中考數(shù)學(xué)模型專項(xiàng)突破：阿氏圓最值問題（含答案及解析）

模型介紹

背景故事：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：

PB=k(k￥l),則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)

學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓

模型建立：當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)以。為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示:

1

pA(JArpAAC

易證：△BOPS/^POA,「.萬萬==方方，，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P都有方方—五萬—k.

PHrOBPHBC

對(duì)于任意一個(gè)圓，任意一個(gè)k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當(dāng)?shù)奈?/p>

置選取A、B點(diǎn)，則需QA."=治r=心

r(JB

13【技巧總結(jié)】計(jì)算K4+鼠P6的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似

三角形

問題：在圓上找一點(diǎn)P使得B4+公尸3的值最小，解決步驟具體如下:

①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP，OB

②計(jì)算出這兩條線段的長(zhǎng)度比O上P-=左

0B

ocPC

③在OB上取一點(diǎn)C,使得——=k,即構(gòu)造△P0MS/\B0P,則——=k,PC=k.PB

OPPB

④則/%+左當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值

例題精講

【例1].如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,0c半徑為2,P為圓上

一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,BP,則AP+工8P的最小值為.

2

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,08的半徑為2,尸為02上的動(dòng)點(diǎn)，貝|尸。+

【變式1-2].如圖，在△ABC中，ZA=90°,AB=AC=4,點(diǎn)E、F分別是邊A8、AC的

中點(diǎn)，點(diǎn)P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則*PB+PC的最小值為.

A

【變式1-3].如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為圓心作半徑為4的圓交x軸正半軸于點(diǎn)

A,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6,3）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8,0）,點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng).則的

2

最小值是

【例2].如圖，在。。中，點(diǎn)A、點(diǎn)8在。。上，ZAOB=90°,。4=6,點(diǎn)C在。A上,

且OC=2AC,點(diǎn)。是08的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2DM的最小值

為

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].。。半徑為2,AB,為兩條直線.作。CLA8于C,且C為AO中點(diǎn)，P

為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).求2PC+PE的最小值.

【變式2-2].如圖，在扇形0c。中，/COD=90°,0c=3,點(diǎn)A在。。上，A￡>=1,點(diǎn)

B為0C的中點(diǎn)，點(diǎn)E是弧CD上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+2EB的最小值是.

【變式2-3].如圖，等邊AABC的邊長(zhǎng)6,內(nèi)切圓記為。。，尸是。。上一動(dòng)點(diǎn)，貝U2P8+PC

的最小值為

A

1.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓。，尸為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，則&E4+P8的最小

值為.

2.如圖，扇形A08中，ZAOB=90°,0A=6,C是。4的中點(diǎn)，。是上一點(diǎn)，OD=

5,尸是第上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+工尸。的最小值為

2

3.如圖，半圓的半徑為1,AB為直徑，AC,2。為切線，AC=1,BD=2,P為弧AB上一

動(dòng)點(diǎn)，則返PC+尸。的最小值為.

D

4.在RtZXAQB中，ZAOB=90°,OA=8,08=10,以。為圓心，4為半徑作圓O,交兩

邊于點(diǎn)C,D,尸為劣弧CD上一動(dòng)點(diǎn)，則.出+PB最小值為

2

B

5.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABC。中，〃為AB上一點(diǎn)，且BM=2,N為邊BC上一動(dòng)

點(diǎn)，連接MN,點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,連接E4,PC,則出+2PC的最小值為.

6.如圖，矩形4BCZ）中，AB=2,4。=4,M點(diǎn)是8C的中點(diǎn)，A為圓心，AB為半徑的圓

交AD于點(diǎn)E.點(diǎn)尸在前上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為

2

7.如圖，在△ABC中，NA=90°,A8=3,AC=4,。為AC的中點(diǎn)，以A為圓心，AD

為半徑作0A交AB于點(diǎn)E,P為劣弧DE上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC,則PC+工PB的最小

3

值為

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,2),P是△AOB

外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且/3B4=135°,則2PD+PC的最小值是.

