八年級數(shù)學面積法解題

初二數(shù)學---面積法解題【本講教育信息】【講解內(nèi)容】——怎樣證明面積問題以及用面積法解幾何問題【教學目標】使學生靈活掌握證明幾何圖形中的面積的方法。培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力?！局攸c、難點】：重點：證明面積問題的理論依據(jù)和方法技巧。難點：靈活運用所學知識證明面積問題?！窘虒W過程】（一）證明面積問題常用的理論依據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個面積相等的部分。同底同高或等底等高的兩個三角形面積相等。平行四邊形的對角線把其分成兩個面積相等的部分。同底（等底）的兩個三角形面積的比等于高的比。同高（或等高）的兩個三角形面積的比等于底的比。三角形的面積等于等底等高的平行四邊形的面積的一半。1三角形的中位線截三角形所得的三角形的面積等于原三角形面積的141三角形三邊中點的連線所成的三角形的面積等于原三角形面積的1。4有一個角相等或互補的兩個三角形的面積的比等于夾角的兩邊的乘積的比。（二）證明面積問題常用的證題思路和方法分解法：通常把一個復雜的圖形，分解成幾個三角形。作平行線法：通過平行線找出同高（或等高）的三角形。利用有關(guān)性質(zhì)法：比如利用中點、中位線等的性質(zhì)。還可以利用面積解決其它問題?！镜湫屠}】（一）怎樣證明面積問題分解法例1.從4ABC的各頂點作三條平行線AD、BE、CF,各與對邊或延長線交于D、E、F,求證：^DEF的面積=24ABC的面積。分析：從圖形上觀察，4DEF可分為三部分，其中①是^ADE，它與4ADB同底等高，故S =SAADE AADB

②二是△ADF,和上面一樣，S=S③三是aAEF,只要再證出它與4A管DF的面積相等即可由Smfe=Ncfb故可得出S△AEF-S△ABC證明：??.AD//BE//CF.?.△ADB和4人口￡同底等高△ADB△ADE同理可證S△ADC-S△ADF?SaABCSaade+Saadf又.?.S△CEF=S△CBF^△ABC^△AEF??Jaef+Jade+Jadf=2Jabc...△def=2S9bc作平行線法例2.已知：在梯形ABCD中，DC//AB,M為腰BC上的中點1求證：S=SAADM2ABCD22ABCD分析：由M為腰BC的中點可想到過M作底的平行線MN,則MN為其中位線，再利用平行線間的距離相等，設(shè)梯形的高為h22ABCDS=S+SAAMD ADMN AAMN證明：過M作MN//AB?.?M為腰BC的中點?MN是梯形的中位線設(shè)梯形的高為hDC+ABMN= 2則S =MN?h=1=1MN

2又⑹S=S+SAMNDAAMD AAMNAMND:.S =1SAADM2ABCD（二）用面積法解幾何問題有些幾何問題,往往可以用面積法來解決,用面積法解幾何問題常用到下列性質(zhì)：性質(zhì)1：等底等高的三角形面積相等性質(zhì)2：同底等高的三角形面積相等性質(zhì)3：三角形面積等于與它同底等高的平行四邊形面積的一半性質(zhì)4：等高的兩個三角形的面積比等于底之比性質(zhì)5：等底的兩個三角形的面積比等于高之比證線段之積相等例3.設(shè)AD、BE和CF是4ABC的三條高，求證：AD?BC=BE?AC=CF?ABAB DC分析：從結(jié)論可看出，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB三邊上的高，故可聯(lián)想到可用面積法。證明：:人口、BE、CF是4人80的三條高cAD-BCBE-ACCF-AB:.S= = = AABC 2 2 2...AD-BC=BE-AC=CF-AB證等積問題例4.過平行四邊形ABCD的頂點A引直線，和BC、DC或其延長線分別交于E、F,求證：S△ABF=S△ADEA DF分析：因為AB//DF,所以4ABF與4ABC是同底AB和等高的兩個三角形，所以這兩個三角形的面積相等。證明：連結(jié)AC?「CF//AB1，S=S=SAABF AABC2平行四邊形ABCDXVCE//AD1，S=S=SAADE AACD2平行四邊形ABCD.S=SAABF AADE證線段之和例5.已知AABC中，AB=AC,P為底邊BC上任一點，PE1AB,PF1AC,BH1AC,求證：PE+PF=BH

