北師版九年級數(shù)學上冊期末復習考點 清單01 特殊平行四邊形（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

清單01特殊平行四邊形（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】平行四邊形的性質邊的性質：兩組對邊分別平行且相等，如下圖：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性質：兩組對角分別相等，如圖：∠A=∠C，∠B=∠D對角線的性質：對角線互相平分。如圖：AO=CO，BO=DO【清單02】平行四邊形的判定與邊有關的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形與角有關的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形與對角線有關的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【清單03】三角形的中位線三角形中位線：在△ABC中，D，E分別是AC，AC的中點，連接DE.像DE這樣，連接三角形_兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.B中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。【清單04】平行線之間的距離與平行四邊形的綜合定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離性質：平行線之間距離處處相等【清單05】菱形的性質菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。※菱形的性質：（1）具有平行四邊形的性質且四條邊都相等（3）兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。注意：菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸?！厩鍐?6】菱形的面積菱形的面積等于兩條對角線長的乘積的一半【清單07】菱形的判定※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形?！厩鍐?8】矩形的性質※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形?！匦蔚男再|：（1）具有平行四邊形的性質（2）對角線相等（3）四個角都是直角?！厩鍐?9】直角三角形斜邊上的中線※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?！厩鍐?0】矩形的判定※矩形的判定：（1）有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。（2）對角線相等的平行四邊形是矩形。（3）四個角都相等的四邊形是矩形?！厩鍐?1】正方形的概念與性質正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形?！叫蔚男再|：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）【清單12】正方形的判定※正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系(如圖3所示)：【考點題型一】菱形的性質【典例1】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC=8，BD=6，則菱形ABCD的高DH為（

）A．3 B．4 C．125 D．【變式1-1】如圖，在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．98° B．128° C．120° D．118°【變式1-2】已知菱形的邊長為3，較短的一條對角線的長為2，則該菱形面積為（

）A．22 B．25 C．42【變式1-3】如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2，P是AB邊上的一點，E,?F分別是DP,?BP的中點，則線段【考點題型二】菱形的性質與判定綜合運用

【典例2】如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，AC與EF交于點O，且EF垂直平分AC，連接AE，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若AC⊥AB，∠B=30°，AE=12，求四邊形AECF的面積．【變式2-1】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點O，過點C作CE∥BD，且BD=2CE，連接(1)求證：四邊形OCED是矩形．(2)若AO=3，四邊形ABCD的面積是183，連接OE，求OE【變式2-2】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別在AB、AD上，AE=AF，連接EF，且AC⊥EF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接OE，若點E是AB的中點，OE=5，OA=12【變式2-3】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，EF垂直平分BC，垂足為D，交AB于點F，CE∥AB，連接(1)求證：四邊形CFBE是菱形；(2)若AB=10，BC=8，求DF的長．

【考點題型三】菱形中最小問題

【典例3】如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=62，E是BC邊的中點，P，M分別是AC，AB上的動點，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是(

A．6 B．26 C．33 【變式3-1】如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為83，E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP+AP的最小值為（

A．2 B．23 C．4 D．【變式3-2】如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是邊CD、BC上的動點，連接AE、EF，G、H分別為AE、EF的中點，連接GH．若∠B=45°，BC=23，則GH的最小值為（

A．3 B．32 C．6 D．【變式3-3】如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上一動點，AB=1，∠BAC=30°，點M是邊AB的中點，過點M作MN∥AC交BC于點N，則△MPN周長的最小值是（

）A．3+1 B．3?1 C．32【考點題型四】矩形的性質【典例4】如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD,BC于點M，N．若AM=1,BN=2，則BD的長為（

）A．23 B．3 C．25 【變式4-1】如圖，在矩形ABCD中，AC，BD交于點O，M，N分別為BC，OC的中點．若∠ACB=30°，AB=12，則MN的長為（）A．12 B．8 C．6 D．4【變式4-2】如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD=120°，AO=4，則AD的長是（

）．A．4 B．23 C．3 D．【變式4-3】如圖，點P是矩形ABCD的AD邊上一動點，AB、BC長分別為15和20，那么點P到矩形兩條對角線AC和BD的距離之和是（

）A．26 B．12 C．24 D．不能確定【考點題型五】直角三角形斜邊上的中線

【典例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB邊的中點，連接CD，若AB=10，則CD的長為（

A．3 B．5 C．6 D．8【變式5-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,∠BCD=20°,E是斜邊AB的中點，則∠DCE的度數(shù)為（

A．30° B．50° C．45° D．40°【變式5-2】如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，E，F(xiàn)分別是線段AC，BD的中點．若AB=AD，EF=3，則AC=（

）A．5 B．6 C．33 【變式5-3】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O,DH⊥BC于點H，連接OH,∠BAD=56°，則∠DHO的度數(shù)是（

）A．38° B．34° C．28° D．24°【考點題型六】矩形的性質與判定綜合運用【典例6】如圖，平行四邊形ABCD中，P是AB邊上的一點（不與點A，B重合），CP=CD，過點P作PQ⊥CP，交AD于點Q，連接CQ．(1)若CQ平分∠DCP，求證：四邊形ABCD是矩形；(2)在（1）的條件下，當AP=2，CB=4時，求CD的長．【變式6-1】如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，AB=CD，AB∥CD．若四邊形EBOA是菱形；(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠E=60°，AB=2，求四邊形ABCD的面積．【變式6-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，延長BC至點F，使CF=BE，連接DF，AF與DE交于點O．(1)求證：四邊形AEFD為矩形．(2)若AB=6，OE=4，BF=10，求DF的長．【變式6-3】如圖，矩形ABCD的對角線相交于O，點E是CF的中點，DF∥AC交CE延長線于點F，連接

