北京市順義區(qū)2023-2024學年高一上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市順義區(qū)2023-2024學年高一上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為集合，，所以.故選：A.2.函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】令，得，即函數(shù)的定義域為.故選：C.3.命題“，使得”的否定為（）A.， B.，都有C.， D.，都有【答案】D【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題可得：命題“，使得”的否定為，都有.故選：D.4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A：函數(shù)在上單調(diào)遞減；對于B：函數(shù)在上單調(diào)遞減；對于C：函數(shù)在上單調(diào)遞減；對于D：函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：D.5.已知，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，所以.故選：A.6.已知是任意實數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，當時，，故A錯誤；因為，所以，所以，故B正確；對于C，當時，，故C錯誤；對于D，當時，，故D錯誤.故選：B.7.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】函數(shù)的對稱軸為，當函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，有，因此“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.8.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬.專家發(fā)現(xiàn)兩歲燕子的飛行速度v（單位：）可以表示為，其中Q表示燕子耗氧量的單位數(shù).某只兩歲燕子耗氧量的單位數(shù)為時的飛行速度為，耗氧量的單位數(shù)為時的飛行速度為，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以.故選：D.9.已知函數(shù)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方程有兩個不相等的實數(shù)根，即有兩個不相等的實數(shù)根，又，當時，都是單調(diào)增函數(shù)，故也是單調(diào)增函數(shù)；當時，都是單調(diào)增函數(shù)，故也是單調(diào)增函數(shù)；則有兩個不相等的實數(shù)根，也即的圖象有兩個不同的交點；在直角坐標系中，作出的圖象如下所示：數(shù)形結合可知，要滿足題意，則.故選：B.10.懸鏈線指的是一種曲線，如鐵塔之間懸垂的電線，橫跨深澗的觀光索道的電纜等等，這些現(xiàn)象中都有相似的曲線形態(tài)，這些曲線在數(shù)學上被稱為懸鏈線，懸鏈線的方程為，其中c為參數(shù)，當時，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們有雙曲正弦函數(shù)，下列說法錯誤的是（）A. B.函數(shù)的值域C.，恒成立 D.方程有且只有一個實根【答案】C【解析】對于A，，故A正確；對于B，，因為，所以，所以，所以，所以函數(shù)的值域，故B正確；對于C，因為，即，故C錯誤；對于D，，令，函數(shù)為增函數(shù)，且，而函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，令，因為函數(shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，又，所以函數(shù)有唯一零點，且在上，即方程有且只有一個實根，故D正確.故選：C.二、填空題：共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.11.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么________.【答案】【解析】將點代入得，所以，所以.故答案為：.12.若圓心角為的扇形的弧長為，則該扇形面積為________.【答案】【解析】由已知得扇形的半徑為，所以該扇形面積為.故答案為：.13.已知函數(shù)，則當________時，函數(shù)取到最大值且最大值為________.【答案】【解析】因為，所以，當且僅當時，即時等號成立.故答案為：.14.若點關于x軸的對稱點為，則角α的一個取值為________.【答案】（答案不唯一）【解析】因為點關于x軸的對稱點為，所以有，由可得：，由可得：或，顯然無實數(shù)解，由，于是當時，即，符合題意.故答案為：（答案不唯一）.15.如圖，函數(shù)的圖象為折線，函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足，且當時，，給出下列四個結論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個零點；③；④不等式的解集.其中正確結論的序號是_____________.【答案】①③④【解析】因為函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，所以，故，即，故①正確；又，所以，所以，即，所以函數(shù)周期為，由圖象可知，所以，由周期知，，故函數(shù)內(nèi)有共5個零點，故②錯誤；因為，，，由圖象可知，，，又，所以，故③正確；由圖象，利用待定系數(shù)法可知，在同一坐標系下，作出，的圖象如下，由圖易知，，所以結合圖象知不等式的解集，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題共6道題，共85分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知不等式的解集為A，非空集合.（1）求集合A；（2）當時，求；（3）若，求實數(shù)m的取值范圍.解：（1）由.（2）當時，，所以.（3）因為，，所以有，因此實數(shù)m的取值范圍為.17.在平面直角坐標系中，角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于第三象限點.（1）求的值；（2）若角的終邊繞原點按逆時針方向旋轉，與單位圓交于點，求點的坐標.解：（1）由三角函數(shù)的定義可得，所以.（2）角的終邊繞原點O按逆時針方向旋轉，得到角，則，，所以點Q的坐標為.18.已知且的范圍是________.從①，②，③，④，這四個選項中選擇一個你認為恰當?shù)倪x項填在上面的橫線上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問題：（1）求，的值；（2）化簡求值：.解：（1）已知，故為第二，三象限的角，則①④不能選擇，選擇②：，，所以，.選擇③：，，所以，.（2），選擇②：.選擇③：.19.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).（1）求實數(shù)a的值：（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若有兩個零點，請寫出k的范圍（直接寫出結論即可）.解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，解可得.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減；證明：任取，，且，則，又由，，且，則，，，，則有，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．（3）因為有兩個零點，所以方程有兩個不等實根，即有兩個不等的實根，任取，，且，由（2）知，因為，，，，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以圖象關于原點成中心對稱，又，，時，，作出圖象如圖：所以當且時，與有兩個不同交點，即有兩個不等實根，故k的范圍為.20.美國對中國芯片的技術封鎖，激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的A，B兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金2億元，現(xiàn)在準備投入資金進行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預測，生產(chǎn)A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1億元，公司獲得毛收入0.25億元；生產(chǎn)芯片的毛收入（億元）與投入的資金（億元）的函數(shù)關系為，其圖象如圖所示：（1）試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入(億元)與投入資金(億元)的函數(shù)關系式.（2）如果公司只生產(chǎn)一種芯片，那么生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？（3）現(xiàn)在公司準備投入40億元資金同時生產(chǎn)兩種芯片，設投入億元生產(chǎn)芯片，用表示公司所獲凈利潤，當為多少時，可以獲得最大凈利潤？并求出最大凈利潤.（凈利潤芯片毛收入芯片毛收入一研發(fā)耗費資金）解：（1）設投入資金億元，則生產(chǎn)A芯片的毛收入，將代入，得，解得，生產(chǎn)B芯片的毛收入.（2）由，得；由，得；由，得，當投入資金大于16億元時，生產(chǎn)芯片的毛收入更大；當投入資金等于16億元時，生產(chǎn)芯片的毛收入相等；當投入資金小于16億元時，生產(chǎn)B芯片的毛收入更大.（3）由題意知投入億元生產(chǎn)芯片，則投入億元資金生產(chǎn)A芯片，公司所獲凈利潤，令，則，，故當，即億時，公司所獲凈利潤最大，最大凈利潤為9億元.21.對于定義域為I的函數(shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)，的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的一個“優(yōu)美區(qū)間”.（1）判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“優(yōu)美區(qū)間”?（直接寫出結論，不要求證明）（2）如果函數(shù)在R上存在“優(yōu)美區(qū)間”，求實數(shù)a的取值范圍.解：（1），在上單調(diào)遞增，由得或1，所以存在