湖南省長沙一中2025屆高三（最后沖刺）數(shù)學試卷含解析

湖南省長沙一中2025屆高三（最后沖刺）數(shù)學試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．3．在我國傳統(tǒng)文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五個物質(zhì)類別，在五者之間，有一種“相生”的關(guān)系，具體是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.從五行中任取兩個，這二者具有相生關(guān)系的概率是（）A．0.2 B．0.5 C．0.4 D．0.84．若函數(shù)在時取得最小值，則（）A． B． C． D．5．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．46．近年來，隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機的更新?lián)Q代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門.某大學為了調(diào)查在校大學生使用的主要用途，隨機抽取了名大學生進行調(diào)查，各主要用途與對應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計如圖所示，現(xiàn)有如下說法：①可以估計使用主要聽音樂的大學生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學生人數(shù)；②可以估計不足的大學生使用主要玩游戲；③可以估計使用主要找人聊天的大學生超過總數(shù)的.其中正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．7．正三棱錐底面邊長為3，側(cè)棱與底面成角，則正三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．8．已知非零向量滿足，，且與的夾角為，則（）A．6 B． C． D．39．“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機投擲200個點，己知恰有80個點落在陰影部分據(jù)此可估計陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．10．已知復數(shù)是純虛數(shù)，其中是實數(shù)，則等于（）A． B． C． D．11．某個小區(qū)住戶共200戶，為調(diào)查小區(qū)居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調(diào)查，得到本月的用水量(單位：m3)的頻率分布直方圖如圖所示，則小區(qū)內(nèi)用水量超過15m3的住戶的戶數(shù)為()A．10 B．50 C．60 D．14012．已知隨機變量滿足，，.若，則（）A．， B．，C．， D．，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標系中,點在曲線：上,且在第四象限內(nèi)．已知曲線在點處的切線為,則實數(shù)的值為__________．14．若，則__________．15．已知，滿足約束條件，則的最小值為______．16．若的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中各項的系數(shù)和是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，若的解集為．（1）求的值；（2）若正實數(shù)，，滿足，求證：．18．（12分）已知函數(shù)．（1）時，求不等式解集；（2）若的解集包含于，求a的取值范圍．19．（12分）已知圓M：及定點，點A是圓M上的動點，點B在上，點G在上，且滿足，，點G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點，與直線和分別交于P、Q兩點.當時，求（O為坐標原點）面積的取值范圍.20．（12分）已知，且滿足，證明：.21．（12分）已知函數(shù)（1）若，試討論的單調(diào)性；（2）若，實數(shù)為方程的兩不等實根，求證：.22．（10分）橢圓：（）的離心率為，它的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是直線上任意一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線恒過一個定點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】所對應(yīng)的點為（-1，-2）位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念，屬于簡單題.2、A【解析】

由及得到、，進一步得到，再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以，又，所以，，所以.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)誘導公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查學生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題.3、B【解析】

利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從五行中任取兩個，所有可能的方法為：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共種，其中由相生關(guān)系的有金水、木水、木火、火土、金土，共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型的計算，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時的值．【詳解】解：，其中，，，故當，即時，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

圓心坐標為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當且僅當且即時取等號，故選：．【點睛】本題考查最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計算使用主要玩游戲的大學生所占的比例，可判斷②的正誤；計算使用主要找人聊天的大學生所占的比例，可判斷③的正誤.綜合得出結(jié)論.【詳解】使用主要聽音樂的人數(shù)為，使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為，所以①正確；使用主要玩游戲的人數(shù)為，而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為，，故超過的大學生使用主要玩游戲，所以②錯誤；使用主要找人聊天的大學生人數(shù)為，因為，所以③正確.故選：C.【點睛】本題考查統(tǒng)計中相關(guān)命題真假的判斷，計算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積．【詳解】如圖，正三棱錐中，是底面的中心，則是正棱錐的高，是側(cè)棱與底面所成的角，即＝60°，由底面邊長為3得，∴．正三棱錐外接球球心必在上，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴．故選：D．【點睛】本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關(guān)系．掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵．8、D【解析】

利用向量的加法的平行四邊形法則，判斷四邊形的形狀，推出結(jié)果即可．【詳解】解：非零向量，滿足，可知兩個向量垂直，，且與的夾角為，說明以向量，為鄰邊，為對角線的平行四邊形是正方形，所以則．故選：．【點睛】本題考查向量的幾何意義，向量加法的平行四邊形法則的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力.10、A【解析】

