2023年中考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組訓(xùn)練+過(guò)關(guān)檢測(cè)-圖形的相似

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一

《核心考點(diǎn)+重點(diǎn)題型+高分秘籍+題組特訓(xùn)+過(guò)關(guān)檢測(cè)》

（全國(guó)通用版）

第22釬囹形的相依

核心考點(diǎn)］：比例的相關(guān)概念及性質(zhì)

1.線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長(zhǎng)度之比.

ab

2.比例中項(xiàng)：如果后公即〃2=改,我們就把〃叫做a,c的比例中項(xiàng).

3.比例的性質(zhì)

性質(zhì)內(nèi)容

aC

性質(zhì)1—<=>ad=bc(ab,c,dXO).

bd

,ace,c±d

性質(zhì)2如果m丁=二，那么一^二一^.

baba

,ac"2,、?+c+,,,+/??in一3

性質(zhì)3如果一二-=???=—(/>+[+???+”,()),貝ij-------------------=一(不唯一).

bdnb+d+?,?+?n

4.黃金分割：如果點(diǎn)C把線段A8分成兩條線段，使把二空，那么點(diǎn)。叫做線段4C的黃金分割點(diǎn)，

ABAC

AC是3c與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比.

核心考點(diǎn)［：相似三角形的判定及性質(zhì)

1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比口1|做相似比.

2.性質(zhì)：1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；

3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3.判定：1）有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似：3）三邊

對(duì)立成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：

I）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）;

2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角［用判定（1）］或再找?jiàn)A邊成比例［用判定（2）］；

3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等；

4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；

5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例.

核心考點(diǎn)相似多邊形

1.定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做它們的相

似比.

2.性質(zhì)：1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例；2）相似多邊形的時(shí)應(yīng)角相等；3）相似多邊形周長(zhǎng)的比等于相

似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

1.定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行（或在同一條直

線上），那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2.性質(zhì)：I）在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為中心，相似比為鼠那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的

坐標(biāo)的比等于攵或-木2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比或相以比.

3.找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即

是位似中心.

4.畫(huà)位似圖形的步驟：

1）確定位似中心；2）確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；4）作出原

圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)：5）按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn).

圖形的相似是非常重要的一塊內(nèi)容，內(nèi)容相對(duì)較難，涉及到的題型也比較多。

倒一考查黃金分割、比例性質(zhì)

1.如果點(diǎn)C是線段A8的黃金分割點(diǎn)（AC>8C）,那么下列結(jié)論正確的為（）

A.-=0.168B.C.BC2=ACABD.AC2=BCAB

ABBC=2

【分析】根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：,點(diǎn)C是線段48的黃金分割點(diǎn)，AOBC,

一?AC是BC和的比例中項(xiàng)，即生=%=五二1,

ACAB2

???AC2=ABBC,

???選項(xiàng)A、B、C結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)D結(jié)論正確，符合題意,

故選：D.

【反思】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

2.鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如圖，。是A8

的黃金分割點(diǎn)（AP>4P）,若線段/W的長(zhǎng)為4cm,則AP的長(zhǎng)為（）

■

A.25/5-2D.2>/5-1

⑥【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得心=與1"據(jù)此求解即可.

【詳解】解：是43的黃金分割點(diǎn)（AP>8P）,A4=4cm,

AP=^^-x4=（2x/5-2）cm；

故選：A.

【反思】本題主要考查了黃金分割比例，熟知黃金分割比例是解題的關(guān)鍵.

考查相似的性質(zhì)

自2

3.已知兩個(gè)相似多邊形的面積之比是1:4,則這兩個(gè)相似多邊形的相似比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

Q【分析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方計(jì)算選擇即可.

【詳解】???兩個(gè)相似多邊形的面積之比是1:4,

這兩個(gè)相似多邊形的相似比是1:〃=1:2,

故選A.

【反思】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)

鍵.

考查平行線分線段成比例定理

4.如圖，直線4〃/2〃朵直線AC和Z)尸被4,L4所截，48=5,BC=6,EF=4,則DE的長(zhǎng)為

()

c10

A.2B.3C.4D.—

3

e【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

【詳解】解：?4〃4〃兒

.ABDE

~BC~~EF'

?_5_—_D_E_

解得。E=

故選：D.

