；(ii)(?+1)2-(?-1)2；

(2)4(左2—nt+k—m\

【分析】(1)(i)根據(jù)規(guī)律即可求解；(近)根據(jù)規(guī)律即可求解；

(2)利用完全平方公式展開，再合并同類項，最后提取公因式即可；

本題考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的運算是解題的關鍵.

【詳解】⑴(i)由規(guī)律可得，24=72-5,

故答案為：7,5；

(ii)由規(guī)律可得，4n=(n+l)2-(n-l)2,

22

故答案為：(?+1)-(?-1);

(2)解：假設4w-2=/_/其中％,y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若X，＞均為偶數(shù)，設x=2%,y=2m,其中后加均為自然數(shù)，

則x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(/-川)為4的倍數(shù).

而4〃-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故左，，不可能均為偶數(shù).

②若劉y均為奇數(shù)，設x=2%+l,y=2/77+1,其中％，機均為自然數(shù)，

貝IJf_/=但左+ip一(2m+=4化2-〃，+左一時為4的倍數(shù).

而4”-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故工，，不可能均為奇數(shù).

③若入，)一個是奇數(shù)一個是偶數(shù)，則/-產(chǎn)為奇數(shù)

而4"-2是偶數(shù)，矛盾.故X，＞不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù).

由①②③可知，猜測正確.

故答案為:4(^k2-m2+k-mj.

7新題特訓/

一、選擇題

1.（2024?廣西?模擬預測）若a4-c=a-（）,則括號中應填入（）

A.b-cB.—b+cC.b+cD.—b—c

【答案】c

【分析】本題主要考查了添括號，添括號時，若括號前是添括號后，括號里的各項都不改變符號；若

括號前是添括號后，括號里的各項都改變符號，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：匕-C=a-（6+c）,

故選：C.

2.（2024?河南關R州?模擬預測）給出下列判斷：①在數(shù)軸上，原點兩旁的兩個點所表示的數(shù)都互為相反數(shù)；

②多項式3孫2-4尤3>+12是三次三項式；③任何正數(shù)都大于它的倒數(shù)；④言=言+1變?yōu)?0x=100x+15利

用了等式的基本性質(zhì).其中正確的說法有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析】本題主要考查相反數(shù)的概念、數(shù)軸的基本概念、等式的基本性質(zhì)、單項式與多項式的基本概念以

及倒數(shù)的概念。

根據(jù)相反數(shù)，可判斷①，根據(jù)多項式的項、次數(shù)，可判斷②，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可判斷③，根據(jù)

等式的性質(zhì)，可判斷④.

【詳解】解；①只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，故①錯誤；

②多項式3孫2-4-〉+12是四次三項式，故②錯誤；

③小于1的正數(shù)小于它的倒數(shù)，故③錯誤；

④福=急+1變?yōu)?0x=100x+15利用了等式的基本性質(zhì)，故④正確；

故選：B.

3.（2024?河南?一模）在學習數(shù)與代數(shù)領域知識時，小明對代數(shù)式做如圖所示的分類，下列選項符合▲的

是（）

「單項式——例如：2a

一整式-j

有理式-、多項式---例如：▲

I分式一例如：!

代數(shù)式《

1無理式一例如:后罰

3a+bI-----

A.------B.------C.Ja+bD.lab

a+b3

【答案】B

【分析】本題考查代數(shù)式的分類，根據(jù)多項式的定義求解即可.

【詳解】A.3是分式，故A選項不符合題意；

B.一是多項式，故B選項符合題意；

C.而^是無理式，故C選項不符合題意；

D2仍是單項式，故D選項不符合題意；

故選：B.

4.（2024?云南?模擬預測）觀察下列按一定規(guī)律排列的，，個數(shù)：x,3d,5x3,7x4........按照上述規(guī)律,

第9個單項式是（）

A.9尤9B.17x9C.17%10D.19x9

【答案】B

【分析】本題考查單項式中的規(guī)律問題，觀察已有單項式，得到第〃個單項式為：（2〃-1）爐，進而求出第9

個單項式即可.

