河南省信陽市羅山縣2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽市羅山縣2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以．故選：B．2.設(shè)，則“”關(guān)于的方程“有實數(shù)根”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時，，此時有實數(shù)根；當(dāng)有實數(shù)根時，，即.故選：A.3.下列函數(shù)中，值域為的偶函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，因為的定義域為，所以此函數(shù)不是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，即的值域為，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，，顯然值域不為，故C錯誤；對于D，因為的定義域為，且，又，所以是值域為的偶函數(shù)，故D正確.故選：D.4.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對于A，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故A錯誤；對于B，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，相符，故B正確；對于C，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故C錯誤；對于D，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故D錯誤.故選：B.5.已知函數(shù)，則的解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，可得，所以，因此的解析式為.故選：D.6.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由是上的增函數(shù)，得，解得．所以實數(shù)的取值范圍為．故選：C.7.設(shè)正實數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由正實數(shù)，，滿足，．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即的最大值是1．故選：D.8.已知函數(shù)，若不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為不等式的解集為，所以的兩實數(shù)根分別為和，所以解得所以．令，解得或；令，解得．由，可得或即或則所求解集為．故選：D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的有（）A.命題“，”的否定是“，”B.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件C.命題“”的否定是“，”D.“且”是“且”的充分不必要條件【答案】BCD【解析】對于A，命題“，”為全稱量詞命題，所以其否定是“，”，故A錯誤；對于B，由為的真子集得為的真子集，則“”可以推導(dǎo)出“”，但“”不能推導(dǎo)出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對于C，“”的否定是“，x2>x”，故C正確對于D，由“且”可推導(dǎo)出“且”，而對于“且”，取，不滿足“且”，所以“且”是“且”的充分不必要條件，故D正確．故選：BCD．10.若，，且，下列結(jié)論中正確的有（）A.的最大值是 B.的最大值是C.的最小值是8 D.的最小值是【答案】ABD【解析】由題意，得，，且，對于A，由，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，則的最大值為，故A正確；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以的最大值為，故B正確；對于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值是9，故C錯誤；對于D，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，則的最小值是，故D正確．故選：ABD．11.設(shè)函數(shù)的定義域為，對于任意給定的正數(shù)，定義函數(shù)，則稱為的“界函數(shù)”.若函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.的值域為C.在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)為偶函數(shù)【答案】BCD【解析】根據(jù)題意，由，解得，，所以，故A錯誤；當(dāng)時，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，所以，即的值域為，故B、C正確；因為，則的圖象如下所示：由圖可知的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.為了提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)校舉辦了數(shù)學(xué)、物理兩科競賽.高一年級(包括銜接班)共260名同學(xué)參加比賽，其中兩科都取得優(yōu)秀的有80人，數(shù)學(xué)取得優(yōu)秀但物理未取得優(yōu)秀的有40人，物理取得優(yōu)秀而數(shù)學(xué)未取得優(yōu)秀的有120人，則兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為_______.【答案】20【解析】如圖所示：設(shè)兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為，則，所以兩科均未取得優(yōu)秀的人數(shù)為20人.13.已知冪函數(shù)的圖象過點，若，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】【解析】由冪函數(shù)的圖象過點，得，解得，則，定義域為．由可得偶函數(shù)．由冪函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減．所以等價于，等價于，解得或．所以實數(shù)的取值范圍是．14.已知函數(shù)，存在直線與的圖象有4個交點，則___，若存在實數(shù)，滿足，則的取值范圍是__________．【答案】1【解析】當(dāng)時，令，解得或；令，解得；故可作出的圖象，如圖：由圖可知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以若存在直線與的圖象有4個交點時，如圖：當(dāng)時，直線與的圖象有4個交點；若存在實數(shù)，滿足，如圖：可知當(dāng)時，存在實數(shù)，滿足，令，解得，則可得；因為關(guān)于對稱，；同理關(guān)于對稱，；所以，又因為，所以，所以的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）在①，②，③三個條件中任選一個，作為下面問題的條件，并解答．問題：當(dāng)集合滿足_________時，求實數(shù)的取值范圍．（2）若，求實數(shù)的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答給分．解：（1）選擇①，由可得，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得．綜上，實數(shù)的取值范圍為．選擇②，由可得，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得．綜上，實數(shù)的取值范圍為．選擇③，由可得．當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，綜上，實數(shù)取值范圍為.（2）當(dāng)時，由，解得，符合題意，當(dāng)時，或，解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為．16.已知命題“，方程有實根”是真命題.（1）求實數(shù)m的取值集合A；（2）關(guān)于x的不等式組的解集為B，若“”是“”的充分不必要條件，求a的取值范圍.解：（1）因為命題“，方程有實根”是真命題，所以方程有實根，則有，解得，所以實數(shù)m的取值集合.（2）若“”是“”的充分不必要條件，則是的真子集，當(dāng)即時，不等式組無解，所以，滿足題意；當(dāng)即時，不等式組的解集為，由題意是的真子集，所以，所以.綜上，滿足題意的a的取值范圍是或.17.已知．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（3）若對任意的，都有，求實數(shù)的最小值．解：（1）因為，①所以，②聯(lián)立①2-②得．（2）函數(shù)是奇函數(shù)．因為函數(shù)的定義域為，且滿足，所以是奇函數(shù).（3）當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以．易知當(dāng)時，，且．由（2）知，是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)．所以當(dāng)時，,所以函數(shù)的值域為，即，．因為對任意的都有，所以．所以的最小值是．18.某企業(yè)積極響應(yīng)國家垃圾分類號召，在科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)創(chuàng)新，把廚余垃圾加工處理為可重新利用的化工品，已知該企業(yè)日加工處理量x（噸）最少為70噸，最多為120噸，日加工處理總成本y（元）與日加工處理量x之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為，且每加工處理1噸廚余垃圾得到的化工產(chǎn)品的售價為100元.（1）該企業(yè)日加工處理量為多少噸時，日加工處理每噸廚余垃圾的平均成本最低？此時該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損還是盈利狀態(tài)？（平均成本=）（2）為了該企業(yè)可持續(xù)發(fā)展，政府決定對該企業(yè)進(jìn)行財政補貼，補貼方式有兩種方案方案一：每日進(jìn)行定額財政補貼，金額為2300元；方案二：根據(jù)日加工處理量進(jìn)行財政補貼，金額為40x元.如果你是企業(yè)的決策者，為了獲得每日最大利潤，你會選擇哪個方案進(jìn)行補貼？為什么？.解：（1）由題意可知，每噸廚余垃圾平均加工成本為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，每噸廚余垃圾的平均加工成本最低，因為，所以此時該企業(yè)處理1噸廚余垃圾處于虧損狀態(tài).（2）若該企業(yè)采用補貼方式①，設(shè)該企業(yè)每日獲利為，，因為，所以當(dāng)噸時，企業(yè)獲得最大利潤，為850元.若該企業(yè)采用補貼方式②，設(shè)該企業(yè)每日獲利為，，因為，所以當(dāng)噸時，企業(yè)獲得最大利潤，為1800元.結(jié)論：選擇方案一，當(dāng)日加工處理量為70噸時，可以獲得最大利潤850元；選擇方案二，當(dāng)日加工處理量為100噸時，獲得最大利潤1800元；所以選擇方案二進(jìn)行補貼.19.已知二次函數(shù)滿足，且．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，當(dāng)時，不等式有解，求實數(shù)取值范圍；（3）當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的圖象下方，求實數(shù)的取