(1)求證：四邊形AODF是菱形；(2)若∠AOB=60°，∠AFC=90°，AB=1，求CF的長．【考點題型七】矩形形中最小值問題

【典例7】如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=3，若AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值（

）A．5 B．33 C．245 【變式7-1】如下圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一個動點，過點D分別作DE⊥AC于點E，DF⊥CB于點F，連接EF，則線段EF的最小值是（

A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8【變式7-2】如圖，在菱形ABCD中，若AC?BD=2，S菱形ABCD=24，E是CD邊上一動點，過點E分別作EF⊥OC于點F，EG⊥OD于點G，連接FG，則FGA．2.4 B．4.8 C．3 D．4【變式7-3】如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點E、F分別AD、DC邊上的動點，且EF=2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則DG=；PA+PG的最小值為．【考點題型八】矩形中折疊問題【典例8】在長方形紙片ABCD中，點E是邊CD上的一點，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點D落在點F處．??(1)如圖1，若點F落在對角線AC上，且∠BAC=54°，求∠DAE的度數(shù)．(2)如圖2，若點F落在邊BC上，且AB=6，AD=10，求CE的長．(3)如圖3，若點E是CD的中點，AF的延長線交BC于點G，且AB=6，AD=10，求CG的長．【變式8-1】如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，點C的對應點是點E，BC的對應邊BE交AD于點F．(1)求證：△BFD是等腰三角形；(2)若AB=3,BC=5，求AF的長．【變式8-2】如圖，將長方形紙片ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點B′處，B′C交AD(1)求證：AE=CE；(2)若AB=8，BC=12，求DE的長．【變式8-3】把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點A與點E重合，點C與點F重合（E、F兩點均在BD上），折痕分別為BH，DG．(1)求證：四邊形BGDH為平行四邊形；(2)若AB=6,BC=8，求線段FG的長．【考點題型九】正方形的性質【典例9】如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O，B的坐標分別是0,0，4,0，則頂點C的坐標是（）A．2,?22 B．22,?22 C．【變式9-1】如圖，四邊形ABCD是正方形，延長BC到點E，使CE=AC，連結AE交CD于點F，則∠AFC等于（

）度．A．112.5 B．125 C．135 D．150【變式9-2】如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點，AE⊥BE于E，若AE=6，BE=8，則陰影部分的面積為（

）A．48 B．76 C．78 D．84【變式9-3】如圖，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長都是2，正方形EFGO繞點O旋轉時，兩個正方形重疊部分的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考點題型十】正方形的性質與判定綜合運用

【典例10】如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點，過點E作EF⊥EA交CD于點G，且EF=EA，連接CF．(1)求證：∠BAE=∠CEF；(2)求∠ECF的度數(shù)．【變式10-1】如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長為9，BE=3，將△ABE沿AE對折至△AGE，延長EG交CD于點F，連接AF，且AF平分∠DAG．(1)證明：△AGF≌△ADF；(2)求線段EF的長．【變式10-2】如圖，在正方形ABCD中，點M是對角線BD上的一點，連接AM，過點M作MN⊥AM，交CD于點N，以AM、MN為鄰邊作矩形AMNP．(1)求證：矩形AMNP是正方形．(2)若點N為CD的中點，且AD=8，求正方形AMNP的面積．【變式10-3】如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG．求證：

(1)AE=CG；(2)AE⊥CG．【考點題型十一】正方形中最小值問題【典例12】如圖，正方形ABCD邊長為2，E是BC中點，點P是BD上任一點，則PE+PC的最小值是（

）A．5 B．2 C．3 D．2【變式12-1】如圖，正方形ABCD的邊長為4,E、F分別為邊AB和BC上的動點，且始終滿足AE=BF，連接DE,DF，則DE+DF的最小值為（

）A．45 B．5 C．42【變式12-2】如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的動點，且BE=CF，連接BF，DE，則BF+DE的最小值為（

）A．45 B．35 C．25【變式12-2】如圖所示，正方形ABCD的面積為36，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一動點P，使PD+PE的最小值為（

）A．9 B．4.5 C．6 D．6

清單01特殊平行四邊形（11個考點梳理+題型解讀+提升訓練）【清單01】平行四邊形的性質邊的性質：兩組對邊分別平行且相等，如下圖：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性質：兩組對角分別相等，如圖：∠A=∠C，∠B=∠D對角線的性質：對角線互相平分。如圖：AO=CO，BO=DO【清單02】平行四邊形的判定與邊有關的判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形與角有關的判定：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形與對角線有關的判定：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形【清單03】三角形的中位線三角形中位線：在△ABC中，D，E分別是AC，AC的中點，連接DE.像DE這樣，連接三角形_兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.B中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一?！厩鍐?4】平行線之間的距離與平行四邊形的綜合定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離性質：平行線之間距離處處相等【清單05】菱形的性質菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形?！庑蔚男再|：（1）具有平行四邊形的性質且四條邊都相等（3）兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。注意：菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸?！厩鍐?6】菱形的面積菱形的面積等于兩條對角線長的乘積的一半【清單07】菱形的判定※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形?！厩鍐?8】矩形的性質※矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形?！匦蔚男再|：（1）具有平行四邊形的性質（2）對角線相等（3）四個角都是直角。【清單09】直角三角形斜邊上的中線※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?！厩鍐?0】矩形的判定※矩形的判定：（1）有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。（2）對角線相等的平行四邊形是矩形。（3）四個角都相等的四邊形是矩形?！厩鍐?1】正方形的概念與性質正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形?！叫蔚男再|：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）【清單12】正方形的判定※正方形常用的判定：有一個內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系(如圖3所示)：【考點題型一】菱形的性質【典例1】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，且AC=8，BD=6，則菱形ABCD的高DH為（