【反思】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解

此題的關(guān)鍵

考杳相似三角形的性質(zhì)與判定

5.如圖，AO￡S；A3C,若AO=I,40=2,則花與ABC的相似比是()

A.1:4B.1:3

【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比等于相似比求解.

【詳解】解：AADESSB。,

ADAD1

-----=--------------=—.

ABAD+BD3

故選：B.

【反思】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，ZA=ZB=90\AB=7,BC=3,AD=2,在邊A8上取點(diǎn)P,使得4%。與PBC相似，則滿(mǎn)足條

件的點(diǎn)P有（）

A,1個(gè)B.2個(gè)

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分兩種情況列式計(jì)算：①若;②若

AAPDSABCP.

【詳解】解：1ZA=ZB=90°,

若一24。與.PBC相似，可分兩種情況：

①若△”"△即。,

APAD

貝niIl——=——

BPBC

AP2

7-AP3

解得AP=2￡

②若△APDs/^BCP,

.APAD

貝niI——=——,

BCBP

.AP__2_

"~T~7-AP

解得Ao=1或6.

，則滿(mǎn)足條件的AP長(zhǎng)為2.8或1或6.

故選：C.

【反思】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，在ABC中，AB=AC,點(diǎn)。為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)8,C重合），連接AO,作

ZA￡>E=Z5=40°,OE交線段AC于點(diǎn)E.

下面是某學(xué)習(xí)小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：

甲司學(xué)：AABDADCE；

乙司學(xué)：若4）=。E，則8￡>=CE；

丙司學(xué)：當(dāng)OE上AC時(shí)，。為BC的中點(diǎn).

則下列說(shuō)法正確的是（）

C.甲和丙同學(xué)正確D.三個(gè)同學(xué)都正確

目【分析】在.A5C中，依據(jù)三角形外角及已知可得N84O=NCOE,結(jié)合等腰三角形易證

△ABD△0CE；結(jié)合4D=OR易證△ABOgAOCE,得到8O=CE；當(dāng)OE上AC時(shí)，結(jié)合已知求得

Z￡DC=50",易證AD/6C,依據(jù)等腰三角形“三線合一“得=CD

【詳解】解：在以8c中，

AB=AC,

.-.ZC=ZB=40°,

4+NBAD=/CDE+ZADE,ZADE=ZB=40°,

;2BAD=/CDE,

ABD~DCE,

甲司學(xué)正確；

ZC=Zfi,ZBAD=ZCDE,AD=DE,

ABD^^DCE,

BD=CE,

乙司學(xué)正確；

當(dāng)OE/AC時(shí)，

/.ZDEC=90°,

OO

.-.ZEDC=9()-ZC=5()I

/ADC=ZADE+NEDC=90°,

:.ADA.BC,

AB=AC.

BD=CD,

D為BC的中點(diǎn),

丙司學(xué)正確;

綜上所述：三個(gè)同學(xué)都正確

故選：D.

【反思】本題考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；

解題的關(guān)鍵是通過(guò)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”得至=.

8.下列證方形方格中四個(gè)三角形中，與甲圖中的三角形相似的是（)

A.

【分析】先根據(jù)勾股定理求出各三角形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似，即可求

解.

【詳解】解：設(shè)網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1,則給出的三角形三邊長(zhǎng)分別為啦,2?府,

A、三角形三邊長(zhǎng)分別是2,#+3?=30

2yr\/10_>/53>/2_3>/5

因?yàn)殪?'2,呈赤

所以貝。正w邁與給出的二角形的各邊不成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；

25

V2_2>/2_V10

三角形三邊長(zhǎng)分別是2,4,7?壽=2石，因?yàn)樗耘c給出的三角形的各邊成比

B、~2=~=275

例故此選項(xiàng)符合題意；

722V2Vio

C、三角形三邊長(zhǎng)分別是2,3,7?萬(wàn)=屈，因?yàn)榕c給出的三角形的各邊不成比例，故

23vH

此選項(xiàng)不符合題意;

因?yàn)樾凉W(xué)工叵

D、三角形三邊長(zhǎng)分別是巧丁=石，疹了=舊,4.所以與給出的三角形

后h4

的各邊不成比例，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【反思】本題主要考查了兩三角形相似的判定定理，熟練掌握三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似是解題

的關(guān)鍵.

