河南省駐馬店市部分學校2024屆高三上學期期末聯考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1河南省駐馬店市部分學校2024屆高三上學期期末聯考數學試題一?選擇題1.復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由題意知，所以該復數在復平面內對應的點為，該點在第二象限．故B正確.故選：B.2.若集合，則集合的子集的個數為（）A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【解析】，所以集合A的子集的個數為4．故選：C.3.雙曲線的上頂點到其一條漸近線的距離為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】因為雙曲線的上頂點為，漸近線方程為，所以雙曲線的上頂點到其一條漸近線的距離為.故選：A.4.已知，則（）A. B.C D.【答案】D【解析】，故．故選：D.5.用2個0，2個1和1個2組成一個五位數，則這樣的五位數有（）A.8個 B.12個 C.18個 D.24個【答案】C【解析】當首位為2時，這樣的五位數有個；當首位為1時，這樣的五位數有個.綜上，這樣的五位數共有個.故選：C.6.若點是圓:上一點,則最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】圓:可化為表示點到點的距離的平方,因為，所以的最小值為.故選：B.7.某圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，在該圓錐中內接一個圓柱，則該圓柱的側面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意作圖如下：由題設可知該圓錐的高．設在該圓錐中內接一個高為的圓柱，該圓柱的底面半徑為，由，則，即，所以，故該圓柱的側面積，當時，側面積取得最大值．故選：C.8.已知是拋物線上的一點，直線，過點作與的夾角為的直線，交于點.設為點到軸的距離，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設為拋物線的焦點，由拋物線的定義得.設點到直線的距離為，如圖，過作，垂足為，過點作與的夾角為的直線，交于點，在中，，則，所以，，又的最小值為點到的距離，即的最小值為，所以的最小值為.故選：B.二?多選題9.已知，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對A、B：因為，所以，當且僅當時，等號成立，故A正確，B錯誤；對C：若，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，故C正確.對D：若，則，所以，由及，可知，則當，即時，，故D正確.故選:ACD．10.古希臘數學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示．下列結果等于黃金分割率的值的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】，故A正確；故B正確；，故C錯誤；．故D錯誤；故選：AB11.已知函數，且對恒成立，則（）A.B.的圖象關于點對稱C.若方程在上有2個實數解，則D.的圖象與直線恰有5個交點【答案】BCD【解析】對于A，因為對恒成立，所以的圖象關于直線對稱，則，即，解得，故A錯誤；對于B，，所以的圖象關于點對稱，故B正確；對于C，當時，，因為在上有2個實數解，所以，解得，故C正確；對于D，直線經過點與，而與分別是函數的零點與其圖象的最高點，如圖所示：結合圖象可知的圖象與直線恰有5個交點，故D正確.故選：BCD．12.在邊長為1的正方體中，動點滿足．下列說法正確的是（）A.四面體的體積為B.若，則的軌跡長度為C.異面直線與所成角的余弦值的最大值為D.有且僅有三個點，使得【答案】AC【解析】如圖所示，連接，由，可得點的軌跡在內（包括邊界）．因為平面平面，所以，故A正確．易知平面，設與平面相交于點．由于，則點到平面的距離為．若，則，即點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，如圖所示，在中，，，設，由余弦定理得，解得，則，所以的軌跡長度為，故B錯誤．因為，所以為異面直線與所成的角，則，所以，故C正確．由三垂線定理可知，又平面，要使得，則點在以為直徑的圓上，所以存在無數個點，使得，故D錯誤．故選：AC.三?填空題13.已知是等比數列的前項和，，則__________．【答案】【解析】設等比數列的公比為，則，由，可得，即，所以．故答案為：14.某學校組織學生參加數學測試，成績的頻率分布直方圖如下，數據的分組依次是，則可估計這次數學測試成績的第40百分位數是_________．【答案】65【解析】成績在的頻率是，成績在的頻率為，所以第40百分位數一定在內，所以這次數學測試成績的第40百分位數是，故答案為：6515.若為坐標原點，過點的直線與函數的圖象交于兩點，則__________．【答案】4【解析】因為，所以是函數圖象的對稱中心，則為線段的中點，可得，則．故答案為：4.16.關于的方程有3個不等實數根，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】由，可得．令，則，因為，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又當趨于時，趨于0，當趨于時，趨于，當時，，故可作的草圖如圖，記方程的兩根為，，易知，若是方程的根，則，不滿足題意.因為方程有3個不等實數根，所以，或，當時，得，所以，即異號，不滿足題意；當時，則有，得．故的取值范圍為．故答案為：四?解答題17.在中，為邊上一點．（1）若，求的面積；（2）若，求．解：（1）由余弦定理得，即，解得，所以的面積為．（2）因為，所以，所以．18.在直四棱柱中，，，．（1）證明：平面平面．（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由題意可知底面，因為底面，所以．在梯形中，，，可得，又，所以，又，由余弦定理可得，所以，故．因為，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：由題意底面，底面，所以，又因為，，所以，所以兩兩互相垂直，以為原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，，．所以．取為平面的一個法向量．設平面法向量為，則，得取，則，得，所以．故平面與平面夾角的余弦值為．19.一只螞蟻位于數軸處，這只螞蟻每隔一秒鐘向左或向右移動一個單位長度，設它向右移動的概率為，向左移動的概率為.（1）已知螞蟻2秒后所在位置對應的實數為非負數，求2秒后這只螞蟻在處的概率；（2）記螞蟻4秒后所在位置對應實數為，求的分布列與期望.解：（1）記螞蟻2秒后所在位置對應的實數為非負數為事件，記2秒后這只螞蟻在處的概率為事件，則故所求的概率為.（2）由題意知可能的取值為，則，則的分布列為02420.已知數列滿足．（1）若為等差數列，求的通項公式；（2）記的前項和為，不等式對恒成立，求的取值范圍．解：（1）因為，所以，兩式相減得．因為為等差數列，所以的公差．又，所以，解得，則，即的通項公式為．（2）由（1）得，所以不等式可化為，當為奇數時，，則，即，當為偶數時，，則．綜上，的取值范圍為．21.已知橢圓的上?下頂點分別是，點（異于兩點）在橢圓上，直線與的斜率之積為，橢圓的長軸長為6．（1）求的標準方程；（2）已知，直線與橢圓的另一個交點為，且直線與相交于點，證明：點在定直線上．（1）解：由題意可得，設，則，所以．因為點在橢圓上，所以，所以，則．因為，所以，故橢圓的標準方程為．（2）證明：設，顯然直線不垂直于軸，設直線的方程為．由消去得．因為點在橢圓的內部，所以．設直線的方程為，直線的方程為，所以．由（1）知，可得因此，即點在直線上．22.已知，，是關于x的方程的三個不同的根，且.（