）A．3 B．4 C．125 D．【答案】D【分析】由菱形的性質可得AC⊥BD，OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，由垂線的性質可得∠AOB=90°，在Rt△AOB【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AC⊥BD，OA=OC=1OB=OD=1∴∠AOB=90°，在Rt△AOBAB=O∵DH是菱形ABCD的高，∴S∴DH=1故選：D．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，垂線的性質，勾股定理，利用菱形的性質求面積，等式的性質2等知識點，熟練掌握菱形的性質與菱形面積的計算方法是解題的關鍵．【變式1-1】如圖，在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．98° B．128° C．120° D．118°【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質，根據(jù)菱形的對角線平分一組對角得到∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)菱形對邊平行即可得到答案．【詳解】解：∵在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，∴∠ABC=2∠ABO=52°，∴∠BAD=180°?∠AHC=128°，故選：B．【變式1-2】已知菱形的邊長為3，較短的一條對角線的長為2，則該菱形面積為（

）A．22 B．25 C．42【答案】C【分析】本題考查菱形的面積公式，涉及菱形的性質、勾股定理求線段長等知識，熟練掌握菱形性質是解決問題的關鍵．已知菱形的邊長為3，較短的一條對角線的長為2，作出圖形，由菱形對角線相互垂直，利用勾股定理可知另一條對角線長為42【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下：∴AC⊥BD，∵菱形的邊長為3，較短的一條對角線的長為2，∴OB=OD=1在Rt△AOD中，∠AOD=90°，OD=1，AD=3，則OA=∴BD=2，∴菱形的面積為12故選：C．【變式1-3】如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2，P是AB邊上的一點，E,?F分別是DP,?BP的中點，則線段【答案】1【分析】本題考查菱形的性質、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，突破點是證明△ADB是等邊三角形．如圖連接BD，首先證明△ADB是等邊三角形，可得BD=2，再根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接BD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AD=AB=2，∵E，F(xiàn)分別是DP，BP的中點，∴EF是△BPD的中位線，∴EF=1故答案為：1．【考點題型二】菱形的性質與判定綜合運用

【典例2】如圖，在?ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，AC與EF交于點O，且EF垂直平分AC，連接AE，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若AC⊥AB，∠B=30°，AE=12，求四邊形AECF的面積．【答案】(1)詳見解析(2)723【分析】（1）證明△AOF≌△COEASA得OE=OF，再證明四邊形AECF（2）由菱形的性質得CE=AE=12，再證明∠CEO=∠B=30°，則OC=12CE=6，AC=2OC=12，然后由勾股定理得OE=6【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，EF⊥AC，在△AOF和△COE中，∠OAF=∠OCEOA=OC∴△AOF≌△COEASA∴OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；（2）由（1）可知，OE=OF，四邊形AECF是菱形，∴CE=AE=12，∵AC⊥AB，EF⊥AC，∴∠COE=90°，EF∥AB，∴∠CEO=∠B=30°，∴OC=1∴AC=2OC=12，OE=C∴EF=2OE=123∴菱形AECF的面積=1【點晴】本題主要考查了菱形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．【變式2-1】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC,BD交于點O，過點C作CE∥BD，且BD=2CE，連接(1)求證：四邊形OCED是矩形．(2)若AO=3，四邊形ABCD的面積是183，連接OE，求OE【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了菱形的性質，矩形的判定與性質勾股定理．（1）由菱形的性質得BD=2OD,AC⊥BD，證明OD=CE可證四邊形OCED是平行四邊形，進而可證四邊形OCED是矩形；（2）連接OE，由四邊形ABCD的面積是183求出BD=63，由勾股定理得CD=6，進而可得【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形∴BD=2OD,AC⊥BD即∠COD=90°∵BD=2CE∴OD=CE∵CE∥BD即CE∥OD∴四邊形OCED是平行四邊形∵∠COD=90°∴?OCED是矩形（2）解：連接OE∵四邊形OCED是矩形∴OE=CD在菱形ABCD中，AC=2OA=2OC=6，OD=∵∴∴BD=6∴OD=3∴CD=∴OE=6．【變式2-2】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別在AB、AD上，AE=AF，連接EF，且AC⊥EF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接OE，若點E是AB的中點，OE=5，OA=12【答案】(1)見詳解(2)四邊形ABCD的周長和面積分別是85和【分析】（1）由平行四邊形的性質得∠CAD=∠ACB，再證∠BAC=∠DAC，得△ABC為等腰三角形即可得出結論；（2）由菱形的性質得OA=OC，OB=OD=BD=2，AC⊥BD，由直角三角形斜邊上的中線性質得OE=1本題考查了菱形的性質、平行四邊形的性質，等腰三角形的性質、菱形的面積、勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∵AC⊥EF，∴∠BAC=∠DAC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CAD=∠ACB，∴∠BAC=∠BCA，∴△ABC為等腰三角形，∴BA=BC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD=12BD∴∠AOB=90°，∵E為AB的中點，∴OE=1∵OE=5，OA=∴AB=2OE=25，OB=2OA∵OA∴5OA∴OA=2（負值已經(jīng)舍去），∴AC=2OA=4，BD=2OB=4OA=8，∴四邊形ABCD的面積=1∴四邊形ABCD的周長=4AB=85∴四邊形ABCD的周長和面積分別是85和16【變式2-3】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，EF垂直平分BC，垂足為D，交AB于點F，CE∥AB，連接(1)求證：四邊形CFBE是菱形；(2)若AB=10，BC=8，求DF的長．【答案】(1)證明見解析；(2)3．【分析】（1）證明△CDE≌△BDFASA得到DE=DF，即得四邊形CFBE是平行四邊形，進而由EF⊥BC（2）由勾股定理可得AC=AB2?BC2=6【詳解】（1）證明：∵CE∥∴∠DCE=∠DBF，∴EF垂直平分BC，∴CD=BD，在△CDE和△BDF中，∠DCE=∠DBFCD=BD∴△CDE≌△BDFASA∴DE=DF，∴四邊形CFBE是平行四邊形，又∵EF⊥BC，∴平行四邊形CFBE是菱形；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AC=AB2∵EF⊥BC，∴AC∥又∵CE∥∴四邊形ACEF是平行四邊形，∴EF=AC=6，由（1）可知，DF=DE，∴DF=1【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，平行線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知識點是解題的關鍵．

