山東省臨沂市2025屆高三上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省臨沂市2025屆高三上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，解得，所以，又，所以，故選：D.2.已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，顯然，但是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤3.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn)，記，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在中，點(diǎn)E為線段CD的中點(diǎn)，所以.故選：C4.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，且，，由不等式，得或，所以不等式的解集是.故選：B5.已知，，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】①，由，則，即②，聯(lián)立①②解得，，所以.故選：D.6.“”是“不等式在上恒成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】不等式在上恒成立，即在上恒成立，其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，由于，，故是不等式在上恒成立的必要不充分條件.故選：B7.已知函數(shù)（）與函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則的值可能是（）A.2 B.4 C.5 D.8【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋c(diǎn)是其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，令函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)?，，因此函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)（）與函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，而點(diǎn)是它們的一個(gè)交點(diǎn)，于是兩個(gè)函數(shù)圖象在區(qū)間內(nèi)的交點(diǎn)共有奇數(shù)個(gè)，則為奇數(shù)，，所以的值可能是5.故選：C8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，（），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，，，所以，，，，，，，所以，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知z為復(fù)數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】設(shè)，，故，即，故，解得或，若，則，，所以，，，，，若，則，，則，，，，，綜上，BC錯(cuò)誤，AD正確.故選：AD10.已知，則（）A.有三個(gè)零點(diǎn) B.C.當(dāng)時(shí)， D.曲線y=fx存在兩條過點(diǎn)的切線【答案】BCD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，易知，因?yàn)椋瑒t，由，得到或，由，得到，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，又時(shí)，，，，時(shí)，，其圖象如圖，由圖知，只有個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，若點(diǎn)為切點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，切線斜率為，此時(shí)切線方程為，即，若點(diǎn)不為切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，由題有，即，整理得，即，解得或（舍），所以切點(diǎn)為，切線方程為，故曲線存在兩條過點(diǎn)的切線，所以選項(xiàng)D正確，故選：BCD11.定義“01數(shù)列”如下：①，；②共有項(xiàng)（，），其中項(xiàng)為0，項(xiàng)為1，且對(duì)任意的，，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).記“01數(shù)列”的個(gè)數(shù)為，則（）A.B.C.D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)橹?的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，所以“01數(shù)列”是01010,01001,00110,00011,00101，則個(gè)數(shù)為5個(gè)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，由題意知，，可以表示01010011,01010101,01001101,01001011,01000111,00110011,00110101,00101011,00100111,00011101,00001111，，則，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，理由同選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以不存在，則，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，可以分類以0結(jié)尾和以1結(jié)尾前者為，確定末尾為0，則少個(gè)0，個(gè)0與個(gè)1進(jìn)行組合，后者對(duì)應(yīng)，確定末尾為1，則少個(gè)1，前面?zhèn)€0與個(gè)1進(jìn)行組合，因此，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則的值為__________.【答案】4047【解析】數(shù)列中，，所以.13.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)：_________________.對(duì)任意，，①若，；②；③.【答案】（答案不唯一，均可）【解析】由②，可選函數(shù)為冪函數(shù)；由①知，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；由③知，是上凸函數(shù)，取函數(shù)，其定義域?yàn)?，且上單調(diào)遞增，滿足①；，滿足②；，滿足③.故答案為：14.已知關(guān)于x的方程有解，則的最小值為__________.【答案】【解析】由，其中，則，可得，即，兩邊平方化簡可得，因此，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)（，）圖象的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，與之相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為.（1）求的解析式；（2）若，求的最小值，解：（1）因?yàn)閳D象的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為，與之相鄰的一個(gè)對(duì)稱中心的坐標(biāo)為，易知，，又，得到，所以，又由，得到，又，所以，所以的解析式為.（2）由（1）知，由，得到，所以或，即或，又，和的圖象如圖，由圖知，的最小值為.16.已知等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，求證：.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，則，解得，由數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則.（2）由數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比等比數(shù)列，則，，所以，由在上恒成立，即，且在上單調(diào)遞減，則，即，所以.17.在中，已知內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，.（1）求；（2）若，求的面積.解：（1）在中，由及正弦定理得，而，則，又，因此，，由，得，即，又，且，所以.（2）由（1）及正弦定理，得，又，所以的面積.18.已知函數(shù).（1）求的導(dǎo)函數(shù)的極值；（2）不等式對(duì)任意恒成立，求k的取值范圍；（3）對(duì)任意，直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍.解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以的定義域?yàn)榱?，則，注意到為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),，單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí),有極小值2，無極大值.（2）由題意可知對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，設(shè)，則設(shè)，則因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以則在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.（3）由題意可知有唯一解，設(shè)注意到，當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),所以至少有一個(gè)解.因?yàn)橛形ㄒ唤?，所以有唯一解，設(shè)，因?yàn)?，所以為單調(diào)函數(shù)，則恒成立，設(shè)，則恒成立,則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，注意到所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增；故只需即可，所以19.已知集合，其中，.對(duì)于集合A的n（，）元子集B，若B中不存在三個(gè)元素構(gòu)成等差數(shù)列，則稱集合B為集合A的“缺等差子集”（1）當(dāng)時(shí)，寫出集合A包含元素1和2的“缺等差子集”；（2）當(dāng)時(shí)，求集合A的“缺等差子集”元素個(gè)數(shù)的最大值；（3）當(dāng)，且時(shí)，是否存在滿足的集合A的“缺等差子集”，請(qǐng)說明理由.解：（1），集合A包含元素1和2的“缺等差子集”分別為；（2）考慮集合，記的“缺等差子集”為，元素個(gè)數(shù)為，因?yàn)椤叭钡炔钭蛹敝胁荒艹霈F(xiàn)連續(xù)的三個(gè)數(shù)，所以集合與中至少有一個(gè)數(shù)不在任何一個(gè)“缺等差子集”中，所以，若，因?yàn)榕c中有且只有兩個(gè)元素屬于，故，對(duì)于，顯然2和3不全在中，故或，若，則且，矛盾；若，則且，矛盾；若，當(dāng)時(shí)，符合，即的最大值為4，同理的“缺等差子集”中元素個(gè)數(shù)最大為4，所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)于集合，其“缺等差子集”元素個(gè)數(shù)不超過8，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，符合題意，故集合的“缺等差子集”元素個(gè)數(shù)的最大值為8；（3）存在，理由如下：對(duì)于，記，由（1）（2）可知，，，，，在此基礎(chǔ)上，當(dāng)時(shí)，，，滿足題目要求，下面證明對(duì)每一個(gè)，，若已經(jīng)構(gòu)造出元素個(gè)數(shù)為的“缺等差子集”，則可用添項(xiàng)的方法來構(gòu)造新的和“缺等差子集”，使得的元素個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，是新的“缺等差子集”，且滿足，①首先證明是的子集，即，考慮中的最大項(xiàng)，則，所以中的最大項(xiàng)，所以，于是，都有，所以；②證明是“缺等差子集”，即，，都有，若，由題意可知