【詳解】解：觀察已有單項式可知：第〃個單項式為：（2/7-l）Z,

國第9個單項式是：179；

故選B.

5.（2024?云南?模擬預測）下列命題正確的是（）

A.對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形

B."水漲船高"是隨機事件

C.單項式2^2的次數(shù)是2

D.一元二次方程/+x+3=0有兩個不相等的實數(shù)根

【答案】A

【分析】本題考查了正方形的判斷定理，隨機事件與必然事件，單項式的次數(shù)，根的判別式，運用相關知

識定理一一判斷即可.

【詳解】解：A、對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形，正確，符合題意；

B、"水漲船高"是隨機事件，錯誤，"水漲船高〃是必然事件，選項不符合題意；

C、單項式2孫②的次數(shù)是2,錯誤，單項式2.2的次數(shù)是3,選項不符合題意；

D、一元二次方程/+犬+3=0有兩個不相等的實數(shù)根，A=12-4X3<0,錯誤，選項不符合題意；

故選：A.

6.（2024?河北唐山?三模）與3952+2x395x5+5?相等的是（）

A.（395-5）2B.（395+5）（395-5）

C.（395+5）2D.（395+10）2

【答案】C

【分析】此題考查完全平方公式進行因式分解，根據(jù)完全平方公式因式分解即可得答案.

【詳解】解：3952+2x395x5+52=（395+5）2,

故選：C.

7.（2024?河北?模擬預測）下列運算中，與2/6?（-26）2運算結(jié)果相同的是（）

A.2b-（2ab^B.-8a2+&3C.（-2a）2'b''D.-（2°町

【答案】A

【分析】本題考查了同底數(shù)騫相乘、騫的乘方、合并同類項、積的乘方，根據(jù)同底數(shù)寨相乘、募的乘方、

合并同類項、積的乘方的運算法則逐項判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關

鍵.

【詳解】解:2a2b-（-2b）2=2a2b-4b2=Sa2b3,

A,2b-（Zab）?=2b-4aV=SaV,故A符合題意；

B、-8〃和尸不是同類項，故不能直接相加，故B不符合題意；

C、（―4萬二/萬二叱火故c不符合題意;

D、-（2a%y=-8°%3,故口不符合題意；

故選：A.

8.（2024?浙江?模擬預測）小江去超市購物，打算購買一件商品，在結(jié)賬時遇到了問題（如圖），你選擇

的辦法是（）

’e小江：這件商品正在

□舉行促銷活動，可以

“打八折，我手里還有

張20元的優(yōu)惠券，

你能通過計算，告訴

I我最省錢的辦法嗎？）

A.先打折，再用券B.先用券，再打折

C.都一樣D.無法確定，取決于商品價格高低

【答案】A

【分析】本題考查了列代數(shù)式，整式加減的應用.設商品標價為x元，分別得到先打折，再用券以及先用券，

再打折需要支付的費用，再比較即可求解.

【詳解】解：設商品標價為X元，

先打折，再用券需要支付0.8X-20元，

先用券，再打折需要支付Q8(x-20)元，

0.8x-20-0.8(x-20)=-4<0,

即先打折，再用券比先用券，再打折更省錢，

故選：A.

9.(2024?黑龍江哈爾濱?模擬預測)現(xiàn)定義一種新運算"的'，對任意有理數(shù)加、〃都有※幾=W7(機-〃)，

則(0+6必(0-少)=()

A.lab1-2b1B.2a%-2Z?C.2ab2+2b2D.2ab-2ab2

【答案】B

【分析】該題主要考查了整式的混合運算，解題的關鍵是根據(jù)新定義列出等式.

原式利用題中的新定義計算即可得到結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得：(。+與※

=(a+6)(q_b)[(a+b)_(a_6)]

=2b(a+b)(a—b)

=2乂u2_廿)

=2a2b-2b3,

故選：B.