9.如圖，在RtZXAOB中，ZAOB=90°,0A=3,0B=2,OO的半徑為1,M為。。上

一動(dòng)點(diǎn)，求4加+工3用的最小值.

10.問題提出：如圖1,在等邊△ABC中，AB=12,OC半徑為6,尸為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接

AP,BP,求AP+LBP的最小值.

(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP,在C8

上取點(diǎn)D使C￡>=3,則有型=生=」，又,：ZPCD=/BCP,：./\PCD^/\BCP,

CPCB2

.?.西=工，:.PD=LBP,:.AP+^BP=AP+PD.

BP222

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+工BP的最小值為

2

(2)自主探索：如圖3,矩形ABCD中，BC=7,AB=9,P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且尸8=3,

^AP+PC的最小值為

3

(3)拓展延伸：如圖4,扇形CO。中，。為圓心，NCOD=120°,0c=4,04=2,

08=3,點(diǎn)P是加上一點(diǎn)，求2B1+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程.

B''C0

圖3圖4

11.(1)如圖1,已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為6,圓8的半徑為3,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則PQ+」PC的最小值為，的最大值為

22

(2)如圖2,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ZB=60°,圓B的半徑為2,點(diǎn)尸是圓8

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PD+」PC的最小值，以及的最大值.

22

12.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有符合坦=左(左＞0且人/1)的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)

PB

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在X軸，y軸上分別有點(diǎn)C(〃z,0),D(0,n),

點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且。尸=r,設(shè)空=4，求PC+女尸。的最小值.

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在OD上取點(diǎn)使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：證明枕。=尸加；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程(部分)：

解：在OD上取點(diǎn)M,使得OAf：OP=OP：OD=k,

又,：/POD=/MOP,:.叢POMs^DOP.

任務(wù)：

(1)將以上解答過程補(bǔ)充完整.

(2)如圖2,在RtZXABC中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=3,。為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),

滿足cz)=2,利用(1)中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出AO+ZBO的最小值.

3

13.(1)如圖1,已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,圓8的半徑為2,點(diǎn)P是圓8上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，求PD+Jpc的最小值和PD-PC的最大值;

(2)如圖2,已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為9,圓B的半徑為6,點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，那么的最小值為.,PD-,pc的最大值為.

(3)如圖3,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ZB=60°,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么pr*pc的最小值為，尸0-白。的最大值為

14.如圖，拋物線y=-/+匕尤+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點(diǎn)，直線AC：

y=--6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFLx軸交AC于點(diǎn)F,

交拋物線于點(diǎn)G.

(1)求拋物線y=-jr+bx+c的表達(dá)式；

(2)連接GB,EO,當(dāng)四邊形GEOB是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

(3)①在y軸上存在一點(diǎn)H,連接EH,HF,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，以A,E,F,

X為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？求出此時(shí)點(diǎn)E,X的坐標(biāo)；

②在①的前提下，以點(diǎn)E為圓心，即長(zhǎng)為半徑作圓，點(diǎn)M為OE上一動(dòng)點(diǎn)，求

15.如圖，已知二次函數(shù)>=以2+a+0的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(2,-3),且與X軸交于原點(diǎn)及點(diǎn)8

(8,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)及直線AB的表達(dá)式；

(3)判斷AAB。的形狀，試說明理由；

(4)若點(diǎn)P為。。上的動(dòng)點(diǎn)，且。。的半徑為2“歷，一動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AP勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,再以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段PB

勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B后停止運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值.

大招阿氏圓最值問題

1模型介紹

背景故事：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：

PB=k(k，l),則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓.這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)

學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.

模型建立：當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)以。為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示:

1

pA(JArpAAC

易證：△BOPS/\POA,「.萬元=---=萬，，對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P都有方方=五萬=k.

