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山東省濱州市重點(diǎn)中學(xué)2025屆高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)全集,集合,則=()A. B. C. D.2.設(shè),,則的值為()A. B.C. D.3.一個封閉的棱長為2的正方體容器,當(dāng)水平放置時,如圖,水面的高度正好為棱長的一半.若將該正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器里水面的最大高度為()A. B. C. D.4.已知命題若,則,則下列說法正確的是()A.命題是真命題B.命題的逆命題是真命題C.命題的否命題是“若,則”D.命題的逆否命題是“若,則”5.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.已知是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,,則()A. B.2 C.3 D.7.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.8.已知,則的值等于()A. B. C. D.9.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.10.設(shè)實數(shù)x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A.1 B.2 C.3 D.411.已知,,,,.若實數(shù),滿足不等式組,則目標(biāo)函數(shù)()A.有最大值,無最小值 B.有最大值,有最小值C.無最大值,有最小值 D.無最大值,無最小值12.已知函數(shù),若,則等于()A.-3 B.-1 C.3 D.0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù)、滿足,且可行域表示的區(qū)域為三角形,則實數(shù)的取值范圍為______,若目標(biāo)函數(shù)的最小值為-1,則實數(shù)等于______.14.已知,滿足約束條件則的最小值為__________.15.已知拋物線的焦點(diǎn)為,其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點(diǎn),過的直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率________.16.函數(shù)過定點(diǎn)________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知為橢圓的左、右焦點(diǎn),離心率為,點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線分別交橢圓于和,且,問是否存在常數(shù),使得成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.18.(12分)如圖,過點(diǎn)且平行與x軸的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)M且斜率為正的直線交橢圓于段C、D,直線AC、BD分別交直線于點(diǎn)E、F,求證:是定值.19.(12分)如圖,空間幾何體中,是邊長為2的等邊三角形,,,,平面平面,且平面平面,為中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)求二面角平面角的余弦值.20.(12分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺.校團(tuán)委、學(xué)生會從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生,對是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說明,能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機(jī)選取3人到火車站迎接新生,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82821.(12分)已知數(shù)列滿足,且.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.22.(10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程是.(1)寫出的極坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)、的極坐標(biāo)分別為和,直線與曲線相交于,兩點(diǎn),射線與曲線相交于點(diǎn),射線與曲線相交于點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先求得全集包含的元素,由此求得集合的補(bǔ)集.【詳解】由解得,故,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查補(bǔ)集的概念及運(yùn)算,考查一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
利用倍角公式求得的值,利用誘導(dǎo)公式求得的值,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值,進(jìn)而求得的值,最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】,,,,,,,,故選:D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題,涉及到的知識點(diǎn)有誘導(dǎo)公式,正切倍角公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式,正切差角公式,屬于基礎(chǔ)題目.3、B【解析】
根據(jù)已知可知水面的最大高度為正方體面對角線長的一半,由此得到結(jié)論.【詳解】正方體的面對角線長為,又水的體積是正方體體積的一半,且正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),所以容器里水面的最大高度為面對角線長的一半,即最大水面高度為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的幾何特征,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
解不等式,可判斷A選項的正誤;寫出原命題的逆命題并判斷其真假,可判斷B選項的正誤;利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】解不等式,解得,則命題為假命題,A選項錯誤;命題的逆命題是“若,則”,該命題為真命題,B選項正確;命題的否命題是“若,則”,C選項錯誤;命題的逆否命題是“若,則”,D選項錯誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查四種命題的關(guān)系,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】
設(shè),則,可得,即可得到,進(jìn)而找到對應(yīng)的點(diǎn)所在象限.【詳解】設(shè),則,,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在象限,考查復(fù)數(shù)的模,考查運(yùn)算能力.6、A【解析】
由奇函數(shù)定義求出和.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù),.又當(dāng)時,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性,掌握奇函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.7、A【解析】
求出集合,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
由余弦公式的二倍角可得,,再由誘導(dǎo)公式有,所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對二倍角公式的應(yīng)用,要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式,屬于簡單題9、D【解析】
根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個三棱錐和一個三棱柱構(gòu)成,利用錐體和柱體的體積公式計算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構(gòu)成,該多面體體積為.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖,考查柱體和錐體的體積公式,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直線在y軸的截距加上1,根據(jù)圖像知,當(dāng)x+y=2時,且x∈-13,1時,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.11、B【解析】
