九年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練(滬科版)-第05講反比例函數(shù)(9種題型)(原卷版)_第1頁
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第05講反比例函數(shù)(9種題型)【知識梳理】一.反比例函數(shù)的定義(1)反比例函數(shù)的概念形如y=(k為常數(shù),k≠0)的函數(shù)稱為反比例函數(shù).其中x是自變量,y是函數(shù),自變量x的取值范圍是不等于0的一切實數(shù).(2)反比例函數(shù)的判斷判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù),首先看看兩個變量是否具有反比例關(guān)系,然后根據(jù)反比例函數(shù)的意義去判斷,其形式為y=(k為常數(shù),k≠0)或y=kx﹣1(k為常數(shù),k≠0).二.反比例函數(shù)的圖象用描點法畫反比例函數(shù)的圖象,步驟:列表﹣﹣﹣描點﹣﹣﹣連線.(1)列表取值時,x≠0,因為x=0函數(shù)無意義,為了使描出的點具有代表性,可以以“0”為中心,向兩邊對稱式取值,即正、負(fù)數(shù)各一半,且互為相反數(shù),這樣也便于求y值.(2)由于函數(shù)圖象的特征還不清楚,所以要盡量多取一些數(shù)值,多描一些點,這樣便于連線,使畫出的圖象更精確.(3)連線時要用平滑的曲線按照自變量從小到大的順序連接,切忌畫成折線.(4)由于x≠0,k≠0,所以y≠0,函數(shù)圖象永遠(yuǎn)不會與x軸、y軸相交,只是無限靠近兩坐標(biāo)軸.三.反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)的性質(zhì)(1)反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象是雙曲線;(2)當(dāng)k>0,雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減??;(3)當(dāng)k<0,雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大.注意:反比例函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒有交點.四.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義比例系數(shù)k的幾何意義在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點,過這一個點向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標(biāo)軸作垂線,這一點和垂足以及坐標(biāo)原點所構(gòu)成的三角形的面積是|k|,且保持不變.五.反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征反比例函數(shù)y=k/x(k為常數(shù),k≠0)的圖象是雙曲線,①圖象上的點(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即xy=k;②雙曲線是關(guān)于原點對稱的,兩個分支上的點也是關(guān)于原點對稱;③在y=k/x圖象中任取一點,過這一個點向x軸和y軸分別作垂線,與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|.六.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式要注意:(1)設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=(k為常數(shù),k≠0);(2)把已知條件(自變量與函數(shù)的對應(yīng)值)帶入解析式,得到待定系數(shù)的方程;(3)解方程,求出待定系數(shù);(4)寫出解析式.七.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo),把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解,若方程組有解則兩者有交點,方程組無解,則兩者無交點.(2)判斷正比例函數(shù)y=k1x和反比例函數(shù)y=在同一直角坐標(biāo)系中的交點個數(shù)可總結(jié)為:①當(dāng)k1與k2同號時,正比例函數(shù)y=k1x和反比例函數(shù)y=在同一直角坐標(biāo)系中有2個交點;②當(dāng)k1與k2異號時,正比例函數(shù)y=k1x和反比例函數(shù)y=在同一直角坐標(biāo)系中有0個交點.八.反比例函數(shù)的應(yīng)用(1)利用反比例函數(shù)解決實際問題①能把實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型.②注意在自變量和函數(shù)值的取值上的實際意義.③問題中出現(xiàn)的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化成相等的關(guān)系來解,然后在作答中說明.(2)跨學(xué)科的反比例函數(shù)應(yīng)用題要熟練掌握物理或化學(xué)學(xué)科中的一些具有反比例函數(shù)關(guān)系的公式.同時體會數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.(3)反比例函數(shù)中的圖表信息題正確的認(rèn)識圖象,找到關(guān)鍵的點,運(yùn)用好數(shù)形結(jié)合的思想.九.