PBrOBPBBC

對(duì)于任意一個(gè)圓，任意一個(gè)k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當(dāng)?shù)奈?/p>

置選取A、B點(diǎn)，則需J=方五=fc

r(JB1

國(guó)【技巧總結(jié)】計(jì)算+左的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似

三角形

問題：在圓上找一點(diǎn)P使得的值最小，解決步驟具體如下:

①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP，OB

②計(jì)算出這兩條線段的長(zhǎng)度比O上P-=左

0B

ocPC

③在OB上取一點(diǎn)C,使得——=k,即構(gòu)造△P0MS/\B0P,則——=k,PC=k.PB

OPPB

④則/%+左當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值

例題精講

【例1].如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,0c半徑為2,P為圓上

一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,BP,則AP+工8P的最小值為.

解：如圖1,連接CP,在上取點(diǎn)。，使CO=1,則有型=空=2

CPCB2

又,：/PCD=/BCP,

:.△PCDsXBCP,

?.?PD—_-1,

BP2

：.PD=LBP,

2

：.AP+—BP=AP+PD.

2

要使AP+工3尸最小，只要4P+P。最小，當(dāng)點(diǎn)A,P,。在同一條直線時(shí)，4P+P。最小,

2

即：尸最小值為AD,

2

在RtZ\4C￡>中，CD=1,AC=6,

?，.AO=VAC2-*CD2=V37，

AP+XBP的最小值為技

A變式訓(xùn)練

【變式17].如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,。8的半徑為2,尸為OB上的動(dòng)點(diǎn)，貝。PD+

：.BC=4=CD,BP=2,￡C=3

:里』且NPBE=NPBE

BC2BP

△PBEs^CBP

?BE_旦i

"BP'PC"2

；.PE=±PC

2

：.PD+—PC=PD+PE

2

當(dāng)點(diǎn)O,點(diǎn)尸，點(diǎn)E三點(diǎn)共線時(shí)，PD+PE有最小值，即「。+工PC有最小值,

2

.,.PD+^PC最小值為?！?而^=5故答案為：5

【變式1-2].如圖，在△ABC中，NA=90°,AB=AC=4,點(diǎn)、E、尸分別是邊A3、AC的

中點(diǎn)，點(diǎn)P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，則/pB+PC的最小值為

V17-.

解：如圖，在A2上截取42=1,連接AP,PQ,CQ,

?.?點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動(dòng)點(diǎn),

?.?-A-P--二2二1,

AB42

'：AP=2,AQ=1,

?.?-A-Q---1,

AP2

ZPAQ=ZBAP,

：.AAPe^AABP,

：.PQ=XpB,

2

^PB+PC=PC+PQCQ,

在RtZkACQ中，AC=4,AQ=1,

℃=7AC2+AQ2=V16+1=V17.，

：.XPB+PC的最小值,

故答案為：V17?

【變式1-3].如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)。為圓心作半徑為4的圓交x軸正半軸于點(diǎn)

A,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6,3）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（8,0）,點(diǎn)尸在圓上運(yùn)動(dòng).則的

2

最小值是5.

解：如圖，作MB_LON于2,

則BM=3,03=6,

取0A的中點(diǎn)/,連接OP,Pl,IM,

，。/=2,0P=4,

.01=2=1

"OP12'

0P=^=2

麗京5'

.01OP

??~二11,

OPON

又NPO/是公共角，

.?.△PO/saNOP,

.PI_0I__l

,?麗而H，

：.PI=kpN,

2

PM+^PN=PM+PI^IM,

2

...當(dāng)M、P（圖中。點(diǎn)）、/在一條直線上時(shí)，

PM+P1最小=M/=4MB2+B[2;山2+/=5,

故答案是5.

【例2].如圖，在。。中，點(diǎn)A、點(diǎn)8在O。上，ZAOB=90°,0A=6,點(diǎn)C在。A上,

且。C=2AC,點(diǎn)。是02的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧A8上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+2OW的最小值為

4Vio-.

解：延長(zhǎng)。8到T,使得BT=0B,連接MT,CT.

\B—丁

,.?OM=6,0D=DB=3,0T=12,

：.OM2=OD'OT,

.ON=0T

"ODON"

\*4MoD=4T0M,

：./\M0D^/\T0M,

?DM=OM=1

"MTOT~2'

：.MT=2DM,

,：CM+2.DM^CM+MTNCT,

又：在RtZkOCT中，ZC<9T=90°,0C=4,07=12,

CT=VQC2OT2=V42+122=4VIO>

ACM+2DM^4-/W，

；.CM+2OM的最小值為4\國(guó)，答案為4丁誣.