窗5一

考查相似三角形的應(yīng)用

9.如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測(cè)“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊。尸

保持水平，邊OE與點(diǎn)8在同一直線上.已知直角三角紙板中0E=l8cm,FF=12cm.測(cè)得眼睛。離地

面的高度為1.8m,他與“步云閣”的水平距離CD為114m,則“步云閣”的高度A8是（）

步云閣

A.74.2mB.77.8mC.79.6mD.79.8m

r）pFF

【分析】先證明AOE尸得到崇二大，求出8c=76m,即可得到“步云閣”的高度.

CDBC

【詳解】解：NOE/7=NBC。=90。，ND=ND,

.IDEFS&DCB,

.DEEF

''CD~~BC'

DE=18cm,EF=12cm,C￡)=114m,

.二12

'H4"BC

.\BC=76m

測(cè)得眼睛。離地面的高度為1.8m,

AC=1.8m

:.AB=AC+BC=1.8+76=77.8m,

故選B.

【反思】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)時(shí)解題關(guān)鍵.

10.數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，小明在測(cè)量教學(xué)樓高度時(shí)，先測(cè)出教學(xué)樓落在地面上的影長(zhǎng)仍為20米（如圖），然

后在A處樹(shù)立一根高3米的標(biāo)桿，測(cè)得標(biāo)桿的影長(zhǎng)AC為4米，則樓高為（）

/DD

,DD

田

A.10米B.12米C.15米D.25米

【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求解.

標(biāo)桿的高一樓高

【詳解】標(biāo)桿的影長(zhǎng)一康看'

3樓高

即=

4-

20

「?樓高=15米，

故選：C.

【反思】本題考查了相似三角形在測(cè)量高度時(shí)的應(yīng)用，找出相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

考杳位似圖形的性質(zhì)

11.下圖所示的四種畫(huà)法中，能使得.QE尸是二ABC位似圖形的有（）

H【分析】根據(jù)每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，且對(duì)應(yīng)邊互相平行，逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】解：，?每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，且對(duì)應(yīng)邊互相平行

???①②3④能使得一QE尸是,A8C位似圖形,

故選：D.

【反思】本題考查了位圖圖形的性質(zhì)與畫(huà)法，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

考查相似三角形的性質(zhì)與判定（解答題）

12.已知，在4ABe中，D,E分別是邊AC,AB上的點(diǎn)，連接8。，CE,DE.EC和8。相交于點(diǎn)

0且ZABC=ZADE.

Q）求證：4ABCS4ADE；

⑵若帶亮，求第的值?

【分析】（1）用相似三角形的判定方法：兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，找出NABC=N/1DE,

NA=4即可證明；

（2）用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，然后進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可求解.

【詳解】（1）證明：NABC=NAOE,ZA=Z4,

「?AABCSAADE.

（2）V^ABC^^ADE,

ACAB

:?——=——,

AEAD

.AC_AE

一而-75'

??AE_9

,而一6

,AC_9

一而一16'

【反思】本題考查了相似三角形的判定方法及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.【教材原題】如圉①，在A5C中，DE//BC,且AD=3,DI3-2,圖中的相似三角形是

它們的相似比為；

【改編】將圖①中的VAO￡繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到如圖②所示的位置，連接30、CE.求證：

【應(yīng)用】如圖③，在aABC和V4）石中，ZBAC=ZDAE=90°,NA3C=ZA￡>￡=30。，點(diǎn)。在邊8C

上連接CE,則AACE與△A8D的面積比為.

圖①圖②圖③

【分析】教材原題：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得WE=NB.ZAED=ZC,即可得出

△ADEs^ABC,再求出對(duì)應(yīng)邊的比，即可得出相似比；

AnACADAB

改編：根據(jù)AADE^/XABC得出N84C=/DAE,——=—,進(jìn)而得出/BAD=ZCAE,

ABAC~AE~~AC

即可求證；

應(yīng)用：根據(jù)皿C=〃4E=90。ZABC=ZADE=3^^BC^ADE,則要,進(jìn)而得出

ABD-.ACE,根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求解.

【詳解】教材原題

解：=DE//BC,

-ZADE=ZB,ZAED=ZC,

???AADEs^ABC；

/AD=3,DB=2,

AB=AD+DB=5,

,相似比為當(dāng)=■!.

