山東省日照市2024屆高三上學(xué)期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省日照市2024屆高三上學(xué)期期末校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故選:A.2.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為,,所以,則.故選：A.3.若無窮等差數(shù)列的公差為，則“”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】等差數(shù)列的通項公式，當(dāng)時，，，真命題，即充分行成立；若，則，但，所以，當(dāng)，時，假命題，必要性不成立.故選：A.4.實數(shù)滿足，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，得，即，所以；由，得，因為，所以，即；綜上，.故選：D.5.在平行四邊形ABCD中，，則（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】在平行四邊形ABCD中，如圖所示：因為，所以是的中點，即，，,因為，所以，因此，.故選：A.6.設(shè)A，B為兩個事件，已知，，，則（）A.0.3 B.0.4C.0.5 D.0.6【答案】B【解析】根據(jù)題意，，則，則，解可得：．故選：B．7.如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸AC為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線AB展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖像的一部分，且其對應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)圖像的一部分，可得，且，所以圓柱的底面直徑，設(shè)橢圓長軸長為2a，短軸長為2b，因為離心率為，可得，所以，由勾股定理得，解得.故選：A.8.設(shè)體積相等的正方體、正四面體和球的表面積分別為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令正方體、正四面體和球的體積為1，設(shè)正方體的棱長為，則，解得，表面積，設(shè)正四面體的棱長為，則正四面體底面正三角形的外接圓半徑，正四面體的高，體積，解得，表面積，設(shè)球半徑為，則，解得，表面積，所以.故選：C.二?多項選擇題9.設(shè)為復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），下列命題正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】對于A選項，若，則，A對；對于B選項，若，不妨取，則，但，B錯；對于C選項，若，則，故，C對；對于D選項，若，則，解得，D錯.故選：AC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于對稱C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于對稱D.函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】由圖可知：,且,故，，故，，，故A正確；當(dāng)時，，故B錯誤；當(dāng)時，，故C正確；當(dāng)時，，故D正確.故選：ACD11.數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn)，如果隨機變量服從二項分布，那么當(dāng)比較大時，近似服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為.任意正態(tài)分布，可通過變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.當(dāng)時，對任意實數(shù)，記，則（）A.B.當(dāng)時，C.隨機變量，當(dāng)減小，增大時，概率保持不變D.隨機變量，當(dāng)都增大時，概率增大【答案】BC【解析】對于A，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可得：，即，故A不正確；對于B,當(dāng)時，，故B正確；對于C，D，根據(jù)正態(tài)分布的準(zhǔn)則，在正態(tài)分布中代表標(biāo)準(zhǔn)差，代表均值,即為圖象的對稱軸，根據(jù)原則可知數(shù)值分布在的概率是常數(shù)，故由可知，C正確，D錯誤，故選：BC.12.在平面四邊形中，點為動點，的面積是面積的3倍，又?jǐn)?shù)列滿足，恒有，設(shè)的前項和為，則（）A.為等比數(shù)列 B.C.為等差數(shù)列 D.【答案】BCD【解析】設(shè)交于E點，則，即，故，由于三點共線，故存在實數(shù)，使得，即得，故，整理得，即，則，即而，故為首項是，公差為的等差數(shù)列，C正確；則，故，故，B正確；又常數(shù)，故不為等比數(shù)列，A錯誤；，故，則，故，D正確，故選：BCD三?填空題13.的展開式中的系數(shù)是___________.【答案】40【解析】因為，所以的展開式中的系數(shù)是40.