A變式訓(xùn)練

【變式2-1].。。半徑為2,AB,為兩條直線.作。CLA8于C,且C為A。中點(diǎn)，P

為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).求2PC+PE的最小值.

D

：C是A。的中點(diǎn)，

OC=1-OA=1,

2

.QCOP_1

''op"OKT

y.'：ZCOP=ZPOK,

：./\COP^/\POK,

.PCoc.1即PK=2PC.

'*PK'OP"2

：.2PC+PE=PE+PK》EK.

作于點(diǎn)H.

:在直角△口?￡）中，cosNDOC=里」,

OD2

：.ZDOC=60°,

；./EOH=/DOC=60°,

：.HE^OE-sin60°=2X與=7§,

；?EK=752+(V3)2=2V7-

即最小值是2/7.故答案是：2夜.

【變式2-2].如圖，在扇形0c〃中，ZCOD=9Q°,0C=3,點(diǎn)A在。。上，AO=1,點(diǎn)

2為。C的中點(diǎn)，點(diǎn)、E是弧CD上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+2EB的最小值是，板_.

解：如圖，延長(zhǎng)OC至尸，使得CF=0C=3.連接EF,OE,

..OEOF門

OB0E-2

NEOB為公共角

:.AOBEsAOEF

.BEQB1

"EF'of

：.2BE=EF

：.AE+2BE=AE+EF

即A、E、尸三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值

即由勾股定理得

AF=yl^+22=WI5故答案為2V10

【變式2-3].如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)6,內(nèi)切圓記為OO,尸是。。上一動(dòng)點(diǎn)，則2PB+PC

的最小值為_^V7_.

解：如圖，連接OC交。。于點(diǎn)D,取。。的中點(diǎn)凡作OEL8C于E,FGLBC^G,

p

.0F=0P=2

"OPOC2'

'：ZFOP=ZPOC,

:.△OPFS^OCP,

：.CP=2PF,

：.2PB+PC=2(Apc+PB)=2(PB+PF),

2

,：PB+PF>BF,

.?.PB+P尸的最小值為BF,

"：BC=6,NOCE=30°,

；.CE=3,OE=M，OC=2百,

...c-里③，

2

...6尸=3巨，CG=—,

44

：.BG=BC-CG=^~,

4

由勾股定理得，8尸=宜巨，

2

：.2PB+PC的最/J、值為2BF=3V7.

故答案為：3曲.

實(shí)戰(zhàn)演練

1.如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓。，P為圓。上一動(dòng)點(diǎn)，則&E4+P8的最小

值為

OP=r=^BC=2,。8=圾「=2&,

2

取的中點(diǎn)/,連接力，

:.OI=IB=42,

VOP_-2_-J3，

01一&72，

強(qiáng)必”，

OP2v

?.?-O-P=OB,，

01OP

NO是公共角，

:.△BOPs^poi,

.PI__01_V2

"WOP~

：.PI=^PB,

2

7

PB=AP+PI,

...當(dāng)A、P、/在一條直線上時(shí)，AP+返產(chǎn)2最小，

2

作IELAB于E,

VZABO=45°,

：.IE=BE=y-^BI=l,

2

：.AE=AB-BE=3,

**?A/=4夢(mèng)+]2=yj10,

:.AP+與PB最小值=A/=JT5，

,:近PA+PB=M(B4+器尸2),

.?.JEEI+PB的最小值是、歷A/=&XJIU=2遍.

故答案是2遙.