AB5

3

故答案為：△ADEsXABC、-；

J

改編：證明：??,△ADEs/\ABC,

ADAE

-^BAC=ZDAE.

~AB~~AC

???ABAC-ZC4D=ZDAE-ZCAD,

ADAB

ZBAD=ZCAE,

~AE~~AC

??△ABOSQCE.

應(yīng)用：???N3AC=N〃E=900,ZS4BC=Z4DE=30°,

AABCS^ADE,

碧=釜?jiǎng)t賓=,

?NR4C=N"E=90。，

Zft4C=ZZME=90°,

.ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,即NBAO=NC4M

-AABDACE,

?ZZ?/4C-90°,zTABC=300,

6

?-A-C-=---?

AB3

SACE

s

JAfil)3

故答案為：!

【反思】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性

質(zhì).

14.如圖，ABC是等腰直角三角形，AB=AC,點(diǎn)DE,尸分別在A8,BC,AC邊上,

DEVDF,NDEF=45。,。尸的延長(zhǎng)線與8C的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G.

⑴不添加輔助線，在圖中找出一個(gè)與4友用相似的三角形(不需證明)；

(2)若4。=1,AF=2,求EC的長(zhǎng)；

(3)若tan/8OE=21.求F3G的值.

2EB

【分析】(1)由等腰直角二角形的性質(zhì)可得/8=NC'=45'再說(shuō)明=即可解答；

(2)如圖：過(guò)點(diǎn)E作E7/J_A'垂足為“，先證VAE尸WV的可得AO=E〃=1,AE=OH=2進(jìn)而得

到BH=HE=1,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得8￡=夜8”=虛、BC=gB=4及,最后根據(jù)線

段的和差即可解答.

EH

(3)過(guò)點(diǎn)C作MC_LAC,交。G于點(diǎn)M,可得C例〃A8,再根據(jù)三角函數(shù)可得!,設(shè)EH-m,

DH2

則DH—2，%結(jié)合(2)可得EH=AD=EH=m,DH=AF=2，n,RE=、再證明

\ADF?VCM"ASA)可得AO=CM=in,然后再證明NBDG:NCMG可得一=「即

BDBG

S=茄，解得CG=2〃!，進(jìn)而求得EG=5夜〃7,最后代數(shù)求解即可.

【詳解】⑴解：結(jié)論：ABDE-CEF.如下：

理由：???AB=AC,ZA=90°,

ZB=ZC=45°.

/BDE+/BED=180°-ZB=I35°.

???/DEF=45。,

AZBED+NFEG=180°-/DEF=135°,

???/BDE=NFEG,

??&BDECEF.

(2)解：如圖：過(guò)點(diǎn)E作E”_L/W,垂足為凡

-DEIDF,

ZEDF=90°,

vZDEF=45°,

???DE=DF,

ZADF+NEDB=90°,/ADF+ZAFD=90°,

???ZAFD=ZEDB,

??NA=/&/￡)=90°,

??一ADFmHED(AAS),

:.AD=EH=1,AF=DH=2,

ZB/7E=90°,ZB=45°,

??BH=HE=1,

??BE=6BH=五,AB=AD+DH+BH=4,

BC=42AB=4>/2.

EC=BC-BE=36?

(3)解：如圖：過(guò)點(diǎn)C作MC_LAC,交。G于點(diǎn)M,

.*.Z4=ZMC4=90°,

CM//AB,

在中，tanZBDE=-,

2

?,.E-H=_\

DH2

設(shè)EH=m,貝1」。〃=2利，

由(2)得：EH=AD=BH=m,DH=AF=2叫BE=y[lBH

AC=AB=AD+DH+BH=4/?.

???BC=0AB=4島,CF=AC-AF=4m-2m=2m.

AF=CF,

?//A=/MCF=90°,/AFD=/MFC,

VA。/二VCM"(ASA),

AD=CM=m,

'.CM//AB.

："B=ZMCG,/BDG=/CMG,

??.YBDG:7CMG,

,CMCG

'~BD~~BG

m_CG

"3m~CG+4y/2nt

CG=2m,

EG=BC+CG-BE=，

.EG_5yf2m_

?百石"

的值為5.

EB

【反思】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理

等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵.