反比例函數(shù)綜合題(1)應(yīng)用類綜合題能夠從實際的問題中抽象出反比例函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型,是解決實際問題的關(guān)鍵一步,培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力和從實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力.在解決這些問題的時候我們還用到了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法和其他學(xué)科中的知識.(2)數(shù)形結(jié)合類綜合題利用圖象解決問題,從圖上獲取有用的信息,是解題的關(guān)鍵所在.已知點在圖象上,那么點一定滿足這個函數(shù)解析式,反過來如果這點滿足函數(shù)的解析式,那么這個點也一定在函數(shù)圖象上.還能利用圖象直接比較函數(shù)值或是自變量的大小.將數(shù)形結(jié)合在一起,是分析解決問題的一種好方法.【考點剖析】一.反比例函數(shù)的定義(共2小題)1.(2022秋?包河區(qū)期中)下面四個關(guān)系式中,y是x的反比例函數(shù)的是()A.y=3x+1 B.y=3x2 C. D.2.(2022秋?蜀山區(qū)校級月考)若函數(shù)是反比例函數(shù),則m的值是.二.反比例函數(shù)的圖象(共2小題)3.(2023?蜀山區(qū)校級一模)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,則反比例函數(shù)y=﹣與一次函數(shù)y=bx﹣c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是()A.B. C. D.4.(2023?南陵縣二模)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=bx+c和反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是()A. B. C. D.三.反比例函數(shù)的性質(zhì)(共5小題)5.(2023?無為市一模)下列關(guān)于反比例函數(shù)y=的描述中,正確的是()A.圖象在第二、四象限 B.當(dāng)x<0時,y隨x的增大而減小 C.點(﹣1,3)在反比例函數(shù)的圖象上 D.當(dāng)x<1時,y>36.(2022秋?宣城期末)反比例函數(shù)的圖象的一個分支在第二象限,則m的取值范圍是.7.(2022秋?池州期末)已知反比例函數(shù)y=的圖象在第一、三象限內(nèi),則k()A.k>2 B.k≥2 C.k<2 D.k≤28.(2023?合肥一模)下列函數(shù)中,當(dāng)x>0時,y隨x的增大而增大的是()A.y=﹣2x+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=﹣x2﹣1 D.9.(2023?蕪湖模擬)已知函數(shù),(k>0).當(dāng)1≤x≤3時,函數(shù)y1的最大值為a,函數(shù)y2的最小值為a﹣4,則k=.四.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義(共3小題)10.(2023?雨山區(qū)一模)如圖,點P為反比例函數(shù)y=上的一動點,作PD⊥x軸于點D,△POD的面積為k,則函數(shù)y=kx﹣1的圖象為()A. B. C. D.11.(2023?南譙區(qū)校級一模)在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)的部分圖象如圖所示,AB⊥y軸于點B,點P在x軸上,若△ABP的面積為2,則k的值為.12.(2023?杜集區(qū)校級模擬)如圖,兩個反比例函數(shù)y=和y=在第一象限內(nèi)的圖象依次是C1和C2,設(shè)點P在C1上,PC⊥x軸于點C,交C2于點A,PD⊥y軸于點D,交C2于點B,若四邊形PAOB的面積為5,則k=.五.反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征(共5小題)13.(2022秋?寧國市期末)反比例函數(shù)y=﹣圖象經(jīng)過的點是()A.(1,12) B.(﹣2,﹣6) C.(3,4) D.(﹣,24)14.(2023?安徽二模)已知兩點A(2m,p),B(m,q)都在反比例函數(shù)的圖象上,則下列結(jié)論成立的是()A.p=2q B.q=2p C.p=m D.q=2m15.(2023?蚌山區(qū)二模)已知點A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象上,x1<0<x2<x3,則y1,y2,y3的大小關(guān)系是.16.(2023?合肥模擬)如圖,在Rt△OAB中,∠A=90°,∠ABO=60°,點B的坐標(biāo)為(﹣2,0),若反比例函數(shù)y=經(jīng)過點A.則k=.?17.(2023?合肥模擬)如圖,矩形ABCD的頂點A在坐標(biāo)原點,點B和點D分別在x軸和y軸的正半軸上,點C位于第一象限,其中反比例函數(shù)的圖象與邊CB、CD分別交于點E、F,若AF=EF且AF⊥EF,則=.六.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式(共2小題)18.(2022秋?宣州區(qū)期末)已知反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(2,﹣3),則此函數(shù)的關(guān)系式是.19.(2023?合肥一模)如圖,矩形ABCD的兩個頂點A,B都在反比例函數(shù)的圖象上,AB經(jīng)過原點O,對角線AC垂直于x軸.