2.如圖，扇形AO8中，ZAOB=90°,OA=6,C是OA的中點(diǎn)，。是08上一點(diǎn)，OD

5,尸是窟上一動(dòng)點(diǎn)，則PC+工的最小值為巨

2—2

解：如圖，延長(zhǎng)04使AE=08,連接EC,EP,0P,

?：AO=OB^6,C分別是。4的中點(diǎn)，

；.0E=12,0P=6,0C=AC=3,

...史=毀=」，且/COP=NEOP

OEOP2

:.△OPEs^ocP

.PC=OP=1

"PEOE5，

:.EP=2PC,

；.PC+^-PD^—(2PC+PD)=—(PD+PE),

222

，當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)P,點(diǎn)。三點(diǎn)共線時(shí)，PC+』PZ)的值最小,

???DE=VOD2-H3E2=^52+122=13'

：.PD+PE^DE^\3,

...PD+PE的最小值為13,

：.PC+1PD的值最小值為旦.

22

故答案為：11.

2

3.如圖，半圓的半徑為1,A8為直徑，AC,BD為切線,AC=1,BD=2,尸為弧AB上一

解：：AC是。。的切線,

：.ZOAC=90°,

；?"=VAC2-K)A2=近'

取0c的中點(diǎn)/,連接尸/,DI,

..OP1V2

OCV22

QI_V2

而丁，

?.?-0--P-=01",

OC0P

又/O是公共角，

，△PO/S△(%)/>,

?PI-QI-V2

"PCOPT'

:.PI=±^PC,

2

：.^-PC+PD=PI+PD,

2

...當(dāng)。、P、/在一條直線上時(shí)，叵PC+PD最4、=DI,

2

作/凡LA8于尸，/E_L8O于E,

22

：.DE=BD-BE=—,

2

3

IE=BF=OB+OF=J

2

DI=VDE2+IE2='

.?.亞PC+PD最小=￡)/=旦我.故答案是：172，

222

4.在RtZXAOB中，NAO2=90°,0A=8,02=10,以。為圓心，4為半徑作圓。，交兩

邊于點(diǎn)C,D,尸為劣弧C。上一動(dòng)點(diǎn)，則工加+尸8最小值為2歷.

解：如圖,

連接OP,取。C的中點(diǎn)E,

ZPOE=ZAOP,

OPOA2

.?.△POE^AAOP,

.PE_OE=1

',pFOP-^

：.^.PA+PB=PE+PB,

2

?：PE+PB?BE,

...當(dāng)2、P、E共線時(shí)，PE+PB最小，

?：OE=^OC=2,08=10,

2

B￡=VOE2-K)B2=^22+102=2^26-

：.XpA+PB的最小值是2技.

5.如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCQ中，M為AB上一點(diǎn)，且8M=2,N為邊BC上一動(dòng)

點(diǎn)，連接MN,點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P,連接用，PC,則B4+2PC的最小值為

6^/5_.

解：,:B、P關(guān)于MN對(duì)稱，BM=2,

：.PM=2,

如圖所示，則點(diǎn)P在以M為圓心，8M為半徑的圓上，

在線段MA上取一個(gè)點(diǎn)E,使得ME=\,

又：MA=6-2=4,MP=2,

?.M?,E—1,

MP2

史上」

血彳巧，

?.M.-E~-M--P,

MPMA

又：NEMP=NPMA,

?.P?-E二1,,

PA2

?*-PE—'PA，

：.PA+2PC=2（PC卷PA）=2（PC+PE）》2CE,

如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)尸、C、E三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值2CE,

?；CE=7BE2+BC2=VS2+62=375，

:.PA+2PC的最小值為675.

6.如圖，矩形ABC。中，AB=2,AD=4,M點(diǎn)是BC的中點(diǎn)，A為圓心，AB為半徑的圓

交AD于點(diǎn)E.點(diǎn)尸在^上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為_,而_.

解：取AE的中點(diǎn)K,連接PK,KM■，作K”_L8c于H,則四邊形ABHK是矩形.可得

AK=BH=l,HK=AB=2.

'：AP=2,AK=1,AD=4,

.'.PA2=AK-AD,

.PA=AK

"ADPA"

'：ZKAP^ZPAD,

.?.△B4Ks△￡>”，

.PK=AK=2

"PDAP2'

：.PK=^PD,

2

：.PM+^PD=PM+PK,

2

22

,?PM+PK，KM,KM=y]l+2=返，

:.PM+PK,?

：.PM+^DP的最小值為JM，

2

故答案為盜.