【考點題型三】菱形中最小問題

【典例3】如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=62，E是BC邊的中點，P，M分別是AC，AB上的動點，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是(

A．6 B．26 C．33 【答案】B【分析】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，涉及到菱形的性質、勾股定理等，作點M關于AC的對稱點M′，連接PM'，M'E，則PM'=PM，PE+PM=PM【詳解】解：如圖，作點M關于AC的對稱點M′，連接M∴PM∴PE+PM=PM當M'E⊥BC時，點P在M'∵四邊形ABCD是菱形，∴點M′在AD∵AC=6，BD=62∴AB=AD=3由S菱形得12解得：EM即PE+PM的最小值是26故選：B．【變式3-1】如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為83，E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP+AP的最小值為（

A．2 B．23 C．4 D．【答案】B【分析】本題考查軸對稱-最短問題、菱形的性質等知識，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，連接AC、AP′，首先證明E與E′重合，因為A、C關于BD對稱，所以當P與P′【詳解】解：如圖，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′∵已知菱形ABCD的周長為16，面積為83∴AB=BC=4，AB?CE∴CE在Rt△BCE′∵BE=EA=2，∴E與E′∵四邊形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C關于BD對稱，∴當P與P′重合時，P′A+故選：B．【變式3-2】如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是邊CD、BC上的動點，連接AE、EF，G、H分別為AE、EF的中點，連接GH．若∠B=45°，BC=23，則GH的最小值為（

A．3 B．32 C．6 D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質、垂線段最短等知識，連接AF，利用三角形中位線定理，可知GH=12AF，當AF⊥BC時，AF【詳解】解∶過A作AK⊥BC于K，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=23∴∠BAK=45°=∠B，AB=BC=23∴AK=BK，∴AK∴AK=6∵G、H分別為AE、EF的中點，∴GH=1∴當F和K重合時，AF最小，GH也最小，∴GH的最小值為62故選∶D．【變式3-3】如圖，點P是菱形ABCD對角線AC上一動點，AB=1，∠BAC=30°，點M是邊AB的中點，過點M作MN∥AC交BC于點N，則△MPN周長的最小值是（

）A．3+1 B．3?1 C．32【答案】D【分析】根據(jù)四邊形ABCD是菱形，AB=1，∠BAC=30°，算出AO，再根據(jù)點M是邊AB的中點，MN∥AC，得出MN=AO=32，N是BC邊上的中點，作點M關于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP=M′P+NP≥M′N，得出當M′,P,N三點共線時，MP+NP有最小值，最小值為M′N的長．，再證明四邊形【詳解】解：如圖，連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD是菱形，AB=1，∠BAC=30°，∴AB=CD=AD=BC=1，BD⊥AC，∴OB=1∵點M是邊AB的中點，MN∥AC，∴MN是△ABC的中位線，∴MN=12AC=AO=32作點M關于AC的對稱點M′，連接M′N交AC于P，此時MP+NP=M′P+NP≥M′N，當∵菱形ABCD關于AC對稱，M是AB邊上的中點，∴M′是AD又∵N是BC邊上的中點，∴AM∴四邊形ABNM∴M′∴MP+NP=M即MP+NP的最小值為1，∵△MPN周長=MN+MP+NP，則△MPN周長的最小值是=MN+M故選：D．【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及菱形的性質，平行四邊形的性質和判定，勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形的性質等知識點，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關鍵．【考點題型四】矩形的性質【典例4】如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN分別交AD,BC于點M，N．若AM=1,BN=2，則BD的長為（

）A．23 B．3 C．25 【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質，垂直平分線的性質可證△BEN≌△DEMASA，可得AD=3,DM=BN=BM=2，運用勾股定理可得AB的值，在直角△ABD中，運用勾股定理即可求解【詳解】解：如圖所示，連接BM，設BD,MN交于點E，∵四邊形ABCD矩形，∴∠A=90°,AD∥BC，∴∠EBN=∠EDM，∵MN垂直平分BD，∴∠BEN=∠DEM=90°,EB=ED，BM=DM，在△BEN和△DEM中，∠EBN=∠EDMEB=ED∴△BEN≌△DEMASA∴DM=BN=2，∴BM=2，AD=AM+MD=1+2=3，在Rt△ABM中，AB=在Rt△ABD中，BD=故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理的綜合運用，掌握矩形的性質，垂直平分線的性質，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．【變式4-1】如圖，在矩形ABCD中，AC，BD交于點O，M，N分別為BC，OC的中點．若∠ACB=30°，AB=12，則MN的長為（）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】本題主要考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，三角形中位線定理，解題的關鍵是找到線段間的倍分關系．根據(jù)矩形的性質和含30°的直角三角形的性質得出AC=BD=24，進而求出BD=2BO，再依據(jù)中位線的性質推知MN=1【詳解】解：在矩形ABCD中，AC，BD交于點O，若∠ACB=30°，AB=12，∴BD=AC=2AB=2×12=24，∴BD=2BO，即2BO=24，∴BO=12，又∵M、N分別為BC、OC的中點，∴MN是△CBO的中位線，∴MN=1故選：C．【變式4-2】如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOD=120°，AO=4，則AD的長是（