15.如圖所示，在正方形A8CO中，P是BC上的點(diǎn)，且8P=3PC,。是C。的中點(diǎn).

(l)AAOQ與△QCP是否相似？為什么？

⑵試問(wèn)：AQ與PQ有什么關(guān)系？

g【分析】(1)在所要求證的兩個(gè)三角形中，已知的等量條件為：ZD=ZC=90°,若證明兩三角形相

似可證兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)直角邊成比例；

(2)AQ=2PQ,且AQ_LPQ.根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得AQ與。。的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)相

似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可證得AQ與PQ的位置關(guān)系.

【詳解】(1)解：證明：四邊形488是正方形，

:.AD=CD,NC=NO=90°；

又。是。。中點(diǎn)，

,-.CQ=DQ=^AD；

BP=3PC,

:.CP=-AD,

4

CQCP\

'~AD~~DQ~2,

又QNC=ND=90。,

：0DQS^QCP；

(2)AQ=2PQ,且AQ_LPQ.理由如下：

CQCP\

由⑴知，ADQ^,QCP,^\D~~DQ~2,

AQCQCP=i

則~QP~~AD~~DQ~2

AQ=2PQ；

"DQS/XQC/5,

:&QD=/QPC,ZDAQ=ZPQC,

:.Z.PQC+/DQA=^DAQ+ZAQD=90°,

:.AQLQP.

【反思】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等，熟練掌握相

似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

——從不同角度思考問(wèn)題，你會(huì)有不同收獲

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，我們對(duì)待一個(gè)問(wèn)題或者說(shuō)一個(gè)幾何問(wèn)題或代數(shù)問(wèn)題,可以從不同

角度出發(fā)，從不同角度思考問(wèn)題，收獲會(huì)更多，比如，平面幾何問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到計(jì)算線段長(zhǎng)度的問(wèn)

題我們可以從四個(gè)不同角度處理和思考這個(gè)問(wèn)題，其一，我們從勾股定理方面想，可以構(gòu)造直角三角

形解決；其二，我們從相似三角形的角度出發(fā)，可以構(gòu)造相似三角形解決；其三，我們也可以利用三角

函數(shù)解決；其四，有時(shí)我們利用等積法來(lái)處理計(jì)算線段長(zhǎng)度問(wèn)題很簡(jiǎn)單的，從不同角度出發(fā)，收獲會(huì)更

大,

秘籍十五：從不同角度思考問(wèn)題，你會(huì)有不同收獲

一、選擇題

1.如圖，在二48c中，點(diǎn)O,E,尸分別是邊A3,AC,8C上的點(diǎn)，DE〃BC、EF//AB,且

AD:DB=3:5,那么CF:CB等于()

C.3:5D.2:5

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4、4分別在工軸負(fù)半軸和y軸正半軸上，OC:BC=l:2t連接AC,

過(guò)點(diǎn)。作OP〃/W交AC的延長(zhǎng)線于P,若P(W),則A/S的長(zhǎng)為()

3.如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)E在4。邊上，且OE=3AE,連接跖，CE,EF平分NBEC,過(guò)點(diǎn)B

作即_L￡F于點(diǎn)?，若正方形的邊長(zhǎng)為4,則△8FC的面積是（）

△16-4V1316-4V17

RC.2。一歹D.8-2717

53

4如圖，在平行四邊形488中，E為A8上一點(diǎn)，且AE：EB=U2,4。與DE相交于點(diǎn)反

S.AEF=3,則S,AC/）為（）

A.9B.12C.27D.36

5.如圖，在ABC中，D.E,r分別是邊8C,AB.4c上的點(diǎn)，若ZB=NC=NEDF,則下列等式

一定成立的是（）

A

cDEBEBDDE

C.-----=-----

ABBC~CF~~DF

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知4-3,-2）,8（0,-2）,C（-3,0）,M是線段A8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

CM,過(guò)點(diǎn)M作MNL0C交）軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)M,N在直線y=&+。上，則的最大值是（）

7.已知且NA=50。，N8=85。，則NG等于（）

A.25°B.45°C.50°D.95°

8.如圖所示，/AC與。所是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心.若00=204,/4C的周長(zhǎng)為3,則

33

CD

2-4-

9.如圖，在/WC中，AB=S,8c=16,點(diǎn)P從A開(kāi)始沿A/3邊向點(diǎn)4以2個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)。從

點(diǎn)3開(kāi)始沿8。邊向點(diǎn)。以4個(gè)單位/秒的速度移動(dòng)，如果尸、。分別同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)（）秒后,

△PBQ與A8C相似.