垂足為E,已知點A的坐標(biāo)為(1,2).(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;(2)求矩形ABCD的面積.七.反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題(共6小題)20.(2023?碭山縣二模)若一次函數(shù)y=2x﹣5的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(1,m),則k的值為()A.﹣3 B. C. D.321.(2023?花山區(qū)二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x與反比例函數(shù)0)的圖象交于點A,將直線y=x沿y軸向上平移b個單位長度,交x軸于點C,交反比例函數(shù)圖象于點B,若BC=2OA,則b的值為()A.1.5 B.2 C.2.5 D.322.(2023?蜀山區(qū)二模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=x的圖象交于點A,反比例函數(shù)圖象上一點B繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°至點B',且AB′=OB′,如果△OAB′的面積是1,則k=.23.(2023?全椒縣一模)反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=x+m的圖象交于點C(a,1)和點D(b,4),一次函數(shù)y=x+m的圖象分別與x,y軸交于點A(﹣5,0)和點B.當(dāng)x<0時,不等式的解集為.24.(2023?宣州區(qū)三模)如圖,一次函數(shù)y=﹣x+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點,A點坐標(biāo)為(﹣2,3).(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;(2)已知M(m,0),若△ABM的面積為10,求m的值.25.(2023?合肥二模)如圖,一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A(1,4),B(n,﹣1).(1)求a,b,k的值;(2)觀察圖形,直接寫出不等式的解集;(3)延長BO交反比例函數(shù)圖形于點P,求△PAO的面積.八.反比例函數(shù)的應(yīng)用(共4小題)26.(2023?舒城縣二模)在壓力不變的情況下,某物體承受的壓強(qiáng)(單位:Pa)與它的受力面積(單位:m2)是反比例函數(shù)關(guān)系,平平記錄了幾次測量所得的數(shù)據(jù),由于疏忽,其中有一次記錄的數(shù)據(jù)有誤,觀察表格,有誤的那一次是()第1次第2次第3次第4次…受力面積(m2)0.10.20.30.4…壓強(qiáng)(Pa)1000500300250…A.第1次 B.第2次 C.第3次 D.第4次27.(2023?合肥一模)阿基米德說:“給我一個支點,我就能撬動整個地球”這句話精辟地闡明了一個重要的物理學(xué)知識——杠桿原理,即“阻力×阻力臂=動力×動力臂”.若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為1200N和0.5m,則這一杠桿的動力F和動力臂l之間的函數(shù)圖象大致是()A.B. C. D.28.(2023?安徽一模)如圖,將一長方體A放置于一水平玻璃桌面上,按不同的方式擺放,記錄桌面所受壓強(qiáng)p(Pa)與受力面積S(m2)的關(guān)系如表所示(與長方體A相同重量的長方體均滿足此關(guān)系).桌面所受壓強(qiáng)p(Pa)100200400800受力面積S(m2)210.50.25(1)根據(jù)如表數(shù)據(jù),求桌面所受壓強(qiáng)p(Pa)與受力面積S(m2)之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)現(xiàn)想將另一長、寬、高分別為0.2m,0.1m,0.3m,且與長方體相同重量的長方體按如圖所示的方式放置于該水平玻璃桌面上.若該玻璃桌面能承受的最大壓強(qiáng)為5000Pa,請你判斷這種擺放方式是否安全?并說明理由.29.(2022秋?宣城期末)學(xué)校下午放學(xué)時校門口的“堵塞”情況已成為社會熱點問題,某校對本校下午放學(xué)校門口“堵塞”情況做了一個調(diào)查發(fā)現(xiàn):每天放學(xué)時間2分鐘后校門外學(xué)生流量變化大致可以用“擁擠指數(shù)”y(%)與放學(xué)后時間x(分鐘)的函數(shù)關(guān)系描述.如圖,2~12分鐘呈二次函數(shù)狀態(tài),且在第12分鐘達(dá)到該函數(shù)最大值100,此后變化大致為反比例函數(shù)的圖象向右平移4個單位得到的曲線趨勢.若“擁擠指數(shù)”y≥36,校門外呈現(xiàn)“擁擠狀態(tài)”,需要志愿者維護(hù)秩序、疏導(dǎo)交通.(1)求該二次函數(shù)的解析式和k的值;(2)“擁擠狀態(tài)”持續(xù)的時間是否超過20分鐘?請說明理由.九.反比例函數(shù)綜合題(共2小題)30.(2023?蜀山區(qū)校級模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,菱形OABC的頂點A(5,0),C(﹣3,4),點B在反例函數(shù)的圖象上,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與雙曲線相交于B、D兩點,且D點的橫坐標(biāo)為﹣1.(1)求一次函數(shù)的解析式;(2)求△ABD的面積;(3)直接寫出的解集.31.