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文檔簡介
甘肅省天水市重點中學2025屆高考數(shù)學四模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a2.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A. B. C. D.3.在中,為邊上的中點,且,則()A. B. C. D.4.設,其中a,b是實數(shù),則()A.1 B.2 C. D.5.數(shù)列滿足:,,,為其前n項和,則()A.0 B.1 C.3 D.46.若函數(shù)在處有極值,則在區(qū)間上的最大值為()A. B.2 C.1 D.37.若的展開式中的常數(shù)項為-12,則實數(shù)的值為()A.-2 B.-3 C.2 D.38.已知,函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點,則正實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知為一條直線,為兩個不同的平面,則下列說法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則10.若a>b>0,0<c<1,則A.logac<logbc B.logca<logcb C.a(chǎn)c<bc D.ca>cb11.△ABC中,AB=3,,AC=4,則△ABC的面積是()A. B. C.3 D.12.設,,則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則的最小值等于__________,此時a=____________.14.已知函數(shù)為奇函數(shù),,且與圖象的交點為,,…,,則______.15.在平行四邊形中,已知,,,若,,則____________.16.設、、、、是表面積為的球的球面上五點,四邊形為正方形,則四棱錐體積的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設函數(shù),,.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有兩個零點,().(i)求的取值范圍;(ii)求證:隨著的增大而增大.18.(12分)在直角坐標系中,已知圓,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,已知直線平分圓M的周長.(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標方程;(2)過原點作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點,與圓M交于O,B兩點,求面積的最大值.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)解不等式;(Ⅱ)設其中為常數(shù).若方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)設橢圓的離心率為,圓與軸正半軸交于點,圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)設圓上任意一點處的切線交橢圓于點,試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.21.(12分)隨著科技的發(fā)展,網(wǎng)絡已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購是非常方便的購物方式,為了了解網(wǎng)購在我市的普及情況,某調(diào)查機構(gòu)進行了有關(guān)網(wǎng)購的調(diào)查問卷,并從參與調(diào)查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析,從而得到表(單位:人)經(jīng)常網(wǎng)購偶爾或不用網(wǎng)購合計男性50100女性70100合計(1)完成上表,并根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網(wǎng)購與性別有關(guān)?(2)①現(xiàn)從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人,再從這10人中隨機選取3人贈送優(yōu)惠券,求選取的3人中至少有2人經(jīng)常網(wǎng)購的概率;②將頻率視為概率,從我市所有參與調(diào)查的市民中隨機抽取10人贈送禮品,記其中經(jīng)常網(wǎng)購的人數(shù)為,求隨機變量的數(shù)學期望和方差.參考公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)已知函數(shù),若的解集為.(1)求的值;(2)若正實數(shù),,滿足,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
兩復數(shù)相等,實部與虛部對應相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的概念,屬于基礎題.2、A【解析】
先利用最高點縱坐標求出A,再根據(jù)求出周期,再將代入求出φ的值.最后將代入解析式即可.【詳解】由圖象可知A=1,∵,所以T=π,∴.∴f(x)=sin(2x+φ),將代入得φ)=1,∴φ,結(jié)合0<φ,∴φ.∴.∴sin.故選:A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的據(jù)圖求式問題以及三角函數(shù)的公式變換.據(jù)圖求式問題要注意結(jié)合五點法作圖求解.屬于中檔題.3、A【解析】
由為邊上的中點,表示出,然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點,,故選:A【點睛】在三角形中,考查中點向量公式和向量模的求法,是基礎題.4、D【解析】
根據(jù)復數(shù)相等,可得,然后根據(jù)復數(shù)模的計算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,即,所以則故選:D【點睛】本題考查復數(shù)模的計算,考驗計算,屬基礎題.5、D【解析】
用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.6、B【解析】
根據(jù)極值點處的導數(shù)為零先求出的值,然后再按照求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上最值的求法計算即可.【詳解】解:由已知得,,,經(jīng)檢驗滿足題意.,.由得;由得或.所以函數(shù)在上遞增,在上遞減,在上遞增.則,,由于,所以在區(qū)間上的最大值為2.故選:B.【點睛】本題考查了導數(shù)極值的性質(zhì)以及利用導數(shù)求函數(shù)在連續(xù)的閉區(qū)間上的最值問題的基本思路,屬于中檔題.7、C【解析】
先研究的展開式的通項,再分中,取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為,所以的展開式中的常數(shù)項為:,解得,故選:C.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.8、B【解析】