對復數(shù)進行化簡，由于為純虛數(shù)，則化簡后的復數(shù)形式中，實部為0，得到的值，從而得到復數(shù).【詳解】因為為純虛數(shù)，所以，得所以.故選A項【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算，純虛數(shù)的概念，屬于簡單題.11、C【解析】從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m3的住戶的頻率為，即分層抽樣的50戶中有0.3×50=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區(qū)內(nèi)用水量超過15立方米的住戶戶數(shù)為，故選C12、B【解析】

根據(jù)二項分布的性質(zhì)可得：，再根據(jù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因為隨機變量滿足，，.所以服從二項分布，由二項分布的性質(zhì)可得：，因為，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得：，在上單調(diào)遞減，所以.故選：B【點睛】本題主要考查二項分布的性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先設(shè)切點,然后對求導,根據(jù)切線方程的斜率求出切點的橫坐標,代入原函數(shù)求出切點的縱坐標,即可得出切得,最后將切點代入切線方程即可求出實數(shù)的值.【詳解】解:依題意設(shè)切點,因為,則,又因為曲線在點處的切線為,,解得,又因為點在第四象限內(nèi),則,.則又因為點在切線上.所以.所以.故答案為:【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義,以及導數(shù)的運算法則和已知切線斜率求出切點坐標,本題屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

因為，由二倍角公式得到，故得到．故答案為．15、2【解析】

作出可行域，平移基準直線到處，求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準直線到處時，取得最小值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由題意得出展開式中共有11項，；再令求得展開式中各項的系數(shù)和．【詳解】由的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，所以展開式中共有11項，所以；令，可求得展開式中各項的系數(shù)和是：．故答案為：1．【點睛】本小題主要考查二項式展開式的通項公式的運用，考查二項式展開式各項系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見詳解.【解析】

（1）將不等式的解集用表示出來，結(jié)合題中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式證明.【詳解】解：（1），，，因為的解集為，所以，；（2）由（1）由柯西不等式，當且僅當，，，等號成立．【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

(1)代入可得對分類討論即可得不等式的解集;(2)根據(jù)不等式在上恒成立去絕對值化簡可得再去絕對值即可得關(guān)于的不等式組解不等式組即可求得的取值范圍【詳解】（1）當時，不等式可化為，①當時，不等式為，解得；②當時，不等式為，無解；③當時，不等式為，解得，綜上，原不等式的解集為．（2）因為的解集包含于，則不等式可化為，即．解得，由題意知，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是．【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法分類討論解絕對值不等式的應(yīng)用,含參數(shù)不等式的解法.難度一般.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線，從而為定值，根據(jù)橢圓定義可知點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，即可求出曲線C的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，表示處的面積代入韋達定理化簡即可求范圍.【詳解】（1）為的中點，且是線段的中垂線，，又，∴點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，設(shè)橢圓方程為（），則，，，所以曲線C的方程為.（2）設(shè)直線l：（），由消去y，可得.因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，所以，.①又由可得；同理可得.由原點O到直線的距離為和，可得.②將①代入②得，當時，，綜上，面積的取值范圍是.【點睛】此題考查了軌跡和直線與曲線相交問題，軌跡通過已知條件找到幾何關(guān)系從而判斷軌跡，直線與曲線相交一般聯(lián)立設(shè)而不求韋達定理進行求解即可，屬于一般性題目.20、證明見解析【解析】

將化簡可得，由柯西不等式可得證明.【詳解】解：因為，，所以，又，所以，當且僅當時取等號.【點睛】本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，相對不難，注意已知條件的化簡及柯西不等式的靈活運用.21、（1）答案不唯一，具體見解析（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)題意得，分與討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，得，參變分離得，分析不等式，即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得單調(diào)性，進而得證.【詳解】（1）依題意，當時，，①當時，恒成立，此時在定義域上單調(diào)遞增；②當時，若，；若，；故此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）方法1：由得令，則，依題意有，即，要證，只需證（不妨設(shè)），即證，令，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，即，從而有.方法2：由得令，則，當時，時，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，要證，只需證，易知，故只需證，即證令，（），則==，（也