KED

7.如圖，在△ABC中，ZA=90°,AB=3,AC=4,。為AC的中點(diǎn)，以A為圓心，AD

為半徑作04交AB于點(diǎn)E,尸為劣弧。E上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC,則尸C+2pB的最小

3

值為生此.

—3―

Ok、

B

解：在AB上取凡使4尸=邑,，連接CP與。A的交點(diǎn)即是滿足條件的點(diǎn)P,連接AP,

3

如圖：

B----

VAD=AAC=2,

2

：.AP=AD=2,

,：AB=3,AF=A,

3

：.AP1=AF-AB,

,：ZPAB=AFAP,

：./\PAB^/\FAP,

?PF=AP

"PBAB3'

：.PF=—PB,

3

PC+^-PB=PC+PF=CF,

3

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)PC+2PB=CF最小,

3

：最小值為—2_4VTO

.PC+^-PBCF=A/2AC+4--§-

3AF+

故答案為：生叵.

3

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,2),P是△AOB

外部的第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且NBE4=135°,則2PD+PC的最小值是上&

PT,TD,

：.OA=OB=2,OC=4,

以。為圓心。4為半徑作。。，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)Q,連接QA,

?.?/Q=//AOB=45°,ZAPS=135°,

AZ2+ZAPS=180°,

；.4、P、B、。四點(diǎn)共圓,

；.0P=O4=2,

\'OP=2,OT=1,OC=4,

：.OP2=O^OT,

?.?-O--P-=0T■",

0C0P

ZPOT=ZPOC,

/.△POTS△尸oc,

?.?-PT—■OP二—11,

PCOC2

?,?PT=*PC，

：.2PD+PC=2(PD+^PC)=2(PD+PD,

2

22

,/PD+PT^DT,DT=^2+2=2&，

：.2PD+PC》^[i，

：.2PD+PC的最小值是4如.

故答案為：4?

9.如圖，在RtzXAOB中，ZAOB=90°,0A=3,0B=2,OO的半徑為1,M為。。上

一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.

2

解：如圖，連接。M,在。8上取點(diǎn)C,使。。=工，連接MC,AC,

,：0B=2,。。的半徑為1,

.0M.OC1

,旗而至，

NM0C=NC0M,

.MCOM1

,?而怎而‘

：.AM+^BM=AM+MC,

2

：.AM+^BM的最小值即為AM+MC的最小值,

2

；.A、M,C三點(diǎn)共線時(shí)，AM+MC最小，

在Rt^AOC中，由勾股定理得：

4c二次+及涇年.

：.AM+^BM的最小值為Y紅.

22

10.問題提出：如圖1,在等邊△ABC中，AB=U,OC半徑為6,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接

AP,BP,求AP+」BP的最小值.

(1)嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖2,連接CP,在CB

上取點(diǎn)。，使C￡>=3,則有型=史=』，又；/PCD=NBCP,:APCDsABCP,

CPCB2

.?.里=」，:.PD=LBP,:.AP+^BP=AP+PD.

BP222

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+aBP的最小值為二

(2)自主探索：如圖3,矩形ABC。中，8c=7,AB=9,P為矩形內(nèi)部一點(diǎn)，且尸8=3,

-j-AP+PC的最小值為二\歷

(3)拓展延伸：如圖4,扇形CO。中，。為圓心，/COD=120°,0c=4,04=2,

08=3,點(diǎn)P是向上一點(diǎn)，求2出+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程.

圖3圖4

解：（1）解：（1）如圖1,

連接A。，過點(diǎn)A作AfUCB于點(diǎn)R

?：AP+—BP^AP+PD,要使AP+—BP最〃、，

22

最小，當(dāng)點(diǎn)A,P,。在同一條直線時(shí)，AP+A。最小,

即：AP+工8P最小值為A。，

2

VAC=12,AFLBC,ZACB=6Q°,

：.CF=6,AF=6如,

：.DF=CF-CD=6-3=3,

22

AD=A/AF+DF=，

：.AP+1BP的最小值為3V13;