先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出,函數(shù)在區(qū)間上恰有個極值點即為三個最值點,解出,,再建立不等式求出的范圍,進而求得的范圍.【詳解】解:令,解得對稱軸,,又函數(shù)在區(qū)間恰有個極值點,只需解得.故選:.【點睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍,根據(jù)相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.9、D【解析】A.若,則或,故A錯誤;B.若,則或故B錯誤;C.若,則或,或與相交;D.若,則,正確.故選D.10、B【解析】試題分析:對于選項A,,,,而,所以,但不能確定的正負,所以它們的大小不能確定;對于選項B,,,兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向,所以選項B正確;對于選項C,利用在第一象限內(nèi)是增函數(shù)即可得到,所以C錯誤;對于選項D,利用在上為減函數(shù)易得,所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較;若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.11、A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面積.故選:A【點睛】本題主要考查了余弦定理的應用,三角形的面積公式,考查了學生的運算求解能力.12、A【解析】
根據(jù)對數(shù)的運算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若,,則,可得;若,可得,無法得到,所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點睛】本題考查充要條件的定義,判斷充要條件的方法是:①若為真命題且為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若為假命題且為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若為真命題且為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若為假命題且為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、3【解析】
根據(jù)題意,分析可得,由基本不等式的性質(zhì)可得最小值,進而分析基本不等式成立的條件可得a的值,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,正數(shù)a、b滿足,則,當且僅當時,等號成立,故的最小值為3,此時.故答案為:3;.【點睛】本題考查基本不等式及其應用,考查轉(zhuǎn)化與化歸能力,屬于基礎題.14、18【解析】
由題意得函數(shù)f(x)與g(x)的圖像都關(guān)于點對稱,結(jié)合函數(shù)的對稱性進行求解即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)關(guān)于點對稱,,函數(shù)關(guān)于點對稱,所以兩個函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點(1,2)對稱,與圖像的交點為,,…,,兩兩關(guān)于點對稱,.故答案為:18【點睛】本題考查了函數(shù)對稱性的應用,結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15、【解析】
設,則,得到,,利用向量的數(shù)量積的運算,即可求解.【詳解】由題意,如圖所示,設,則,又由,,所以為的中點,為的三等分點,則,,所以.【點睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運算,其中解答中熟記向量的線性運算法則,以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運算公式,準確運算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運算能力,屬于中檔試題.16、【解析】
根據(jù)球的表面積求得球的半徑,設球心到四棱錐底面的距離為,求得四棱錐的表達式,利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑,設球心到四棱錐底面的距離為,棱錐的高為,底面邊長為,的體積,當且僅當時等號成立.故答案為:【點睛】本小題主要考查球的表面積有關(guān)計算,考查球的內(nèi)接四棱錐體積的最值的求法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)(i)(ii)證明見解析【解析】
(1)求出導函數(shù),分類討論即可求解;(2)(i)結(jié)合(1)的單調(diào)性分析函數(shù)有兩個零點求解參數(shù)取值范圍;(ii)設,通過轉(zhuǎn)化,討論函數(shù)的單調(diào)性得證.【詳解】(1)因為,所以當時,在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,當時,的解集為,的解集為,所以的單調(diào)增區(qū)間為,的單調(diào)減區(qū)間為;(2)(i)由(1)可知,當時,在上單調(diào)遞增,至多一個零點,不符題意,當時,因為有兩個零點,所以,解得,因為,且,所以存在,使得,又因為,設,則,所以單調(diào)遞增,所以,即,因為,所以存在,使得,綜上,;(ii)因為,所以,因為,所以,設,則,所以,解得,所以,所以,設,則,設,則,所以單調(diào)遞增,所以,所以,即,所以單調(diào)遞增,即隨著的增大而增大,所以隨著的增大而增大,命題得證.【點睛】此題考查利用導函數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,通過等價轉(zhuǎn)化證明與零點相關(guān)的命題.18、(1),(2)【解析】
先求出,再求圓的半徑和極坐標方程;(2)設求出,,再求出得解.【詳解】(1)將化成直角坐標方程,得則,故,則圓,即,所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標方程,得.即圓M的極坐標方程為.(2)設,則,用代替.可得,【點睛】本題主要考查直角坐標和極坐標的互化,考查極徑的計算,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(I)零點分段法,分,,討論即可;(II),分,,三種情況討論.【詳解】原不等式即.當時,化簡得.解得;當時,化簡得.此時無解;當時,化簡得.解得.綜上,原不等式的解集為由題意,設方程兩根為.當時,方程等價于方程.易知當,方程在上有兩個不相等的實數(shù)根.此時方程在上無解.滿足條件.當時,方程等價于方程,此時方程在上顯然沒有兩個不相等的實數(shù)根.當時,易知當,方程在上有且只有一個實數(shù)根.此時方程在上也有一個實數(shù)根.滿足條件.綜上,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查解絕對值不等式以及方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍,考查學生的運算能力,是一道中檔題.20、(1);(2)見解析.【解析】
(I)結(jié)合離心率,得到a,b,c的關(guān)系,計算A的坐標,計算切線與橢圓交點坐標,代入橢圓方程,計算參數(shù),即可.(II)分切線斜率存在與不存在討論,設出M,N的坐標,設出切線方程,結(jié)合圓心到切線距離公式,得到m,k的關(guān)系式,將直線方程代入橢圓方程,利用根與系數(shù)關(guān)系,表示,結(jié)合三角形相似,證明結(jié)論,即可.【詳解】(Ⅰ)設橢圓的半焦距為,由橢圓的離心率為知,,∴橢圓的方程可設為.易求得,∴點在橢圓上,∴,解得,∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當過點且與圓相切的切線斜率不存在時,不妨設切線方程為,由(Ⅰ)知,,,∴.當過點且與圓相切的切線斜率存在時,可設切線的方程為,,∴,即.聯(lián)立直線和橢圓的方程得,∴,得.∵,∴,,∴.綜上所述,圓上任意一點處的切線交橢圓于點,都有.在中,由與相似得,為定值.【點睛】本道題考查了橢圓方程的求解,考查了直線與橢圓位置關(guān)系,考查了向量的坐標運算,難度偏難.21、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)①;②數(shù)學期望為6,方差為2.4.【解析】
(1)完成
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