B

Q

0c

AC

545

A.2B.-C.一或2D.一或2

454

10.如圖，在矩形438中，點(diǎn)、E、尸分別在邊A。、DC±,JBE-DEF、AB=6,DE=2,

DF=3,則屬的長(zhǎng)是（）

二、填空題

".已知△A8CsZX。a叱若A8C的三邊分別長(zhǎng)為6,8,1C,，無(wú)產(chǎn)的面積為96,則/）￡尸的周長(zhǎng)為

12.如圖，RtZXABC中，ZACT=90°,4C=3,BC=4,點(diǎn)D在線段A8上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)。作

DE1BC,垂足為點(diǎn)E,若,CQE與“比陀相似，則線段?！甑拈L(zhǎng)為；

A

cEB

13.如圖，矩形人8c。中，AB=8,AD=3,點(diǎn)七為的中點(diǎn)，點(diǎn)。為邊A8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接

AE'PE.過(guò)點(diǎn)P作。QJLAE于點(diǎn)Q,當(dāng)VQ￡與VAOE相似時(shí),人夕的長(zhǎng)為_(kāi)_____.

D入EC

ApB

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1.0）,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,0）,若A8C與1）印是位似圖

形則三三的值是.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A/G&與正方形是以。為位似中心的位似圖形，且

位似比為:，點(diǎn)4,4,4在X軸上，延長(zhǎng)4G交射線。4與點(diǎn)4,以A也為邊作正方形4383c3A4；延

長(zhǎng)AG,交射線。4與點(diǎn)鳥(niǎo)，以義與為邊作正方形4名。44；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若

三、解答題

16.如圖，。為ABC內(nèi)的一點(diǎn)，E為ABC外的一點(diǎn)，且NABC=NDBE,/BAD=NBCE.

⑴求證：.ABD^CBE；

⑵若A8:O8=5:2,AC=6,直接寫(xiě)出線段OE的長(zhǎng)度為.

17.如圖，已知ABC,AB=2,BC=5,且48c=2NC,將邊8C反向延長(zhǎng)至點(diǎn)D使O8=A8,連

接人。

A

⑴求證：ADBA-ADAC；

⑵求AC的長(zhǎng).

18.如圖，。是48。的外接圓，點(diǎn)。在8c邊上，N84C的平分線交0。于點(diǎn)。連接3D、CD,

過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.

⑴求證：P。是0的切線；

⑵求證：^ABD^/XDCP；

⑶若AB=6,AC=8,求C/的長(zhǎng).

19.如圖，_A8c是等腰直角三角形，A8=AC,點(diǎn)。，E,尸分別在4氏BC,AC邊上,

DEIDF,/。所=45。，￡）b的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G

⑴不添加輔助線，在圖中找出一個(gè)與△放）E相似的三角形（不需證明）；

(2)若AO=1,AF=2,求EC的長(zhǎng)；

IFG

(3)若tanN3OE=《?求號(hào)的值.

2EB

20.(1)如圖1,RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一點(diǎn)，AE=5,EDA.AB,

垂足為。，求AZ）的長(zhǎng).

（2）類(lèi)比探究：如圖2,4ABe中，AC=14,BC=6,點(diǎn)。，E分別在線段48,AC上,

ZEDB=ZACB=(^°,DE=2,求4。的長(zhǎng).

(3)拓展延伸：如圖3,二A8C中，點(diǎn)。，點(diǎn)E分別在線段AB,AC上，NEDB=ZACB=60。,延長(zhǎng)

DE,8c交于點(diǎn)尸，AD=4,DE=5,EF=6,求80=.

一、選擇題

1.如圖，已知點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足普=絲，貝!()

BCACBC

11I

ACB

A.^±1B.^±1C.0.^1

2222

2.在學(xué)習(xí)畫(huà)線段AB的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過(guò)點(diǎn)8作AB的垂線BC,取AB的中點(diǎn)M,以點(diǎn)B為圓心.