10.(2024?重慶?模擬預測)有幾個依次排列的算式：第1項是二,第2項是/+2〃+1,用第2項減去第1

項，所得之差記為4,將4加2記為與，將第2項與為相加作為第3項，將4加2記為打，將第3項與4相

加作為第4項.....以此類推.某數(shù)學興趣小組對此展開研究，得到3個結(jié)論①a=24+9;②若第6項

與第5項之差為4057,則a=2024；③當〃=%時，々+偽+4+d+…+4=2成+■淇中正確的個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【分析】本題主要考查了完全平方公式，數(shù)字類的規(guī)律探索，整式的加減計算，根據(jù)所給計算方式，依次

求出第1項，第2項，第3項，…，及4，b2,打，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【詳解】解：由題知，第1項為：az,

第2項為：4+2a+l=(a+l)2,

回濟=(a+1)—ci~=2a+1,

回％=4+2=2〃+3,

2

團第3項為：a+2a+l+2a+3=[a+2f,b3=b2+2=2a+5,

第4項為：。2+4〃+4+2[+5=（〃+3）2,

以此類推，

第”項為：（。+〃-1）2,bn=2a+2n-l（"為正整數(shù)）.

當九=5時，々=2a+9.故①正確.

第6項與第5項之差可表示為：（4+5）2-（a+4）2,

團（a+5）2-5+4）2=4057,

解得a=2024.故②正確.

當”=左時，

b[+Z?2+4+,??+%

=2a+1+2a+3+2a+5+??,+2a+2k—1

左（1+2左一1）

=2ak+-^-----------L

2

=2ak+k1-故③正確.

故選：D.

11,（2024?湖南?模擬預測）下列運算正確的是（）

A.a，+=.3B.（a—2）=cr-4

C.（-2m2）3=-8/7i6D.2ab+30^=5a3b2

【答案】C

【分析】本題考查整式的運算，根據(jù)同底數(shù)鬲的除法，完全平方公式，積的乘方，鬲的乘方，合并同類項

的法則，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：A、/+/=/,原選項計算錯誤，不符合題意；

B、（a-2）2=a2-4a+4,原選項計算錯誤，不符合題意；

C、（-2m2y=_8/,原選項計算正確，符合題意；

D、2",3a%不能合并，原選項計算錯誤，不符合題意；

故選C.

12.（2024?重慶?一模）在多項式-。-屹+。）-4（其中。>6>c>d）中，對每個字母及其左邊的符號（不包

括括號外的符號）稱為一個數(shù)，即：-。為"數(shù)1",6為"數(shù)2",+。為"數(shù)3",-d為"數(shù)4",若將任意兩個數(shù)

交換位置，后得到一個新多項式，再寫出新多項式的絕對值，這樣的操作稱為對多項式的"絕

對換位變換"，例如：對上述多項式的"數(shù)3"和"數(shù)4"進行"絕對換位變換”，得到卜"-（。-團+小將其化簡后

結(jié)果為“+….下列說法：

①對多項式的"數(shù)1"和"數(shù)2"進行"絕對換位變換”后的運算結(jié)果一定等于對"數(shù)3"和"數(shù)4〃進行"絕對換位變

換”后的運算結(jié)果；

②不存在"絕對換位變換"，使其運算結(jié)果與原多項式相等；

③所有的"絕對換位變換"共有5種不同運算結(jié)果.

其中正確的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】本題考查了整式的加減運算，對于新定義的理解及絕對值的性質(zhì)的應用是解題關鍵.按照所提供

的運算，將所有存在的結(jié)果計算，即可解題.

【詳解】解：對多項式的"數(shù)1"和"數(shù)2"進行"絕對換位變換"后的運算，|6-（-a+c）-d|=a+6-c-4,故①

正確；

對多項式的"數(shù)1"和"數(shù)3"進行"絕對換位變換”后的運算，,-（6"）-,

對多項式的"數(shù)1"和"數(shù)4"進行"絕對換位變換"后的運算，卜〃-伍+。）-4=。+6+，+〃或—?！?一。一”

對多項式的"數(shù)2"和"數(shù)3"進行"絕對換位變換"后的運算，卜（c+6）-4=a+6+c+d或—。―對多

項式的"數(shù)2"和"數(shù)4"進行"絕對換位變換"后的運算，/“-（-d+c）+6|=a-6+c-d,

綜上共4種結(jié)果，故③錯誤；

其中存在，，絕對換位變換，，，使其運算結(jié)果與原多項式相等，故②錯誤.

