山西省長治市第四中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試題

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○……○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁山西省長治市第四中學(xué)校2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中理科數(shù)學(xué)試題試卷副標(biāo)題考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx題號一二三四總分得分注意事項：1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2．請將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、單選題1．若（為虛數(shù)單位），則（

）A．的虛部為 B．C． D．為純虛數(shù)2．已知向量，的夾角為，，，則（

）A． B．3 C． D．123．棱長為的正方體的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．4．如圖，，則（

）A． B．1 C． D．5．已知a、b、c分別是△ABC三個內(nèi)角A、B、C的對邊，b＝，c＝，B＝，那么a等于()A．1 B．2 C．4 D．1或46．如圖，是水平放置的的直觀圖，，，則的面積是（

）A．6 B．12 C． D．7．已知正四棱錐的體積為2，底面積為6，為側(cè)棱的中點，則直線與平面所成的角為（

）A． B． C． D．8．在平面上有A，B，C三點，設(shè)若與的長度恰好相等，則有（

）A．A，B，C三點必在一條直線上B．△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角C．△ABC必為直角三角形且∠B為直角D．△ABC必為等腰直角三角形9．下列結(jié)論中正確的是（

）A．各個面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．當(dāng)正棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等時該棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線10．在日常生活中，我們常常會看到兩個人共提一個行李包的情景，若行李包所受的重力為，兩個拉力分別為，，且，與夾角為，當(dāng)兩人拎起行李包時，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．當(dāng)時，C．當(dāng)角越大時，用力越省 D．當(dāng)時，11．已知非零向量與滿足且則為A．等邊三角形 B．直角三角形 C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形12．已知在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題13．在中，若，則___________.14．已知圓柱和圓錐的底面重合，且母線長相等，該圓柱和圓錐的表面積分別為，，則__________.15．年月日，以“綠色秦巴，開放互贏”為主題的第三屆秦巴山區(qū)綠色農(nóng)林產(chǎn)業(yè)投資貿(mào)易洽談會在四川省巴中市開幕，會場設(shè)在剛剛竣工的川東北最大的綜合體育場——巴中市體育中心，即民間所說的“興文鳥巢”，能被邀請到現(xiàn)場觀禮是無比的榮耀．如圖，在坡度為的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為和，且第一排和最后一排的距離為米，則旗桿的高度為________米．評卷人得分三、雙空題16．如圖，已知正方形的邊長為2，過中心的直線與兩邊，分別交于點，，若是的中點，則的取值范圍是___________；若是平面上一點，且滿足，則的最小值是___________.評卷人得分四、解答題17．已知復(fù)數(shù)．(1)若，求m的值；(2)若z是純虛數(shù)，求的值．18．已知平面向量，，，且，.（1）求和：（2）若，，求向量與向量的夾角的大小.19．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.問題：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，___________.（1）求A；（2）若的面積是，求的周長.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）20．如圖所示，是邊長為的正三角形，點四等分線段．（1）求的值；（2）若點是線段上一點，且，求實數(shù)的值．21．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.（I）求異面直線與所成角的余弦值；（II）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.22．如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF∥AB，現(xiàn)將四邊形ABCD沿EF折起，使BE⊥EC．(1)若BE＝1，在折疊后的線段AD上是否存在一點P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.(2)求三棱錐A-CDF的體積的最大值，并求出此時點F到平面ACD的距離.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出，然后由虛部的定義、復(fù)數(shù)模的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義以及純虛數(shù)的定義進行判斷即可．【詳解】解：，所以的虛部為1，，，為純虛數(shù)．故選：D．2．A【解析】利用條件進行數(shù)量積運算即可求出，從而可得出的值.【詳解】，，，，，故選：A.【點睛】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．3．A【解析】【分析】計算出內(nèi)切球的半徑，結(jié)合球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】棱長為的正方體的內(nèi)切球的半徑為，故該球的表面積為.故選：A.4．C【解析】利用向量加法的三角形法則以及數(shù)乘運算可得，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】由，所以.故選：C5．C【解析】【詳解】中，，，由余弦定理得：即解得或（舍去）故選6．B【解析】【分析】由直觀圖和原圖的之間的關(guān)系，和直觀圖畫法規(guī)則，還原是一個直角三角形，其中直角邊，直接求解其面積即可．【詳解】解：由直觀圖畫法規(guī)則，可得是一個直角三角形，其中直角邊，∴．故選：B．7．A【解析】采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，可得平面，然后找到直線與平面所成的角，最后計算，可得結(jié)果.【詳解】如圖，連接，交于點，連接，在正四棱錐中，為正四棱錐的高.根據(jù)底面積為6，可得.根據(jù)棱錐的體積公式，可得.因為上底面，所以.又，，則平面.則為直線與平面所成的角.在中，因為，，所以，.在中，因為，所以，所以，即直線與平面所成角為.故選：A【點睛】本題主要考查線面角的概念與計算，求直線與平面所成的角的大小，可先將直線在平面內(nèi)的射影作出，從而得到直線與平面所成的角，再進一步求解，屬基礎(chǔ)題8．C【解析】【分析】以為鄰邊作平行四邊形，根據(jù)m，n的長度相等可知平行四邊形一定是矩形,即可判斷.【詳解】以為鄰邊作平行四邊形，則由m，n的長度相等可知，兩對角線相等，因此平行四邊形一定是矩形,所以△ABC必為直角三角形且∠B為直角．故選：C.9．D【解析】【分析】舉例正八面體可說明A錯誤；若以銳角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸得到的幾何體為兩個圓錐的組合體可說明B錯誤；說明正六棱錐的側(cè)棱長大于底面邊長，可說明C錯誤；根據(jù)圓錐母線的概念可判斷D.【詳解】對于A，正八面體的各個面都是三角形，但不是三棱錐，所以A錯誤.對于B，若以銳角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是兩個圓錐形成的組合體，所以B錯誤.對于C，正六棱錐的底面六邊形的外接圓半徑與底面邊長相等，而正棱錐的側(cè)棱長大于底面多邊形外接圓半徑，所以正六棱錐的側(cè)棱長大于底面邊長，所以C錯誤.對于D，圓錐的頂點與底面圓周上的任一點的連線都是母線，所以D正確.故選：D.10．B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，則，再根據(jù)各個選項分析即可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可得：，則，當(dāng)時，，故A錯誤；當(dāng)時，，及，故B正確；，因為在上遞減，又因行李包所受的重力為不變，所以當(dāng)角越大時，用力越大，故C錯誤；當(dāng)時，即，解得，又因，所以，故D錯誤.故選：B.11．A【解析】【分析】由可判斷，由可判斷，從而可得結(jié)論.【詳解】因為非零向量與滿足所以的平分線與垂直，為等腰三角形，且，且，，所以為等邊三角形，故選：A.【點睛】判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進行判斷；（3）根據(jù)余弦定理確定一個內(nèi)角為鈍角進而知其為鈍角三角形.12．A【解析】【分析】由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出，根據(jù)為銳角可求得角的取值范圍，求得，結(jié)合正切函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】解：由，知，，，，因為、，則，，因為正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，則，因為為銳角三角形，則，可得，則，，故選：A.13．##【解析】【分析】由已知，根據(jù)正弦定理，得到三邊的比例關(guān)系，然后借助余弦定理可以直接求解.【詳解】因為，有正弦定理可得：，令，，，有余弦定理可知，，又因為，所以.故答案為：.14．【解析】【分析】根據(jù)圓柱與圓錐的表面積公式直接計算.【詳解】設(shè)圓柱與圓錐的半徑均為，母線為，故，，所以，故答案為：.15．【解析】【分析】設(shè)，可得出，然后在中，利用正弦定理可得出關(guān)于的等式，由此可解得的值.【詳解】設(shè)，在中，；在中，，，，，由正弦定理得，即，所以．故旗桿的高度為米．故答案為：.16．