8M為半徑畫(huà)弧交射線8c于點(diǎn)。，連接A。，再以點(diǎn)。為圓心，為半徑畫(huà)弧，前后所畫(huà)的兩弧分別與

A0交于￡F兩點(diǎn)，最后，以A為圓心、，的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧交A3于點(diǎn)H,點(diǎn)〃即為A8的其中

一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線段()

3.如圖，P是以8c重心，EF/7BC且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,則廣的值為()

A

4.如圖，在矩形紙片A4C。中，AB=6,AC=10,點(diǎn)E在C7）上，將.BCE沿跖折疊，點(diǎn)。恰好落在

邊人。上的點(diǎn)尸處，點(diǎn)G在人廠上，將ABG沿8G折疊，點(diǎn)人恰好落在線段上的，處，有下列結(jié)

論：①NE8G=45。；②25詆=55柘〃;③ADEF/\ABG；?4CE=5ED.其中正確的是()

A.①②③B.①③④c.?2)?D.①(2③④

5.四邊形A4CO中，點(diǎn)尸在邊4。上,8廠的延長(zhǎng)線交C。的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)，下列式子中能判斷AO〃BC

的式子是（）

FDED、AFBF「ABAF_EFED

AA.---=-----B.-----=—C.-----=-----D.-----=-----

BCECDFEFEDFDBEEC

6.如圖，在ABC中，點(diǎn)O,E分別在A8,AC上，DE//I3C,ZABE=ZAED,且AB=6,

AC=9,則CE的長(zhǎng)為（）

A

A.9一3后D.3瓜

7.如圖，正方形ABC。中，M為3C上一點(diǎn)，MEYAM,M￡1交4）的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,若A￡?=8,

BM=6,則QE的長(zhǎng)為（）

8.如圖，在二A8C中，BD平分乙48c交AC于點(diǎn)。.過(guò)點(diǎn)。作DE//BC交4B于點(diǎn)巴AE：BE=3

2,且..ADE的面積為3,則8c。的面積為（）

9.如圖.在△A8C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)。在AC邊上，且A￡>=2,動(dòng)點(diǎn)P在BC邊

上將△POC沿直線翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為￡則△AE8面積的最小值是（）

人

10.如圖，在AA3C中，AB=AC=3,8c=4,點(diǎn)。，石分別是邊AB,BC上的點(diǎn)，連結(jié)。石，將

沿。E1翻折得到ATOE,點(diǎn)3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)尸恰好落在邊AC上.若以點(diǎn)C,E,尸為頂點(diǎn)的三角形與

A48C相似，則破的長(zhǎng)為（）

“、12八12f「12.

A.2B.—C.—或2D.—或2

775

二、填空題

".在矩形A8C。中，AB=10,AO=4,點(diǎn)￡：在邊人B上，若VAOE與$BC￡相似，則AE的長(zhǎng)為

12.+.AB=AC=5,BC=6,點(diǎn)。、點(diǎn)七分別為邊48、邊6c上的點(diǎn)，連接。上，將△出也

沿直線DE折疊，使點(diǎn)8落在邊4C上的點(diǎn)尸處，若△€1￡”與.45。相似，則防的長(zhǎng)為.

13.如圖，在‘A8C中，AB=AC=5,比、=8,點(diǎn)P是8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接弁尸，作N4P￡=/B交AC

邊于點(diǎn)￡,若設(shè)=AE=y,則V關(guān)于1的函數(shù)表達(dá)式是__________o

14.如圖，正方形A86中，點(diǎn)P在8c上運(yùn)動(dòng)（不與反C重合），過(guò)點(diǎn)P作

PQLEP,交于點(diǎn)Q,設(shè)BP=X、CQ=y.

（1）y與x的函數(shù)關(guān)系為

(2)4=時(shí)，

15.如圖，在矩形A8CO中，點(diǎn)石為4。上一點(diǎn)，且AB=8,AE=3,BC=4,點(diǎn)P為48邊上一動(dòng)點(diǎn),

連接PC、PE,若分施與.PBC是相似三角形，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

三、解答題

16.如圖，AADE^AABC,且篇|,點(diǎn)。在"BC內(nèi)部，連接歐SCE?

(1)求證：.

⑵若CD=CE,BD=3,E.ZABD+ZACD=9()°,求的長(zhǎng).