故選：B.

二、填空題

13.（2024?甘肅?三模）如果-4dy"T與是同類項，那么九=.

【答案】2

【分析】本題主要考查了同類項的定義，所含字母相同，相同字母的指數(shù)也相同的單項式叫做同類項，據(jù)

此解答即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得：〃-1=1,

:.幾=2,

故答案為：2.

1,

14.（2024?福建廈門?二模）已知x—1=則（2x+l）一一3x（x+l）的值為.

【答案】2

【分析】本題考查整式的混合運算、代數(shù)式求值，熟練掌握運算法則，利用整體代入思想求解是解答的關

鍵.先根據(jù)》-工=-1得出必+》=1,然后利用完全平方公式、單項式乘多項式化簡原式，再整體代值求解

X

即可.

【詳解】解：0%--=-1,

X

0X?+X=1,

(2元+1)——3元(尤+1)

=4元2+4尤+1-3*2-3尤

—X~+X+1

=1+1

=2.

15.(2024?湖北?一模)我國南宋時期數(shù)學家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給

出了(。+6)"展開式的系數(shù)規(guī)律.

1......(a+6)°=l

11......Ca+bV^a+b

121......(a+by=a2+2ab窗

1331......(a+by=a3+3a2b+3ab2+b3

當代數(shù)式V-9f+27尤-27的值為8時，則x的值為.

【答案】5

【分析】此題考查了多項式中乘法規(guī)律問題.觀察題中的圖表，表示出(°+33,根據(jù)已知代數(shù)式的值為8,

確定出x的值即可.

【詳解】解:根據(jù)題意得：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,

.■.X3-9^2+27X-27

=d+3X2-(-3)+3%-(-3)2+(-3>

=(x-3)3,

(%-3)3=8,

開立方得：x-3=2,

解得：x=5.

故答案為：5.

16.(2024?湖南?模擬預測)某班開展圖書交換閱讀活動.甲、乙、丙三名同學有相同數(shù)量的圖書、甲同學

借給乙同學4本，丙同學借給乙同學2本，一段時間后，他們約定：乙同學須將手中甲、丙兩名同學現(xiàn)有

圖書數(shù)量總和的一半，借給甲同學，而后乙同學手上剩余圖書的數(shù)量為本.

【答案】9

【分析】本題主要考查了整式加減的意義，設一開始三名同學各有x本圖書，則甲、丙借完圖書給乙后乙有

圖書（x+4+2）本，而甲、丙剩余圖書之和為（X-4+X-2）,再根據(jù)題意列式求解即可.

【詳解】解：設一開始三名同學各有x本圖書，

由題意得，乙同學手上剩余圖書的數(shù)量為x+4+2-=x+6-（尤-3）=9本，

故答案為：9.

三、解答題

17.（2024?河北?模擬預測）如圖1是一個長為m,寬為n的矩形（機＞〃）.用7張圖1中的小矩形紙片,

按圖2的方式無空隙不重疊地放在大矩形內(nèi)，未被覆蓋的部分用陰影表示.若大矩形的長是寬的;.

2

m

圖1圖2

⑴求m與n的關系；

⑵若圖2中，大矩形的面積為18,求陰影部分的面積.

【答案】（l）m=4n

z26

（2）T

【分析】本題考查列代數(shù)式、整式的加減、多項式乘多項式、代數(shù)式求值，看懂圖形，正確列出代數(shù)式是

解答的關鍵.

（1）先根據(jù)圖形，用機、”表示出矩形的長、寬，再根據(jù)長和寬的關系可得結(jié)論；

（2）根據(jù)圖形，用加、”表示出大矩形的面積，進而求得進而可得陰影面積的值.

【詳解】（1）解：由題意，大矩形的長為加+5”，寬為m+2”，

國大矩形的長是寬的：，

2

3

^\