）．A．4 B．23 C．3 D．【答案】D【分析】本題考查矩形的性質，等邊三角形的判定和性質，勾股定理，證明△AOB為等邊三角形是解題關鍵．根據(jù)矩形的性質結合題意可證明△AOB為等邊三角形，即得出AB=AO=4，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AO=BO=4，∠BAD=90°，∴BD=2BO=8．∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°?∠AOD=60°，∴△AOB為等邊三角形，∴AB=AO=4，∴AD=B故選D．【變式4-3】如圖，點P是矩形ABCD的AD邊上一動點，AB、BC長分別為15和20，那么點P到矩形兩條對角線AC和BD的距離之和是（

）A．26 B．12 C．24 D．不能確定【答案】B【分析】此題考查了矩形的性質、勾股定理、三角形面積．熟練掌握矩形的性質和勾股定理是解題的關鍵．由矩形ABCD可得：S△AOD=14S矩形ABCD，又由AB=15，BC=20，可求得AC【詳解】解：連接OP，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=S△AOD∴OA=OD=1∵AB=15，BC=20，∴AC=AB2∴OA=OD=1∴S∴PE+PF=12．∴點P到矩形的兩條對角線AC和BD的距離之和是12．故選：B．【考點題型五】直角三角形斜邊上的中線

【典例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB邊的中點，連接CD，若AB=10，則CD的長為（

A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的斜邊中線，掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是解題關鍵．由題意得，CD=12AB【詳解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，點D為AB的中點，∴CD=12∵AB=10，∴CD=5，故選：B．【變式5-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,∠BCD=20°,E是斜邊AB的中點，則∠DCE的度數(shù)為（

A．30° B．50° C．45° D．40°【答案】B【分析】本題考查了斜中半定理：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，由題意得CE=12AB=BE【詳解】解：∵CD⊥AB,∠BCD=20°,∴∠B=70°；∵E是斜邊AB的中點，∴CE=1∴∠ECB=∠B=70°，∴∠DCE=∠BCE?∠BCD=50°，故選：B【變式5-2】如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，E，F(xiàn)分別是線段AC，BD的中點．若AB=AD，EF=3，則AC=（

）A．5 B．6 C．33 【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質和直角三角形斜邊上的中線性質，根據(jù)等腰三角形的性質求出AF⊥BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得出EF=AC，代入求出答案即可，能熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解此題的關鍵．【詳解】解：連接AF，∵AB=AD，F(xiàn)為BD的中點，∴AF⊥BD，即∠AFC=90°，∵E為AC的中點，∴EF=1∵EF=3，∴AC=6，故選B．【變式5-3】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O,DH⊥BC于點H，連接OH,∠BAD=56°，則∠DHO的度數(shù)是（

）A．38° B．34° C．28° D．24°【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質、直角三角形的性質．首先根據(jù)菱形的一組鄰角互補可以求出∠ABC=124°，再根據(jù)菱形的對角線互相平分且每組對角線平分一組對角可得∠DBH=∠ABD=12∠ABC=62°、OB=OD，所以可得∠BDH=28°，根據(jù)直角三角形的斜邊等于斜邊的一半可得HO=DO【詳解】解：如下圖所示，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠BAD=56°，∵∠ABC=124°，∵BD是菱形ABCD的對角線，∴∠DBH=∠ABD=1∵DH⊥BC，∴∠DHB=90°，在Rt△DBH中，∠BDH=90°?∠DBH=90°?62°=28°∵OB=OD，∴點O是BD的中點，∴HO=DO，∴∠DHO=∠BDO=28°．故選：C．【考點題型六】矩形的性質與判定綜合運用【典例6】如圖，平行四邊形ABCD中，P是AB邊上的一點（不與點A，B重合），CP=CD，過點P作PQ⊥CP，交AD于點Q，連接CQ．(1)若CQ平分∠DCP，求證：四邊形ABCD是矩形；(2)在（1）的條件下，當AP=2，CB=4時，求CD的長．【答案】(1)證明見解析(2)CD=5【分析】本題考查矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理：（1）證明△CPQ≌△CDQ，進而得到∠CDQ=90°，即可得證；（2）設CD=x，根據(jù)矩形的性質，得到AB=CD=x，進而得到BP=AB?AP=x?2，在Rt△CBP中，利用勾股定理求出x【詳解】（1）證明：∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ=∠PCQ，∵CP=CD，CQ=CQ，∴△CPQ≌△CDQ，∴∠CDQ=∠CPQ，∵PQ⊥CP，∴∠CDQ=∠CPQ=90°，∴平行四邊形ABCD為矩形；（2）由（1）知平行四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°,CD=AB，設CD=AB=x，則：CP=CD=x，BP=AB?AP=x?2，在Rt△CBP中，由勾股定理，得：x解得：x=5，∴CD=5．【變式6-1】如圖，四邊形ABCD的對角線相交于點O，AB=CD，AB∥CD．若四邊形EBOA是菱形；(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠E=60°，AB=2，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由題意易得四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OB，則有AC=BD，然后問題可求證；（2）由題意易得∠AOB=∠E=60°，AO=BO，則有AO=AB=2，然后可得AC=2AO=4，∠ABC=90°，進而根據(jù)勾股定理可進行求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形EBOA是菱形，∴OA=OB，∵AB=CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=12AC∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形EBOA是菱形，∴∠AOB=∠E=60°，AO=BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AO=AB=2，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=2AO=4，∠ABC=90°，∴BC=A∴S矩形【點睛】本題主要考查菱形的性質、矩形的性質與判定、等邊三角形的性質與判定及勾股定理，熟練掌握菱形的性質、矩形的性質與判定、等邊三角形的性質與判定及勾股定理是解題的關鍵【變式6-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，延長BC至點F，使CF=BE，連接DF，AF與DE交于點O．(1)求證：四邊形AEFD為矩形．(2)若AB=6，OE=4，BF=10，求DF的長．【答案】(1)證明見解析；(2)DF=24【分析】（1）根據(jù)線段的和差關系可得BC=EF，根據(jù)平行四邊形的性質可得AD∥BC，AD=BC，即可得出AD=EF，AD∥EF，可證明四邊形（2）根據(jù)矩形的性質可得AF=DE=8，可得△BAF為直角三角形，利用“面積法”可求出AE的長，即可得答案；本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、勾股定理的逆定理以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵CF=BE，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥∴AD=EF，AD∥∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四邊形AEFD為矩形；（2）解：由（1）得：四邊形AEFD為矩形，∴AE=DF，OE=OD=12DE=4∴AF=DE=8，∵AB=6，BF=10，∴AB∴∠BAF=90°，∴S△BAF∴12∴AE=24∴DF=AE=24【變式6-3】如圖，矩形ABCD的對角線相交于O，點E是CF的中點，DF∥AC交CE延長線于點F，連接