17.如圖，在三邊互不相等的4?C中，4B=8cm,BC=16cm.動(dòng)點(diǎn)P從A開(kāi)始沿A8邊運(yùn)動(dòng)，速度為

2cm/秒，動(dòng)點(diǎn)。同時(shí)從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/秒，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，P,。就不再運(yùn)

動(dòng).設(shè)P.Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為％秒，解決以下問(wèn)題：

⑴證明：當(dāng)x=2時(shí)，△BPQS/XBAC;

⑵若△BPQ與‘ABC相似，求工的值.

18.如圖，在平行四邊形A8CO中，過(guò)點(diǎn)8作6石_LCD,垂足為E連接AE/為AE上一點(diǎn)，且

ZBFE=ZC

⑴求證：4ABFJFEAD

⑵若4H=4,S平行四邊形小=苧，求AE的長(zhǎng)

19.如圖1,在矩形A8C。中，BC=3,動(dòng)點(diǎn)P從8出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度，沿射線BC方向移

動(dòng)作關(guān)于直線PA的對(duì)稱(chēng)△物片，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，(s).

⑴若AB=2百-

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)*落在4c上時(shí)，求證?.PCQS.ACA,

②是否存在異于圖2的時(shí)刻，使得是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合題意的，的值？

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑵當(dāng)P點(diǎn)不與C點(diǎn)重合時(shí)，若直線與直線相交于點(diǎn)M,且當(dāng)i<3時(shí)存在某一時(shí)刻有結(jié)論

NPAM=45。成立，試探究：對(duì)于"3的任意時(shí)刻，結(jié)論-ZPAM=45°"是否總是成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑴如圖L已知點(diǎn)8在直線CE上，點(diǎn)A,。在直線CE的同側(cè)，AB=AC,DE=CE,

美、TACBC

/BAC=/DEC=50,求證：—=—；

CECD

【,可題解決】在【初步探索】的基礎(chǔ)上，將A8C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0＜。＜90),直線八E,8。交于

點(diǎn)尸，如圖2所不?

⑵當(dāng)A4CE的面積達(dá)到最大時(shí)，。的度數(shù)為

(3)根據(jù)圖2,求證：/^ACE^/XBCD；

⑷根據(jù)圖2,求NBFE"的度數(shù)；

【類(lèi)比應(yīng)用】

⑸如圖3,在矩形A8CO和矩形DEFG中，AB=\,AD=DE=6DG=3,連接4G,RF,請(qǐng)直接寫(xiě)

出票的值.

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一

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（全國(guó)通用版）

第ZZ餅畫(huà)形的相何

敦獨(dú)特引咎解

一、選擇題

1.如圖，在ABC中，點(diǎn)。，E,r分別是邊AS,AC,8C上的點(diǎn)，DE〃BC、

EF//AB,且4）:08=35那么C/：C8等于（）

A.5:8B.3:8C.3:5D.2:5

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例推導(dǎo)即可.

【詳解】解：AQ:DB=3:5,

.?.40：入8=5:8,

DE//BC,

CE:AC=BD:AB=5:8,

?-,EF//AB,

:.CF:CB=CE:AC=5:S,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理.注意掌握比例線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4、B分別在x軸負(fù)半軸和），軸正半軸上，

0C:BC=\:2,連接AC,過(guò)點(diǎn)。作0P〃A3交AC的延長(zhǎng)線于P,若P（1，D,則A3的長(zhǎng)

為（）

A.272B.V2C.2D.3

【答案】A

【分析】由P（1，D得OP二及，根據(jù)OP〃A8,有VCOP:VCBA,即得走=_L,故

AB2

AB=2丘.

【詳解】解：

?4-0P=五'

OP//AB,

AABC=NCOP,NBAC=ZP,

VCOP:VCBA,

.?.嘰空,，即與L

ABBC2AB2

二?AB-2>/2.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理.

3.如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)E1在A。邊上，且DE=3AE,連接BE,CE,EF平分

ZBEC,過(guò)點(diǎn)8作4"_LE產(chǎn)于點(diǎn)尸，若正方形的邊長(zhǎng)為4,則△8FC的面積是（）

△16-4廂口16-4后C20T歷D.8-2V17

r\?，D?，

53

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求得BE=CE=5,sinZ.CED=sinZ.ECB=,延長(zhǎng)質(zhì)