(2023?蜀山區(qū)校級一模)如圖,已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)第一象限內(nèi)的圖象相交于點A(4,n),與x軸相交于點B.(1)求n和k的值;(2)如圖,以AB為邊作菱形ABCD,使點C在x軸正半軸上,點D在第一象限,雙曲線交CD于點E,連接AE、BE,求S△ABE.【過關(guān)檢測】一.選擇題(共10小題)1.(2023?定遠(yuǎn)縣校級模擬)已知正比例函數(shù)y=ax與反比例函數(shù)的圖象交于點A(m,n),則這個函數(shù)圖象的另一個交點為()A.(b,a) B.(﹣a,b) C.(m,﹣n) D.(﹣m,﹣n)2.(2023?渦陽縣二模)如圖,一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)圖象,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能是()A. B. C. D.3.(2023?安徽一模)已知一次函數(shù)y=kx+b,反比例函數(shù)y=(kb≠0),下列能同時正確描述這兩種函數(shù)大致圖象的是()A. B. C. D.4.(2023?亳州模擬)如圖,已知點A為反比例函數(shù)y=(k≠0,x<0)的圖象上一點,過點A作AB⊥y軸,垂足為B,若△OAB的面積為1,則k的值為()A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣25.(2023?阜陽三模)如圖,點A、C為反比例函數(shù)(k≠0)圖象上的點,過點A,C分別作AB⊥x軸,CD⊥x軸,垂足分別為B、D,連接OA、AC、OC,線段OC交AB于點E,點E恰好為OC的中點,當(dāng)△AEC的面積為6時,k的值為()A.﹣16 B.8 C.﹣8 D.﹣126.(2023?蕪湖模擬)在反比例函數(shù)y=圖象的每一支上,y隨x的增大而減小,則m的取值范圍是()A.m>1 B.m<1 C.m=1 D.m≠17.(2023?蜀山區(qū)校級模擬)已知,點A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函數(shù)(k>0)的圖象上,則以下結(jié)論正確的是()A.若x1<x2,則y1>y2 B.若x1x2<0,則y1y2>0 C.若x1+x2=0,則y1+y2=0 D.若x1x2>0且x1<x2,則y1<y28.(2023?長豐縣模擬)在同一平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)y=與二次函數(shù)y=ax2﹣a的圖象可能是()A. B. C. D.9.(2022秋?蜀山區(qū)校級期末)如圖,A是雙曲線上的一點,點C是OA的中點,過點C作y軸的垂線,垂足為D,交雙曲線于點B,且△ABD的面積是4,則k=()A.4 B.6 C.8 D.1010.(2022秋?宣城期末)如圖,矩形ABCD的邊AB與y軸平行,頂點B的坐標(biāo)為(1,6),D的坐標(biāo)為(3,2),反比例函數(shù)的圖象與矩形ABCD有公共點,則k的取值范圍為()A.3≤k≤12 B.2≤k≤18 C.3<k<12 D.2<k<18二.填空題(共8小題)11.(2023?南陵縣二模)雙曲線經(jīng)過點(﹣2,3),則k=.12.(2022秋?蒙城縣期末)已知反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限,則k的取值范圍是.13.(2022秋?廬陽區(qū)校級期中)請你寫出一個函數(shù),使得當(dāng)自變量x<0時,函數(shù)y隨x的增大而減小,這個函數(shù)的解析式可以是.14.(2023?金安區(qū)校級一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形OABC的頂點A在x軸上,頂點C在y軸上,矩形DEFG的邊DE在BC上,AB=EF.反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B,則陰影部分面積為.15.(2023?渦陽縣二模)如圖,點A、B分別是線段OB與反比例函數(shù),交點,其中OA=2AB,則k的值為.16.(2023?瑤海區(qū)校級一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系系中,直線y=mx+2與x軸交于點A,與y軸交于點C,與反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象交于點B,連接BO.若S△OBC=1,tan∠BOC=,則k的值是.17.(2023?全椒縣二模)如圖,A為雙曲線上一點,B為x軸正半軸上一點,線段AB的中點C恰好在雙曲線上,若△OAC的面積為8,則k的值為.18.(2023?黃山二模)如圖,點A,C為函數(shù)圖象上的兩點,過A,C分別作AB⊥x軸,CD⊥x軸,垂足分別為B,D,連接OA,AC,OC,線段OC交AB于點E,且點E恰好為OC的中點.當(dāng)△AEC的面積為時,k的值為.三.解答題(共7小題)19.(2023?蕭縣一模)為檢測某品牌一次性注射器的質(zhì)量,將注射器里充滿一定量的氣體,當(dāng)溫度不變時,注射器里的氣體的壓強(qiáng)p(kPa)與氣體體積V(mL)滿足反比例函數(shù)關(guān)系,其圖象如圖所示.(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式.(2)當(dāng)氣體體積為60mL時,氣體的壓強(qiáng)為kPa.(3)若注射器內(nèi)氣體的壓強(qiáng)不能超過5

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