(1)求證：四邊形AODF是菱形；(2)若∠AOB=60°，∠AFC=90°，AB=1，求CF的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）由AAS可判定△DEF≌△OEC，由全等三角形的性質得DF=OC，結合矩形的性質得OA=OD=DF，由平行四邊形的判定方法得四邊形AODF是平行四邊形，再由矩形的判定方法，即可得證；（2）由等邊三角形的判定方法得△AOB是等邊三角形，由等邊三角形的性質得OA=AB=1，由菱形的性質得AF=OA=1，AF∥BD，由含30度角的直角三角形的性質及勾股定理得CF=3【詳解】（1）證明：∵DF∥AC，∴∠DFE=∠OCE，∠EDF=∠EOC，∵點E是CF的中點，∴FE=CE，在△DEF和△OEC中∠DFE=∠OCE∠EDF=∠EOC∴△DEF≌△OEC（AAS），∴DF=OC，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC=BD，∴OA=OD=DF，∵DF∥OA，∴四邊形AODF是平行四邊形．∴平行四邊形AODF是菱形．（2）解：由（1），得OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=1．∵四邊形AODF是菱形，∴AF=OA=1，AF∥BD，∴∠FAC=∠AOB=60°．∵∠AFC=90°，∴∠ACF=30°，∴AC=2AF，∵CF∵CF∴CF=3【點睛】本題考查了菱形的判定及性質，矩形的性質，平行四邊形的判定及性質，全等三角形的判定及性質，等邊三角形的判定及性質、含30度角的直角三角形的性質、勾股定理等，掌握菱形的判定及性質，矩形的性質，平行四邊形的判定及性質是解題的關鍵．【考點題型七】矩形形中最小值問題

【典例7】如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=3，若AC、AB上各取一點M、N，使BM+MN的值最小，求這個最小值（

）A．5 B．33 C．245 【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質，軸對稱最短路徑，勾股定理，掌握矩形的性質，找到點B關于AC的對稱點B'，結合三角形三邊數(shù)量關系，垂線段最短知識的運用是解題的關鍵根據(jù)題意，過點B關于AC的對稱點B'，連接BB'交AC于點F，連接B'N,B'M，作B'E⊥AB于點E，交AC,AB于點M',N'，根據(jù)三角形三邊數(shù)量關系可得，B'M+MN≥B'N，根據(jù)點到直線垂線段最短可得，B'【詳解】解：如圖所示，過點B關于AC的對稱點B'，連接BB'交AC于點F，連接B'N,B'M，作∵對稱，∴BF=B∴BM+MN=B根據(jù)三角形三邊數(shù)量關系可得，B'根據(jù)點到直線垂線段最短可得，B'∴當點M,N在垂線B'E上，即點M于點M'，點N于點N∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴AC=A∵S△ABC∴BF=AB·BC∴BB在Rt△ABF中，AF=∵S△AB∴B'故選：C．【變式7-1】如下圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一個動點，過點D分別作DE⊥AC于點E，DF⊥CB于點F，連接EF，則線段EF的最小值是（

A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8【答案】D【分析】本題考查了矩形的判定和性質，垂線段最短，勾股定理，連接CD，由題意可得四邊形CEDF是矩形，得到EF=CD，可知當CD⊥AB時，CD的值最小，利用勾股定理和三角形的面積求出CD的最小值即可求解，掌握矩形的判定和性質是解題的關鍵．【詳解】解：連接CD，∵DE⊥AC，DF⊥CB，∴∠DEC=∠DFC=∠ACB=90°，∴四邊形CEDF是矩形，∴EF=CD，當CD⊥AB時，可知CD的值最小，此時12∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=6∴12解得CD=4.8，∴線段EF的最小值是4.8，故選：D．【變式7-2】如圖，在菱形ABCD中，若AC?BD=2，S菱形ABCD=24，E是CD邊上一動點，過點E分別作EF⊥OC于點F，EG⊥OD于點G，連接FG，則FGA．2.4 B．4.8 C．3 D．4【答案】A【分析】連接OE，利用菱形的性質證明四邊形GEFO為矩形，得到FG=OE，進而得到當OE⊥DC時，OE的值最小，即FG的值最小，利用菱形的性質和勾股定理分別算出OD、OC、DC，再利用面積法求解，即可解題．【詳解】解：連接OE，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∵EF⊥OC，EG⊥OD，∴四邊形GEFO為矩形，∴FG=OE，當OE⊥DC時，OE的值最小，即FG的值最小，∵AC?BD=2，S菱形∴12AC?BD=24解得AC=8，BD=6，∴OD=3，OC=4，∴DC=O∴1即5OE=12，解得OE=12∴FG的最小值為2.4，故選：A．【點睛】本題考查了菱形的性質，矩形的性質和判定，勾股定理，垂線段最短，解題的關鍵在于利用矩形性質和垂線段最短找出FG取最小值的情況．【變式7-3】如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點E、F分別AD、DC邊上的動點，且EF=2，點G為EF的中點，點P為BC上一動點，則DG=；PA+PG的最小值為．【答案】14【分析】此題考查矩形的性質，勾股定理，軸對稱最短路徑問題，先利用直角三角形斜邊中線的性質得到DG=1，作A關于BC的對稱點A′，連接A′D，交BC于P，當點A′，P，G，D共線時，PA+PG的值最小，最小值為A′【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAC=∠D=90°∵EF=2，點G為EF的中點，∴DG=1，作A關于BC的對稱點A′，連接A′D，交BC于P，當點A′，P，G，D共線時，