故答案為：4014.已知雙曲線的一條漸近線為，則的離心率為__________.【答案】【解析】設(shè)的半焦距為，由題意知，所以，故答案為：.15.已知平面截一球面得圓，過圓心且與成二面角的平面截該球面得圓.若該球面的半徑為4，圓的面積為，則圓的面積為______【答案】【解析】如圖所示，由圓的面積為知球心到圓的距離，在中，，∴，故圓半徑，∴圓的面積為.故答案為：16.已知函數(shù)的圖象上存在三個不同的點，使得曲線在三點處的切線重合，則此切線的方程為_______.（寫出符合要求的一條切線即可）【答案】（或）【解析】設(shè)存在三個不同點在曲線上，則，且互不相同，由題可得，，故在的切線方程分別為：，，，根據(jù)題意可得由①可知，，由②，令，則，即，平方可得，，即，由于互不相同，則，則可得，故，則，由此可得其切線方程為：，故答案為：（或）四?解答題17.記的三個內(nèi)角分別為，，.其對邊分別為，，,若，的面積為.（1）求；（2）若，求.解：（1）由余弦定理知：在中，，，即又，即.（2）由（1）知，則角為銳角.，.由正弦定理知：，則，..又，，.18.已知個正數(shù)排成行列，表示第行第列的數(shù)，其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且公比都為.已知.（1）求公比；（2）記第行的數(shù)所成的等差數(shù)列的公差為，把所構(gòu)成的數(shù)列記作數(shù)列，求數(shù)列的前項和.解：（1）由題意知成等差數(shù)列，其公差為，，又成等比數(shù)列，且，公比，由于，故；（2）結(jié)合（1）問，由，公差為，所以，而，故，所以；又，所以，由于為等差數(shù)列，公差為，所以，即，所以.19.隨著時代的不斷發(fā)展，社會對高素質(zhì)人才的需求不斷擴大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2021年的考研人數(shù)是377萬人，2022年考研人數(shù)是457萬人.某省統(tǒng)計了該省其中四所大學(xué)2023年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：

A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)2023年畢業(yè)人數(shù)（千人）87542023年考研人數(shù)（千人）0.60.40.30.3（1）已知與具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）假設(shè)該省對選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.6萬元的補貼，若大學(xué)的畢業(yè)生中小江?小沈選擇考研的概率分別為，該省對小江?小沈兩人的考研補貼總金額的期望不超過0.75萬元，求的取值范圍.參考公式：.解：（1）由題意得，又，，，，所以，故得關(guān)于的線性回歸方程為；（2）設(shè)小江?小沈兩人中選擇考研的人數(shù)為，則的所有可能值為，，，，，則，可得，又因為，可得，故.20.如圖，在直角梯形中，.現(xiàn)將沿對角線翻折到，使平面平面.若平面平面，平面平面，直線與確定的平面為平面.（1）證明：；（2）求平面與平面所成角余弦值.（1）證明：在直角梯形中，因為，又平面平面，所以平面，因為平面，平面平面，且平面，所以.（2）解：設(shè)，連接，則直線為直線，由（1）知，由題意知，取的中點，連接，則因為平面平面，平面平面所以平面取的中點，連接，則四邊形為正方形，連接，則所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則所以，取，得設(shè)平面的法向量為，則所以，取，得所以.所以平面與平面所成角的余弦值為.21.已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間上存在唯一零點，求證：.（1）解：由題意知，，令，得，又因為，則，，①當(dāng)時，有，此時，所以此時在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，有，令得：，所以在和上單調(diào)遞增，令得：，所以在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，有，令得：，所以在和上單調(diào)遞增，令得：，所以在上單調(diào)遞減.綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）解：由題意知在區(qū)間上存在唯一零點，即存在唯一的，使得，即得，若要證明，則只需證明，即只需證明即可，不妨設(shè)，則，令，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時，有不等式成立，綜上所述：若在區(qū)間上存在唯一零點，則.22.已知橢圓，其上焦點與拋物線的焦點重合.若過點的直線交橢圓于點，同時交拋物線于點（如圖1所示，點在橢圓與拋物線第一象限交點下方）.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并證明；（2）過點與直線垂直的直線交拋物線于點（如圖2所示），試求四邊形面積的最小值.解：（1）設(shè)拋物線的方程為，由橢圓得：，則，故拋物線的焦點