【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算，將轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合，，即可求得答案；設(shè)，由題意可得點在上，推得，再將轉(zhuǎn)化為，即可求得答案.【詳解】因為直線過中心且與兩邊?分別交于點?，所以為?中點，所以，所以，因為是的中點，所以，，所以，即的取值范圍為；令，由知點在上，又因為為?中點，所以，從而，，因為，所以，即的最小值為.17．(1)(2)4或100【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)，可知z為實數(shù)，列出方程，解得答案；（2）根據(jù)z是純虛數(shù)，列出相應(yīng)的方程或不等式，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的乘法運算，求得答案.(1)因為，所以，所以，所以或．①當(dāng)時，，符合題意；②當(dāng)時，，舍去．綜上可知：．(2)因為z是純虛數(shù)，所以，所以或,所以，或,所以或,所以或100．18．（1），；（2）.【解析】（1）本題首先可根據(jù)、得出，然后通過計算即可得出結(jié)果；（2）本題首先可根據(jù)題意得出以及，然后求出、以及的值，最后根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，，，且，，所以，解得，故，.（2）因為，，所以，因為，，所以，，，，設(shè)與的夾角為，則，因為，所以，向量與向量的夾角為.【點睛】本題考查向量平行、向量垂直以及向量的數(shù)量積的相關(guān)性質(zhì)，若、且，則，考查通過向量的數(shù)量積公式求向量的夾角，考查計算能力，是中檔題.19．（1）；（2）.【解析】【分析】（1）若選擇條件①,利用兩角和與差的正弦公式化簡已知等式可得cosA的值，結(jié)合A的范圍可求A的值；若選擇條件②,利用二倍角公式可得2cos2A+cosA-1=0,解方程可得cosA的值,結(jié)合A的范圍可求A的值；若選擇條件③,利用正弦定理,兩角和的正弦公式化簡已知等式,結(jié)合sinA>0,可得cosA的值,結(jié)合A的范圍可求A的值;（2）利用三角形的面積公式可求bc的值,進而由余弦定理求解b+c的值,即可得解.【詳解】（1）若選擇條件①：因為,則，所以.因為，所以.因為，所以.若選擇條件②：,則，解得：或.因為，所以.若選擇條件③：因為，由正弦定理得：，所以.因為sinA>0，所以.因為，所以.（2）因為，所以bc=2.因為a=2，由余弦定理可知：所以所以,所以△ABC的周長為.20．（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用向量的幾何意義和向量的數(shù)量積的運算計算即可.（2）利用向量共線定理，利用對應(yīng)系數(shù)相等即可求解.【詳解】（1）（2）設(shè)，，，解得.【點睛】本題考查了向量的幾何意義、向量的數(shù)量積以及向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.21．（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由已知AD//BC，故或其補角即為異面直線AP與BC所成的角，然后在Rt△PDA中求解即可；（Ⅱ）因為AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC；（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角，且為直線DF和平面PBC所成的角，然后在Rt△DPF中求解即可.【詳解】解：（Ⅰ）如圖，由已知AD//BC，故或其補角即為異面直線AP與BC所成的角.因為AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.（Ⅱ）證明：因為AD⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因為BC//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.（Ⅲ）過點D作AB的平行線交BC于點F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因為PD⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角.由于AD//BC，DF/