∵AB=2，AD=3，∴AA∴A′∴A′∴PA+PG的最小值為4；故答案為：1，4．,【考點題型八】矩形中折疊問題【典例8】在長方形紙片ABCD中，點E是邊CD上的一點，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點D落在點F處．??(1)如圖1，若點F落在對角線AC上，且∠BAC=54°，求∠DAE的度數(shù)．(2)如圖2，若點F落在邊BC上，且AB=6，AD=10，求CE的長．(3)如圖3，若點E是CD的中點，AF的延長線交BC于點G，且AB=6，AD=10，求CG的長．【答案】(1)∠DAE=18°(2)8(3)0.9【分析】（1）根據(jù)矩形的性質得∠DAC=36°，根據(jù)折疊的性質的∠DAE=18°；（2）根據(jù)矩形的性質得∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折疊的性質得：AF=AD=10，EF=ED，根據(jù)勾股定理得BF=8，則CF=2，設CE=x，則EF=ED=6?x，根據(jù)勾股定理可得22+x2=6?x2（3）連接EG，由題意可得DE=CE，由折疊的性質得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，F(xiàn)E=DE，則∠EFG=90°=∠C，通過證明Rt△CEG≌Rt△FEGHL，則CG=FG，設CG=FG=y，則AG=AF+FG=10+y，BG=BC?CG=10?y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：6【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAC=90°?∠BAC=90°?54°=36°，∵△AED沿AE所在的直線折疊，使點D落在點F處，∴∠DAE=∠EAC=1（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折疊的性質得：AF=AD=10，EF=ED，∴BF=A∴CF=BC?BF=10?8=2，設CE=x，則EF=ED=6?x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：2解得：x=8即CE的長為83（3）解：連接EG，如圖所示：∵點E是CD的中點，∴DE=CE，由折疊的性質得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，F(xiàn)E=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在Rt△CEG和RtEG=EGCE=FE∴Rt∴CG=FG，設CG=FG=y，則AG=AF+FG=10+y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：6解得：y=0.9，即CG的長為0.9．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握并靈活運用這些知識點．【變式8-1】如圖，將矩形ABCD沿對角線BD折疊，點C的對應點是點E，BC的對應邊BE交AD于點F．(1)求證：△BFD是等腰三角形；(2)若AB=3,BC=5，求AF的長．【答案】(1)詳見解析(2)AF=【分析】（1）根據(jù)矩形的性質得到AD∥BC，根據(jù)平行線的性質得到∠ADB=∠CBD，根據(jù)折疊的性質得到∠DBC=∠DBF，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結論；（2）根據(jù)折疊的性質我們可得出CD=DE=AB=3，∠E=∠C=∠A=90°，BE=BC=5，證明△ABF≌△EDFAAS，設BF=x【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵將矩形ABCD沿對角線BD折疊，∴∠DBC=∠DBF，∴∠DBF=∠BDF，∴△BFD是等腰三角形；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵將矩形ABCD沿對角線BD折疊，∴CD=DE=AB=3，∠E=∠C=∠A=90°，BE=BC=5，在△ABF與△EDF中，∠AFB=∠EFD∠A=∠E=90°∴△ABF≌△EDFAAS∴AF=EF，設BF=x，則AF=FE=5?x，在Rt△AFB中，B即x2解得x=17∴AF=5?17【點晴】本題主要考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理，等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質等知識點，熟知圖形翻折不變性的性質是解答此題的關鍵．【變式8-2】如圖，將長方形紙片ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點B′處，B′C交AD(1)求證：AE=CE；(2)若AB=8，BC=12，求DE的長．【答案】(1)見解析(2)DE=10【分析】本題考查矩形與折疊，勾股定理．（1）證明△AEB（2）設DE=x，在Rt△DCE中，利用勾股定理求出x【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵將矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點B′∴∠B∴AB在△AEB′與∠B∴△AEB∴AE=CE；（2）解：∵△AEB∴AE=CE，設DE=x，則AE=CE=12?x，在Rt△DCE中，D∴x2∴x=10∴DE=10【變式8-3】把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點A與點E重合，點C與點F重合（E、F兩點均在BD上），折痕分別為BH，DG．(1)求證：四邊形BGDH為平行四邊形；(2)若AB=6,BC=8，求線段FG的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查了與矩形有關的折疊問題，平行四邊形的證明及勾股定理，準確分析計算是解題的關鍵．（1）根據(jù)矩形的性質和折疊的性質證明即可；（2）由折疊可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，在根據(jù)勾股定理計算即可；【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥∴∠ABD=∠CDB，又由折疊可得：∠ABH=∠DBH，∠CDG=∠BDG，∴∠ABH=1∴∠DBH=∠BDG，∴BH∥∵AD∥∴四邊形BGDH為平行四邊形；（2）解：由折疊可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，在Rt△BCD∵BD∴BD=8∴BF=10?6=4，設FG=CG=x，則BG=8?x，在Rt△BGF∵BF42解得：x=3，即FG=3．【考點題型九】正方形的性質【典例9】如圖，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點O，B的坐標分別是0,0，4,0，則頂點C的坐標是（）A．2,?22 B．22,?22 C．【答案】C【分析】本題結合坐標系考查了正方形的性質，關鍵靈活運用正方形的性質進行線段計算，得出點的坐標．根據(jù)AC、OB的互相垂直平分，且OB=4=AC，即有OD=DB=DA=DC=2，問題得解．【詳解】解：連接AC，交OB于點D，∵B4，∴OB=4，∵四邊形OABC是正方形，∴AC、OB的互相垂直平分，且OB=4=AC，∴OD=DB=DA=DC=2，OD⊥DC，∴C點坐標2，故選：B．【變式9-1】如圖，四邊形ABCD是正方形，延長BC到點E，使CE=AC，連結AE交CD于點F，則∠AFC等于（