判斷直線與縱軸交點(diǎn)的位置,畫出可行解域,即可判斷出目標(biāo)函數(shù)的最值情況.【詳解】由,,所以可得.,所以由,因此該直線在縱軸的截距為正,但是斜率有兩種可能,因此可行解域如下圖所示:由此可以判斷該目標(biāo)函數(shù)一定有最大值和最小值.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了目標(biāo)函數(shù)最值是否存在問題,考查了數(shù)形結(jié)合思想,考查了不等式的性質(zhì)應(yīng)用.12、D【解析】分析:因為題設(shè)中給出了的值,要求的值,故應(yīng)考慮兩者之間滿足的關(guān)系.詳解:由題設(shè)有,故有,所以,從而,故選D.點(diǎn)睛:本題考查函數(shù)的表示方法,解題時注意根據(jù)問題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最小值,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.【詳解】作出可行域如圖,則要為三角形需滿足在直線下方,即,;目標(biāo)函數(shù)可視為,則為斜率為1的直線縱截距的相反數(shù),該直線截距最大在過點(diǎn)時,此時,直線:,與:的交點(diǎn)為,該點(diǎn)也在直線:上,故,故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
畫出可行域,通過平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置,由此求得目標(biāo)函數(shù)的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示,由圖可知:可行域是由三點(diǎn),,構(gòu)成的三角形及其內(nèi)部,當(dāng)直線過點(diǎn)時,取得最小值.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)的最值,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
求出拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo),由,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算得,直線方程為,代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得,,從而可求得,得斜率.【詳解】由得,即聯(lián)立得解得或,∴.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交,考查向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示.直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元,應(yīng)用韋達(dá)定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法.16、【解析】
令,,與參數(shù)無關(guān),即可得到定點(diǎn).【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,函數(shù)值與參數(shù)無關(guān),所有過定點(diǎn).故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)的定點(diǎn)問題,關(guān)鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關(guān),熟記常見函數(shù)的定點(diǎn)可以節(jié)省解題時間.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)存在,.【解析】
(1)由條件建立關(guān)于的方程組,可求得,得出橢圓的方程;(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時,可求得,求得,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時,設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程,求出線段,再由得出線段,根據(jù)等差中項可求得,得出結(jié)論.【詳解】(1)由條件得,所以橢圓的方程為:;(2),①當(dāng)直線的斜率不存在時,,此時,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時,設(shè),聯(lián)立消元得,設(shè),,直線的斜率為,同理可得,所以,綜合①②,存在常數(shù),使得成等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長公式的相關(guān)問題,當(dāng)兩直線的斜率具有關(guān)系時,可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長,屬于中檔題.18、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)由題意求得的坐標(biāo),代入橢圓方程求得,由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,可得關(guān)于的一元二次方程,設(shè)出的坐標(biāo),分別求出直線與直線的方程,從而求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo),利用根與系數(shù)關(guān)系可化簡證得為定值.【詳解】(1)由已知可得:,代入橢圓方程得:橢圓方程為;(2)設(shè)直線CD的方程為,代入,得:設(shè),,則有,則AC的方程為,令,得BD的方程為,令,得,證畢.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法,考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計算能力,是難題.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)分別取,的中點(diǎn),,連接,,,,,要證明平面,只需證明面∥面即可.(2)以點(diǎn)為原點(diǎn),以為軸,以為軸,以為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,分別計算面的法向量,面的法向量可取,并判斷二面角為銳角,再利用計算即可.【詳解】(1)證明:分別取,的中點(diǎn),,連接,,,,.由平面平面,且交于,平面,有平面,由平面平面,且交于,平面,有平面,所以∥,又平面,平面,所以∥平面,由,有,∥,又平面,平面,所以∥平面,由∥平面,∥平面,,所以平面∥平面,所以∥平面(2)以點(diǎn)為原點(diǎn),以為軸,以為軸,以為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系由面,所以面的法向量可取,點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn),,,設(shè)面的法向量,所以,取,二面角的平面角為,則為銳角.所以【點(diǎn)睛】本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,在做此類題時,一定要準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo).20、(1)有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)詳見解析.【解析】
(1)計算得到,由此可得結(jié)論;(2)根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù),由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式計算可得期望.【詳解】(1)∵的觀測值,有的把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣方法得:男生有人,女生有人,選取的人中,男生有人,女生有人.則的可能取值有,,,,,的分布列為:.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解;關(guān)鍵是能夠明確隨機(jī)變量服從于超幾何分布,進(jìn)而利用超幾何分布概率公式求得隨機(jī)變量每個取值所對應(yīng)的概率.21、(1)證明見解析,;(2).【解析】
(1)將等式變形為,進(jìn)而可證明出是等差數(shù)列,確定數(shù)列的首項和公差,可求得的表達(dá)式,進(jìn)而可得出數(shù)列的通項公式;(2)利用錯位相減法可求得數(shù)列的前項和.【詳解】(1)因為,所以,即,所以數(shù)列是等差數(shù)列,且公差,其首項所以,解得;(2)
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