2

（2）如圖,

在AB上截取86=1,連接PF,PC,

：AB=9,尸8=3,BF=1,

?.型△迪，S.ZABP=ZABP,

AB3BP

\△ABPS/\PBF,

.FPBP.1

,AP'AB"3，

\PF=^AP,

3

\^AP+PC=PF+PC,

3

?.當(dāng)點(diǎn)尸，點(diǎn)尸，點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，!AP+PC的值最小,

3

CF=1>/BF2+BC2=V1+49=5V2>

-.1.AP+PC的值最小值為572；

3

(3)如圖，

延長(zhǎng)OC,使CF=4,連接B尸，OP,PF,過點(diǎn)/作&于點(diǎn)M,

VOC=4,FC=4,

：.FO=S,且OP=4,OA=2,

.?.PU=_QL,S.ZAOP=ZAOP,

OP2OF

△AOPS/\POF,

.AP_0A1

?,瓦而方

：.PF=2AP,

：.2PA+PB^PF+PB,

當(dāng)點(diǎn)R點(diǎn)尸，點(diǎn)2三點(diǎn)共線時(shí)，2AP+PB的值最小，

VZCOD=120°,

/尸OM=60°,且尸0=8,FMLOM,

：.OM=4,FM=4^3,

：.MB=OM+OB=4+3=7,

'FB=VFM2+MB2=國(guó)，

J.2PA+PB的最小值為何.

11.(1)如圖1,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,圓2的半徑為3,點(diǎn)P是圓2上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，則尸。+2PC的最小值為生，PD-工PC的最大值為工.

2—2—2—2—

(2)如圖2,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,NB=60°,圓B的半徑為2,點(diǎn)P是圓B

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求尸D+」PC的最小值，以及PO-』PC的最大值.

22

解：(1)如圖1,

.BEBP1

"：ZPBE=ZPBC,

/.△PBEs^CBP,

.PEBP1

??---二二一,

PCBC2

:.PE=LPC,

2

：.PD+LpC=PD+PE，DE,

2

PD-^PC=PD-PEWDE,

?.?四邊形ABC。是正方形,

：.ZBCD=9Q°,

DE=VCD24CE2=苻+砥）2=-y,

.?.PD+JiPC的最小值為：生，此時(shí)點(diǎn)尸在P處,

22

PD-工PC的最大值為：—,此時(shí)點(diǎn)P在P"處，

22

故答案為：生，生；

22

(2)如圖2,

在BC上截取BE=1,作。尸_LBC交BC的延長(zhǎng)線于尸,

?.?BE=BP=—1,

BPBC2

'：ZPBE=ZPBC,

:APBEsMBP,

?.?PE=BP=—1,

PCBC2

:.PE=LPC,

2

...PD+、PC=PD+PE'DE,

2

PD-^PC=PD-PEWDE,

2

在RtZXOCF中，ZDCF=ZABC=6Q°,CD=4,

.?.CF=4?cos60°=2,。尸=4?sin60°=2?,

在Rt△。所中，。尸=2我，EF=CE+CF=3+2=5,

?<-DE=VB2+（2V3）2=國(guó)，

.?.PD+』PC的最小值為：V37>此時(shí)點(diǎn)尸在P'處

2

PD-工PC的最大值為：V37，此時(shí)點(diǎn)P在尸"處

2

12.閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有符合坦=左(左＞0且人/1)的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓.這個(gè)

PB

結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.

阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似.

【問題】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，在X軸，y軸上分別有點(diǎn)C(〃z,0),D(0,n),

點(diǎn)尸是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且。尸=r,設(shè)空=4，求PC+女尸。的最小值.

阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：

第一步：如圖1,在OD上取點(diǎn)使得OM：OP=OP：OD=k；

第二步：證明枕。=尸加；第三步：連接CM,此時(shí)CM即為所求的最小值.

下面是該題的解答過程(部分)：

解：在OD上取點(diǎn)M,使得OAf：OP=OP：OD=k,

又,：/POD=/MOP,:.叢POMs^DOP.

任務(wù)：

(1)將以上解答過程補(bǔ)充完整.

