相似三角形存在性問題（學生版）-2024年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題

專題08相似三角形存在性問題

一、知識導航

在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構成的三角形與其他三角形相似，即為“相似三角形存在性問題”.

【相似判定】

判定1：三邊對應成比例的兩個三角形是相似三角形；

判定2:兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形是相似三角形；

判定3:有兩組角對應相等的三角形是相似三角形.

以上也是坐標系中相似三甭形存在性問題的方法來源，根據(jù)題目給的已知條件選擇恰當?shù)呐卸ǚ椒?，解決

問題.

【題型分析】

通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為“單動點''類、"雙動點”

兩類問題.

【思路總結】

根據(jù)相似三角形的做題經(jīng)驗，可以發(fā)現(xiàn)，判定1基本是不會用的，這里也一樣不怎么用，對比判定2、3可

以發(fā)現(xiàn)，都有角相等！

所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關鍵點也是先找到一組相等角.

然后再找：

思路1:兩相等角的兩邊對應成比例；

思路2:還存在另一組角相等.

事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優(yōu)先考慮思路1.

一、如何得到相等角？

二、如何構造兩邊成比例或者得到第二組角？

搞定這兩個問題就可以了.

二、典例精析

例一、如圖，拋物線y=ox2+bx+c與x軸交于點A(-1,0),點8(3,0),與y軸交于點C,且過點。(2,

-3).點。是拋物線y=G?+bx+c上的動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,直線。。與線段相交于點E,當與aABC相似時，求點。的坐標.

【分析】

（1）拋物線：y=f-2元-3;

（2）思路：考慮到△ABC和△80E有一組公共角，公共角必是對應角.

/ABC的兩邊BA、BC與々OBE的兩邊BO、8E成比例即可，故可得:

_B_E—_B_A_B_E—_B_C

BOBCBOBA'

解得：BE=2?或BE=20

4

39

故E點坐標為（1,-2）或

4，-4

當E點坐標為（1,-2）時，直線0E解析式為y=-2x,

2

聯(lián)立方程：-2x=x-2x-3,解得：x、=g,x2=-A/3,

此時Q點坐標為（6,-2吟或（-6,2⑻;

39

當E點坐標為時，直線OE解析式為、=-3無，

4，-4

_i+./TT-I-A/13

聯(lián)立方程：一3尤=f-2x—3,解得：x,="

、

此時。點坐標為或

/

綜上所述，Q點坐標為(四,-2后)或卜否,2石)或或

說明：過程應詳細分類討論兩種情況，分別求出結果.

例二、如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=x-l與拋物線y=-%2+bx+c交于A、B兩點、,其中A(m,0)、

B(4,n),該拋物線與y軸交于點C,與％軸交于另一點O.

(1)求加、〃的值及該拋物線的解析式；

(2)如圖2,連接3D、CD,在線段CO上是否存在點Q,使得以A、D、。為頂點的三角形與△A3。相似,

若存在，請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)m=l,n=3,

拋物線解析式為y=-x2+6x-5;

(2)思路：平行得相等角，構造兩邊成比例

由題意得。(5,0),故直線解析式為：y=x-5,

：.CDIIAB,

：.￡CDA=ABAD,

考慮到點。在線段CD上，

.DAAB,,DAAD

,DQADDQAB'

8拒L

解得：DQ=弋或DQ=3亞,

故Q點坐標為［，-1］或(2,-3).

三、中考真題演練

1.（2023?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）綜合與探究

如圖，拋物線y=-/+bx+c上的點A,C坐標分別為（0,2）,（4,0）,拋物線與x軸負半軸交于點8,點M

（1）求點M的坐標及拋物線的解析式；

⑶點。是線段3c（包含點2,。上的動點，過點。作x軸的垂線，交拋物線于點。，交直線CM于點N,

若以點。，N,C為頂點的三角形與VCO般相似，請直接寫出點。的坐標；

2.(2023?湖北武漢?中考真題)拋物線G：y=/-2X-8交X軸于兩點(A在8的左邊)，交，軸于點C.

(1)

⑴直接寫出4民c三點的坐標;

⑵如圖(1),作直線x=(0<t<4),分別交x軸，線段5C,拋物線G于D，E，尸三點，連接CF.若^BDE

與△CEF相似，求f的值;

3.(2023?湖北隨州?中考真題)如圖1,平面直角坐標系中，拋物線V-底+法+。過點4T0),8(2,0)

和C(0,2),連接BC,點PS?,")(機>0)為拋物線上一動點,過點P作PN，x軸交直線BC于點M,交x軸

于點N.

(圖1)(圖2)

⑴亶填與小拋物線和直線BC的解析式;

(3)當p點在運動過程中，在y軸上是否存在點Q,使得以O,P,Q為頂點的三角形與以8,C,N為頂

點的三角形相似(其中點P與點C相對應)，若存在，直接寫出點P和點。的坐標；若不存在，請說明理由.

4.(2022?四川綿陽?中考真題)如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A(-l,0),8兩點，交y軸于點C(0,

3),頂點。的橫坐標為1.

(1)求拋物線的解析式；

(3)過點C作直線/與y軸垂直，與拋物線的另一個交點為E,連接AD,AE,DE,在直線/下方的拋物線上

是否存在一點跖過點M作板垂足為R使以M,F,E三點為頂點的三角形與/4DE相似？若存在,

請求出M點的坐標，若不存在，請說明理由.

5.(2022?湖南?中考真題)如圖，已知拋物線＞=辦2+法+3(。工0)的圖像與天軸交于41,0),3(4,0)兩點,

與，軸交于點C,點。為拋物線的頂點.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點。的坐標；

(2)若四邊形BCEF為矩形，CE=3.點/以每秒1個單位的速度從點C沿CE向點E運動，同時點N以每

秒2個單位的速度從點E沿斯向點尸運動，一點到達終點，另一點隨之停止.當以/、E、N為頂點的

三角形與ABOC相似時，求運動時間f的值；

6.（2022?遼寧?中考真題）拋物線>=以2-2x+c經(jīng)過點A（3,0）,點C（0,-3）,直線y=-x+6經(jīng)過點A,

交拋物線于點E.拋物線的對稱軸交AE于點8,交x軸于點。，交直線AC于點F.

圖①圖②

（1）求拋物線的解析式；

（3）如圖②，連接CD點。為平面內直線AE下方的點，以點。，A,E為頂點的三角形與AC。尸相似時（AE

與CD不是對應邊），請直接寫出符合條件的點Q的坐標.

7.（2022?廣西桂林?中考真題）如圖，拋物線y=-N+3尤+4與x軸交于A,8兩點（點A位于點B的左側），

與y軸交于C點，拋物線的對稱軸/與龍軸交于點N,長為1的線段PQ（點尸位于點。的上方）在x軸上

方的拋物線對稱軸上運動.

⑴直接寫出A,B,C三點的坐標；

⑶過點尸作軸于點跖當ACRW和AQBN相似時，求點。的坐標.

8.(2022?廣西玉林?中考真題)如圖，已知拋物線：＞=-2爐+樂+，與x軸交于點A,8(2,0)(A在8的左

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

⑶過點尸作x軸的垂線與線段8C交于點垂足為點H,若以P,M,C為頂點的三角形與相似，

求點尸的坐標.

9.(2022.湖南衡陽?中考真題)如圖，已知拋物線y=--x-2交無軸于A、8兩點，將該拋物線