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文檔簡介

2025屆云南省峨山一中高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,,則()A. B.C. D.2.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.3.A. B. C. D.4.已知拋物線上一點到焦點的距離為,分別為拋物線與圓上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.5.中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來,構件的凸出部分叫榫頭,凹進部分叫卯眼,圖中木構件右邊的小長方體是榫頭.若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體,則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是A. B. C. D.6.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,當輸出的時,則輸入的的值為()A.-2 B.-1 C. D.8.執(zhí)行程序框圖,則輸出的數(shù)值為()A. B. C. D.9.已知平面向量,滿足,,且,則()A.3 B. C. D.510.已知函數(shù),下列結論不正確的是()A.的圖像關于點中心對稱 B.既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)C.的圖像關于直線對稱 D.的最大值是11.已知直線y=k(x﹣1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點,直線y=2k(x﹣2)與拋物線D:y2=8x交于M,N兩點,設λ=|AB|﹣2|MN|,則()A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣1212.已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過原點O作斜率為的直線交C的右支于點A,若|OA|=|OF|,則雙曲線的離心率為()A. B. C.2 D.+1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為,則_______.14.已知為偶函數(shù),當時,,則__________.15.的展開式中的常數(shù)項為__________.16.已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為,則______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數(shù)f(x)=x2?4xsinx?4cosx.(1)討論函數(shù)f(x)在[?π,π]上的單調性;(2)證明:函數(shù)f(x)在R上有且僅有兩個零點.18.(12分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設,∠,∠,將沿折起,構成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)某百貨商店今年春節(jié)期間舉行促銷活動,規(guī)定消費達到一定標準的顧客可進行一次抽獎活動,隨著抽獎活動的有效開展,參與抽獎活動的人數(shù)越來越多,該商店經(jīng)理對春節(jié)前天參加抽獎活動的人數(shù)進行統(tǒng)計,表示第天參加抽獎活動的人數(shù),得到統(tǒng)計表格如下:123456758810141517(1)經(jīng)過進一步統(tǒng)計分析,發(fā)現(xiàn)與具有線性相關關系.請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;(2)該商店規(guī)定:若抽中“一等獎”,可領取600元購物券;抽中“二等獎”可領取300元購物券;抽中“謝謝惠顧”,則沒有購物券.已知一次抽獎活動獲得“一等獎”的概率為,獲得“二等獎”的概率為.現(xiàn)有張、王兩位先生參與了本次活動,且他們是否中獎相互獨立,求此二人所獲購物券總金額的分布列及數(shù)學期望.參考公式:,,,.20.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點處的切線方程;(Ⅱ)求證:在上存在唯一的極大值;(Ⅲ)直接寫出函數(shù)在上的零點個數(shù).21.(12分)在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標原點為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系中,曲線的極坐標方程為.(1)若點在直線上,求直線的極坐標方程;(2)已知,若點在直線上,點在曲線上,且的最小值為,求的值.22.(10分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調區(qū)間;(2)當時,判斷函數(shù),()有幾個零點,并證明你的結論;(3)設函數(shù),若函數(shù)在為增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

求出集合,計算出和,即可得出結論.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎題.2、B【解析】

圖像分析采用排除法,利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù),再利用特值確定函數(shù)的正負情況。【詳解】,故奇函數(shù),四個圖像均符合。當時,,,排除C、D當時,,,排除A。故選B?!军c睛】圖像分析采用排除法,一般可供判斷的主要有:奇偶性、周期性、單調性、及特殊值。3、A【解析】

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】本題正確選項:【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,是基礎的計算題.4、D【解析】

利用拋物線的定義,求得p的值,由利用兩點間距離公式求得,根據(jù)二次函數(shù)的性質,求得,由取得最小值為,求得結果.【詳解】由拋物線焦點在軸上,準線方程,則點到焦點的距離為,則,所以拋物線方程:,設,圓,圓心為,半徑為1,則,當時,取得最小值,最小值為,故選D.【點睛】該題考查的是有關距離的最小值問題,涉及到的知識點有拋物線的定義,點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑,二次函數(shù)的最小值,屬于中檔題目.5、A【解析】

