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數(shù)值分析試卷(I)及答案一.(8分)用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分,問(wèn)區(qū)間應(yīng)分多少等分,才能保證計(jì)算結(jié)果有五位有效數(shù)字?解:由又由于(3)其截?cái)嗾`差應(yīng)滿足:(3)n=68即可滿足要求(2)二.(10分)求函數(shù)y=arctanx在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式(保留6位小數(shù))解:(4)解方程組,(5)(1)三.(18分)設(shè)函數(shù)滿足表中條件:01210-221)填寫(xiě)均差計(jì)算表(標(biāo)有*號(hào)處不填):001******110***22-2(2)分別求出滿足條件的2次Lagrange和Newton差值多項(xiàng)式.(3)求出一個(gè)三次插值多項(xiàng)式,使其滿足表中所有條件.解:(1)001******110-1***22-2-2-0.5(5)(2)(6)(3)令則(7)四.(18分)(1).用Romberg方法計(jì)算,將計(jì)算結(jié)果填入下表(*號(hào)處不填).0*********1******2***3(2).對(duì)于求積公式求待定系數(shù)使該求積公式的代數(shù)精度盡量高,并指明求積公式的代數(shù)精度;用該公式計(jì)算積分解:(1)00.74924*********10.474200.38252******20.390760.362940.36164***30.368650.361280.361170.36116(8)(2)a)當(dāng)f(x)=1,x時(shí),令解得將求積公式具有三次代數(shù)精度(7)b)(3)五.(18分)對(duì)于方程(1)分析方程的正根范圍.(2)可以構(gòu)造迭代公式:,分析兩種迭代法的收斂性(2)用Newton迭代法計(jì)算方程正根解的近似值.(要求精度滿足:).解:(1)設(shè)當(dāng)所以正根在(1,2)內(nèi),并且是唯一正根。(5)(2)對(duì)于迭代格式對(duì)于迭代格式(6)(7)六.(10分)用直接三角分解(LU分解)法求解線性方程組:其中解:(4)令(3)(3)七.(10分)已知初值問(wèn)題且,計(jì)算公式,判斷計(jì)算公式精度階數(shù).解:通過(guò)對(duì)比,計(jì)算公式具有2階精度(10)八(8分)給出方程組=寫(xiě)出Jacobi和Gauss-Seidel迭代公式,并說(shuō)明迭代公式的收斂性。解:Jacobi迭代法:(3)Gauss-seidel迭代法:(3)由于矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,所以兩種迭代法收斂。(2)試卷2一、(10分)設(shè),如果用作為的近似值,誤差限是多少,能有幾位有效數(shù)字?求出的相對(duì)誤差限。(小數(shù)點(diǎn)后保留5位)解:,又因?yàn)?,,又誤差限…………6分因此,具有2位有效數(shù)字;…………8分.…………10分二、(16分)設(shè)節(jié)點(diǎn)1、用Langrange插值和牛頓插值公式求三個(gè)節(jié)點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式;2、當(dāng)增加一個(gè)條件:時(shí),求對(duì)應(yīng)的三次Hermite插值多項(xiàng)式解:1、…………6分012******1242***231283…………12分2、,,,,,…………16分三、(10分)已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:123444.558用直線擬合.解:,,,.由法方程得,所求直線為.………10分四、(10分)方程,討論如下幾種迭代求根方法在區(qū)間上的斂散性:1.改寫(xiě)方程為,相應(yīng)的迭代格式為;2.改寫(xiě)方程為,相應(yīng)的迭代格式為.解:1、令,則,由于,因此迭代發(fā)散。2、令,則,由于,.且當(dāng)時(shí),,因此迭代收斂?!?0分五、(10分)試設(shè)計(jì)求積公式,使之代數(shù)精度盡量高,并指出其所具有的代數(shù)精度.解:令上式對(duì)于,,準(zhǔn)確成立,可列出方程…………7分求解上述方程組得,,令,左邊=,右邊=,左邊≠右邊該式的代數(shù)精度為2階?!?0分 六、(10分)利用改進(jìn)的Euler方法求解常微分方程初值問(wèn)題:(要求取步長(zhǎng)計(jì)算)解:令,則改進(jìn)的Euler公式為: . 取得,. ………………6分計(jì)算結(jié)果如下:111.21.461.42.06521.62.84754 ……………10分七、(10分)利用矩陣的LU分解法解方程組.解:................6分令得,得................10分八、(10分)用Romberg方法計(jì)算,將計(jì)算結(jié)果填入下表(*號(hào)處不填).(保留5位小數(shù))0*********1***2***3解:,, ,,. ,,.,,.00.27563*********10.174450.14072******20.143750.133520.13304***30.135610.132900.132860
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