）度．A．112.5 B．125 C．135 D．150【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，三角形內(nèi)角和定理和外角的性質．解題的關鍵是掌握以上知識點．首先根據(jù)正方形的性質得到∠BCA=∠FCA=12∠BCD=45°【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴∠BCD=90°∴∠BCA=∠FCA=∵CE=AC∴∠E=∠CAE=∴∠AFC=180°?∠CAF?∠ACF=112.5°．故選：A．【變式9-2】如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點，AE⊥BE于E，若AE=6，BE=8，則陰影部分的面積為（

）A．48 B．76 C．78 D．84【答案】B【分析】此題重點考查正方形的性質、勾股定理的應用、三角形及正方形的面積公式等知識與方法，先由∠AEB=90°，AE=6，BE=8，根據(jù)勾股定理求得AB=10，再分別求出正方形ABCD的面積和△AEB的面積，即可由S陰影【詳解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=A∵四邊形ABCD是正方形，∴S∵S∴S∴陰影部分的面積是76，故選：B．【變式9-3】如圖，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長都是2，正方形EFGO繞點O旋轉時，兩個正方形重疊部分的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質和判定等知識，根據(jù)正方形的性質得出OB=OC,∠OBA=∠OCB=45°,∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠MOC，證出△OBN≌【詳解】解：如圖，設AB與OE交點N，BC與OG交點M，∵四邊形ABCD和四邊形EFGO都是正方形，∴OB=OC,∠OBA=∠OCB=45°,∠BOC=∠EOG=90°，∴∠BON=∠MOC．在△OBN與△OCM中，∠OBN=∠OCMOB=OC∴△OBN≌∴S∴S故選：A．【考點題型十】正方形的性質與判定綜合運用

【典例10】如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動點，過點E作EF⊥EA交CD于點G，且EF=EA，連接CF．(1)求證：∠BAE=∠CEF；(2)求∠ECF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)135°【分析】此題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質．（1）根據(jù)正方形的性質和等角的余角相等即可得結論；（2）在AB上截取BP=BE，連接EP，證明△APE≌△ECFSAS，可得∠ECF=∠APE=180°?∠BPE=135°【詳解】（1）證明：∵EF⊥EA，EF=EA，∴∠AEB+∠CEF=90°，在正方形ABCD中，∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF；（2）解：如圖，在AB上截取BP=BE，連接EP，在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，∴AP=EC，∠BPE=45°，∴∠APE=180°?∠BPE=135°，∵AP=EC，∠PAE=∠CEF，AE=EF，∴△APE≌△ECFSAS∴∠ECF=∠APE=180°?∠BPE=135°．【變式10-1】如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長為9，BE=3，將△ABE沿AE對折至△AGE，延長EG交CD于點F，連接AF，且AF平分∠DAG．(1)證明：△AGF≌△ADF；(2)求線段EF的長．【答案】(1)見解析(2)15【分析】此題主要考查了正方形的性質，勾股定理的綜合應用以及翻折變換的性質，根據(jù)翻折變換的性質得出對應線段相等是解題關鍵．（1）利用翻折變換對應邊關系得出AB=AG，BE=GE，∠B=∠AGE=90°，利用HL定理得出Rt△AGF≌（2）結合（1）設DF=GF=x，則CF=9?x，EF=x+3，利用勾股定理得出CE2+C【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD=9，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵將△ABE沿AE對折至△AGE，∴AB=AG，BE=GE，∠B=∠AGE=90°，∴AD=AG，∠D=∠AGF=90°，又∵AF=AF，在Rt△AGF和RtAF=AFAD=AG∴Rt△AGF≌（2）由（1）可知，Rt△AGF≌Rt△ADF∴DF=GF，CE=BC?BE=6，設DF=GF=x，則CF=9?x，EF=x+3，∴在Rt△CEF中，CE2解得x=9∴EF=3+9【變式10-2】如圖，在正方形ABCD中，點M是對角線BD上的一點，連接AM，過點M作MN⊥AM，交CD于點N，以AM、MN為鄰邊作矩形AMNP．(1)求證：矩形AMNP是正方形．(2)若點N為CD的中點，且AD=8，求正方形AMNP的面積．【答案】(1)見解析(2)40【分析】本題考查正方形的性質和判定，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質：（1）過點M作ME⊥AD于點E，MF⊥CD于點F，先證ME=MF，四邊形EMFD是矩形，進而得出∠AME=∠NMF，再證△AME≌△NMFASA，推出AM=NM，即可證明四邊形AMNP（2）先用勾股定理解Rt△ADN求出AN【詳解】（1）解：如圖，過點M作ME⊥AD于點E，MF⊥CD于點F，∵四邊形