AABP C分析：已知有垂線，就可看作三角形的高，連結(jié)AP,則11S=S+S=AB-PE+-AC-PFAABC AABP AAPC221又由AB=AC,所以S=AC-(PE+PF)AABC21又S =AC-BHAABC2故PE+PF=BH證明：連結(jié)AP,則IJS=S+SvAABC=acAABPeiABC,pfiac111.??S=AB-PE+-AC-PF=-AC-(PE+PF)AABC2 2 2XvBHIACS=1AC-BHAABC211：.aAC-(PE+PF)=AC-BH2 2.?.PE+PF=BH證角平分線例6.在平行四邊形ABCD的兩邊AD、CD上各取一點F、E,使AE=CF,連AE、CF交于P,求證：BP平分/APC。D E CD E C分析：要證BP平分/APC,我們可以考慮，只要能證出B點到PA、PC的距離相等即可，也就是^ABE即可，也就是^ABE和^BFC的高相等即可，又由已知AE=FC可聯(lián)想到三角形的面積，因此只要證出S.abe=s因此只要證出S.abe=s.bcf即可由平行四邊形ABCD可得S—=S.bc所以s.abe=s.bfc,因此問題便得解。S"FC=S.BC證明：連結(jié)AC、BE、BF?.?四邊形ABCD是平行四邊形...△ABE=S9BCS"FC=SS"FC=S△ABC…S^ABES"fc又?「AE=CFW△ABE和aBFC的底分別是AE、CF「.△ABE和aBFC的高也相等即B到PA、PC的距離相等「B點在/APC的平分線上「PB平分」APC【模擬試題】（答題時間：25分鐘）.在平行四邊形ABCD中，E、F點分別為BC、CD的中點，連結(jié)AF、AE,求證：S△ABE=S△△ABE=S△ADFS=SS=S+SKADM ADCM AABM3.Rt△ABC中，.在梯形ABCD中，DC//AB,M為腰BC上的中點，求證:111—十—二——a2 b2h2.已知：E、F為四邊形ABCD的邊AB的三等分點，G、H為邊DC的三等分點，求證：S=證：S=1SEFGH3ABCDCE.在4ABC中，D是AB的中點，E在AC上，且AC-3,CD和BE交于G,ABC和四邊形ADGE的面積比?！驹囶}答案】1.證明：連結(jié)AC,則S*=S^c又二E、F分別為BC、CD的中點...S=S巫BE2^ABC1S=S^ADF2^ADC：.S =S.證時BE過MTmn//dc//ab??.M為腰BC上的中點.?.△DCM和aABM的高相等，設(shè)為\111，S+S=DC-h+AB-h=(DC+AB)-hADCM AABM2 12 12 i又?.?△DMN與aAMN的高也為q「.S =S+SAADM ADMN AAMN=1MN.h +1MN.h2 1 2 1=1MN(h+h)1 1=MN?h1:MN為梯形的中位線1MN=yAB+CD):.S =S+S.證明1DM.?在儂ABCAAfM,ZACB=90°,CD1AB11/.S =ab=AB-haabc2 2，ab=AB?h:.a2b2=AB2-h2=(a2+b2)-h2「?兩邊同時除以a2+b2得：1 1 1—十——=—a2b2h24.證明：連結(jié)FD、FG、FC

DFCMDFCM1S=sS則由已知可得^FGH3ADFC ①作DM//AB,設(shè)它們之間的距離為h,G到DM的距離為a,則由已知可得H、C到DM的距離分別為2a、3a1...S=EF(h+a)AEFG 211?S+S=AF-h+BF-(h+3a)AAFD ABFC2213=EF-h+EF-h+—EF-a2 233=EF-h+EF-a2 211=3(—EF-h+-EF-a)221=3?2EF-(h+a)=3SAEFG1S=-(s+S)即AEFG 3AAFD ABF