詳解:由題意知,題干中所給的是榫頭,是凸出的幾何體,求得是卯眼的俯視圖,卯眼是凹進去的,即俯視圖中應有一不可見的長方形,且俯視圖應為對稱圖形故俯視圖為故選A.點睛:本題主要考查空間幾何體的三視圖,考查學生的空間想象能力,屬于基礎題。6、C【解析】

結合正弦定理、三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.7、B【解析】若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán),輸出,符合題意;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;若輸入,則執(zhí)行循環(huán)得結束循環(huán),輸出,與題意輸出的矛盾;綜上選B.8、C【解析】

由題知:該程序框圖是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值,計算程序框圖的運行結果即可得到答案.【詳解】,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,不滿足條件,輸出.故選:C【點睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結構,屬于簡單題.9、B【解析】

先求出,再利用求出,再求.【詳解】解:由,所以,,,故選:B【點睛】考查向量的數(shù)量積及向量模的運算,是基礎題.10、D【解析】

通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性,函數(shù)的最值判斷選項的正誤即可得到結果.【詳解】解:,正確;,為奇函數(shù),周期函數(shù),正確;,正確;D:,令,則,,,,則時,或時,即在上單調遞增,在和上單調遞減;且,,,故D錯誤.故選:.【點睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷,利用導數(shù)判斷函數(shù)最值,屬于中檔題.11、D【解析】

分別聯(lián)立直線與拋物線的方程,利用韋達定理,可得,,然后計算,可得結果.【詳解】設,聯(lián)立則,因為直線經(jīng)過C的焦點,所以.同理可得,所以故選:D.【點睛】本題考查的是直線與拋物線的交點問題,運用拋物線的焦點弦求參數(shù),屬基礎題。12、B【解析】

以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,可求出點,則,整理計算可得離心率.【詳解】解:以為圓心,以為半徑的圓的方程為,聯(lián)立,取第一象限的解得,即,則,整理得,則(舍去),,.故選:B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,考查學生的計算能力,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】

求出導函數(shù),由切線方程得切線斜率和切點坐標,從而可求得.【詳解】由題意,∵函數(shù)圖象在點處的切線方程為,∴,解得,∴.故答案為:1.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義,求出導函數(shù)是解題基礎,14、【解析】

由偶函數(shù)的性質直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,對數(shù)函數(shù)的運算,考查運算求解能力15、31【解析】

由二項式定理及其展開式得通項公式得:因為的展開式得通項為,則的展開式中的常數(shù)項為:,得解.【詳解】解:,則的展開式中的常數(shù)項為:.故答案為:31.【點睛】本題考查二項式定理及其展開式的通項公式,求某項的導數(shù),考查計算能力.16、【解析】

先對函數(shù)f(x)求導,再根據(jù)圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,得f′(0)=﹣4,由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得,∵函數(shù)f(x)的圖象在(0,f(0))處切線的斜率為﹣4,,.故答案為4【點睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點切線方程的斜率求參數(shù)的問題,屬于基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】

(1)f(x)=2x?4xcosx?4sinx+4sinx=,由f(x)=1,x∈[?π,π]得x=1或或.當x變化時,f(x)和f(x)的變化情況如下表:x1f(x)?1+1?1+f(x)單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以f(x)在區(qū)間,上單調遞減,在區(qū)間,上單調遞增.(2)由(1)得極大值為f(1)=?4;極小值為f()=f()<f(1)<1.又f(π)=f(?π)=π2+4>1,所以f(x)在,上各有一個零點.顯然x∈(π,2π)時,?4xsinx>1,x2?4cosx>1,所以f(x)>1;x∈[2π,+∞)時,f(x)≥x2?4x?4>62?4×6?4=8>1,所以f(x)在(π,+∞)上沒有零點.因為f(?x)=(?x)2?4(?x)sin(?x)?4cos(?x)=x2?4xsinx?4cosx=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),從而x<?π時,f(x)>1,即f(x)在(?∞,?π)上也沒有零點.故f(x)僅在,上各有一個零點,即f(x)在R上有且僅有兩個零點.18、(1)證明見解析;(2)【解析】