(2)如圖2,在RtZXABC中，ZACB=9Q°,AC=4,BC=3,。為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),

滿足cz)=2,利用(1)中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出AD+ZBO的最小值.

3

解(1)在。。上取點(diǎn)使得。M：OP=OP-.OD=k,

又?：NPOD=NMOP,

:APOMs4DOP.

：.MP-.PD=k,

：.MP=kPD,

:.PC+kPD=PC+MP,當(dāng)PC+HV)取最小值時(shí)，PC+MP有最小值，即C,P,M三點(diǎn)共

線時(shí)有最小值，

利用勾股定理得CM=VoC2-H3M2=Vm2+(kr)2=7m2+k2r2-

(2)VAC=m=4,型=Z,在C8上取一點(diǎn)M,使得CM=2cO=4,

BC333

圖2

42+(「智

13.(1)如圖1,已知正方形ABC。的邊長(zhǎng)為4,圓8的半徑為2,點(diǎn)P是圓8上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，求PZH/pc的最小值和PD-/pc的最大值；

(2)如圖2,已知正方形A8C。的邊長(zhǎng)為9,圓8的半徑為6,點(diǎn)P是圓8上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，那么pz)+2pc的最小值為_行而_，p。-VPC的最大值為_曰?

33

(3)如圖3,已知菱形A3C0的邊長(zhǎng)為4,ZB=60°,圓5的半徑為2,點(diǎn)尸是圓5

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么PD+/pc的最小值為—技—，PD-/pc的最大值為—技

解：(1)如圖1中，在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=1.

..PB_2_2BC=_4=2

'BGI'而5'

APB=BC；?:/PBG=NPBC,

BGPB

工△PBGsMBP,

?PG=BG=1

"PCPB5，

：.PG=^PC,

2

：.PD+^-PC=DP+PG,

2

■:DP+PG，DG,

當(dāng)。、G、尸共線時(shí)，PZ）+±PC的值最小，最小值為DG=J^7^=5.

,:PD-工PC=PD-PGWDG,

2

當(dāng)點(diǎn)尸在。G的延長(zhǎng)線上時(shí)，PD-工PC的值最大（如圖2中），最大值為。G=5.

(2)如圖3中，在BC上取一點(diǎn)G,使得BG=4.

.而一［亍麗一紜―2，

.?.里=電，VZPBG=ZPBC,

BGPB

△PBGs^CBP,

?PG=BG=2

"PCPBT

：.PG=^-PC,

3

：.PD+^PC=DP+PG,

3

■:DP+PG2DG,

當(dāng)。、G、尸共線時(shí)，PD+ZPC的值最小，最小值為￡)G=152+g2=JI瓦.

3

9

■:PD-幺PC=PD-PGWDG,

3

當(dāng)點(diǎn)尸在DG的延長(zhǎng)線上時(shí)，的值最大，最大值為癡.

3

故答案為而，V106

(3)如圖4中，在8C上取一點(diǎn)G,使得BG=1,作。尸_LBC于?

BG1PB2

史=生，'；ZPBG=ZPBC,

BGPB

/.APBG^ACBP,

.PG=BG=1

*'PCPBE，

：.PG=^PC,

2

：.PD+^PC=DP+PG,

2

■:DP+PG2DG,

...當(dāng)。、G、尸共線時(shí)，尸￡)+工PC的值最小，最小值為。G,

2

在RtZ\C。尸中，ZDCF=60°,C￡>=4,

：.DF=CD'sin600=2?,CF=2,

在Rtz\G。尸中，DG=N(蚯)2+⑸2=百

'：PD--PC=PD-PGWDG,

2

當(dāng)點(diǎn)P在。G的延長(zhǎng)線上時(shí)，P。-工PC的值最大(如圖2中)，最大值為￡>G=J§7.

2

故答案為F7，V37.

14.如圖，拋物線y=-/+bx+c與直線A8交于A(-4,-4),B(0,4)兩點(diǎn)，直線AC：

y=--6交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作EFlx軸交AC于點(diǎn)F,

交拋物線于點(diǎn)G.

(1)求拋物線>=-7+b尤+c的表達(dá)式;

(2)連接GB