(1)取AB的中點O,連接,證得,從而證得C′O⊥平面ABD,再結合面面垂直的判定定理,即可證得平面⊥平面;(2)以O為原點,AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立的空間直角坐標系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.【詳解】(1)取AB的中點O,連接,,在Rt△和Rt△ADB中,AB=2,則=DO=1,又C′D=,所以,即⊥OD,又⊥AB,且AB∩OD=O,平面ABD,所以⊥平面ABD,又C′O?平面,所以平面⊥平面DAB(2)以O為原點,AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,-1,0),B(0,1,0),C′(0,0,1),,所以,,,設平面的法向量為=(),則,即,代入坐標得,令,得,,所以,設平面的法向量為=(),則,即,代入坐標得,令,得,,所以,所以,所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直的判定與證明,以及空間角的求解問題,意在考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力,解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質定理,通過嚴密推理是線面位置關系判定的關鍵,同時對于立體幾何中角的計算問題,往往可以利用空間向量法,通過求解平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.19、(1);(2)見解析【解析】試題分析:(I)由題意可得,,則,,關于的線性回歸方程為.(II)由題意可知二人所獲購物券總金額的可能取值有、、、、元,它們所對應的概率分別為:,,,.據(jù)此可得分布列,計算相應的數(shù)學期望為元.試題解析:(I)依題意:,,,,,,則關于的線性回歸方程為.(II)二人所獲購物券總金額的可能取值有、、、、元,它們所對應的概率分別為:,,,,.所以,總金額的分布列如下表:03006009001200總金額的數(shù)學期望為元.20、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)函數(shù)在有3個零點.【解析】

(Ⅰ)求出導數(shù),寫出切線方程;(Ⅱ)二次求導,判斷單調遞減,結合零點存在性定理,判斷即可;(Ⅲ),數(shù)形結合得出結論.【詳解】解:(Ⅰ),,,故在點,處的切線方程為,即;(Ⅱ)證明:,,,故在遞減,又,,由零點存在性定理,存在唯一一個零點,,當時,遞增;當時,遞減,故在只有唯一的一個極大值;(Ⅲ)函數(shù)在有3個零點.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)求切線方程,考查零點存在性定理的應用,關鍵是能夠通過導函數(shù)的單調性和零點存在定理確定導函數(shù)的零點個數(shù),進而確定函數(shù)的單調性,屬于難題.21、(1)(2)【解析】

(1)利用消參法以及點求解出的普通方程,根據(jù)極坐標與直角坐標的轉化求解出直線的極坐標方程;(2)將的坐標設為,利用點到直線的距離公式結合三角函數(shù)的有界性,求解出取最小值時對應的值.【詳解】(1)消去參數(shù)得普通方程為,將代入,可得,即所以的極坐標方程為(2)的直角坐標方程為直線的直角坐標方程設的直角坐標為∵在直線上,∴的最小值為到直線的距離的最小值∵,∴當,時取得最小值即,∴【點睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的互化以及根據(jù)曲線上一點到直線距離的最值求參數(shù),難度一般.(1)直角坐標和極坐標的互化公式:;(2)求解曲線上一點到直線的距離的最值,可優(yōu)先考慮將點的坐標設為參數(shù)方程的形式,然后再去求解.22、(1)單調增區(qū)間,單調減區(qū)間為,;(2)有2個零點,證明見解析;(3)【解析】

對函數(shù)求導,利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調區(qū)間即可;函數(shù)有2個零點.根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理即可證明;記函數(shù),求導后利用單調性求得,由零點存在性定理及單調性知存在唯一的,使,求得為分段函數(shù)

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