2024高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：88 幾何法求線(xiàn)面角、二面角及距離(解析版)

8.8幾何法求線(xiàn)面角、二面角及距離

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

利用幾何法求線(xiàn)面角、二面角、距離的難點(diǎn)在于找到所求的角或距離，相對(duì)于向量法，幾

何法運(yùn)算簡(jiǎn)單、不易出錯(cuò).知識(shí)點(diǎn)1：線(xiàn)與線(xiàn)的夾角

平行直線(xiàn)

共面直線(xiàn)

（1）位置關(guān)系的分類(lèi):相交直線(xiàn)

異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)

（2）異面直線(xiàn)所成的角

①定義：設(shè)a,b是兩條異面直線(xiàn)，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)。作直淺"〃a,Z/〃8，把"與"所成的銳角（或

直角）叫做異面直線(xiàn)“與人所成的角（或夾角）.

②范圍：

③求法：平移法：將異面直線(xiàn)〃，〃平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形.

知識(shí)點(diǎn)2：線(xiàn)與面的夾角

①定義：平面上的一條斜線(xiàn)與它在平面的射影所成的銳知即為斜線(xiàn)與平面的線(xiàn)面角.

②范圍：［0,

③求法：

常規(guī)法：過(guò)平面外一點(diǎn)3做BE_L平面a,交平面a于點(diǎn)"；連接A8',則448即為直線(xiàn)與平

面。的夾角.接下來(lái)在放八鉆5'中解三角形.即sinN8A8'=理=上'（其中力即點(diǎn)8到面a的距離,

AB斜線(xiàn)長(zhǎng)

可以采用等體積法求〃，斜線(xiàn)長(zhǎng)即為線(xiàn)段的長(zhǎng)度）；

知識(shí)點(diǎn)3：二面角

（1）二面角定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱(chēng)為二面角，這條直線(xiàn)稱(chēng)為二面角的棱，

這兩個(gè)平面稱(chēng)為二面角的面.（二面角或者是二面角A-CO-3）

（2）二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于

棱的兩條射線(xiàn)，這兩條射線(xiàn)所成的角就叫做該二面角的平面角；范闈［0,網(wǎng).

（3）二面角的求法

法一：定義法

在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線(xiàn)與棱垂直，這兩條星線(xiàn)所成的角的大小就是二面角的平面角，

如圖在二面角a-/一0的棱上任取一點(diǎn)O,以O(shè)為垂足，分別在半平面a和4內(nèi)作垂直于棱的射線(xiàn)OA和OB,

則射線(xiàn)Q4和08所成的角稱(chēng)為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線(xiàn)的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于

求兩條異面直線(xiàn)的夾角即可）.

法二：三垂線(xiàn)法

在面?；蛎鎻V內(nèi)找一合適的點(diǎn)八，作人。_1_尸于。，過(guò)人作AB_Lc于8,則80為斜線(xiàn)科在面分內(nèi)的

射影，/43O為二面角a-c?一4的平面角.如圖1,具體步驟：

①找點(diǎn)做面的垂線(xiàn)；即過(guò)點(diǎn)A,作AO_L尸于O；

②過(guò)點(diǎn)（與①中是同一個(gè)點(diǎn)）做交線(xiàn)的垂線(xiàn)：即過(guò)A作/連接40；

③計(jì)算：NABO為二面角。-。-尸的平面角，在R/A4AO中解三角形.

圖1圖2圖3

法三：射影面積法

凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)平面上的射影圖形面積的都可利用射影面

積公式（cos0=&=<3,如圖2）求出二面角的大??；

S斜SABC

法四：補(bǔ)棱法

當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線(xiàn)時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線(xiàn)（稱(chēng)為

補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線(xiàn)法解題.當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線(xiàn)時(shí)，也可直接用法三的攝影面

積法解題.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線(xiàn)所成的角，就是

二面角的平面角.

例如：過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)A作A3_Lc于8,作ACJ.77于C,面ABC交棱”于點(diǎn)O,則血心就是二面

角的平面角.如圖3.此法實(shí)際應(yīng)用中的比較少，此處就不一一舉例分析了.

知識(shí)點(diǎn)4：空間中的距離

求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解.

典型例題分析

考向一幾何法求線(xiàn)面角

例1（2023?杭州質(zhì)檢）在三棱柱ABC-A必G中，各棱長(zhǎng)都相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)。是8G

與B\C的交點(diǎn)，則AD與平面3BGC所成角的正弦值是（）

A」B也

A,502

一近n1

C.-z-D.5

答案C

解析取的中點(diǎn)￡,

連接DE,AE,如圖.

晨

B

依題意三棱柱ABC—為正三棱柱，

設(shè)棱長(zhǎng)為2,則A￡=小，DE=\,

因?yàn)?。，E分別是BCi和BC的中點(diǎn)，

所以。E〃CG,所以。EJ_平面ABC,

所以DELAE,

所以AD=ylAE2+DE2=WH=2.

因?yàn)锳E_L8C,AE±DE,BSDE=E,

所以AE_L平面BB6C,

所以NADE是A。與平面88GC所成的角，

所以sin/AZ）E=^=坐，

所以A。與平面BBCC所成角的正弦值是坐.

感悟提升求線(xiàn)面角的三個(gè)步驟：

一作（找）角，二證明，三計(jì)算，其中作（找）角是關(guān)鍵，先找出斜線(xiàn)在平面上的射影，關(guān)鍵是作

垂線(xiàn)，找垂足，然后把線(xiàn)面角轉(zhuǎn)化到三角形中求解.

訓(xùn)練1（2023?湖州模擬）如圖,已知正四棱錐P—ABC。底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為4,M為側(cè)棱

PC的中點(diǎn)，則直線(xiàn)3M與底面A3C。所成角的正弦值為（）

a

AB

A亞B*

A.3

「逗D等

「6

答案D

解析作。。_1_底面A3CO于0,連接oc,

*B

因?yàn)檎睦忮FP-ABCD底面邊長(zhǎng)為2,故。。=啦，

又測(cè)棱長(zhǎng)為4,故P0=yjPC2-OC=714.

又M為側(cè)棱PC中點(diǎn)，取OC的中點(diǎn)F,連接MF,8M,

則歷尸統(tǒng)少）。，且MRL平面ABC。，

故NMBF是BM與平面A8C所成角，

且Mb=：PO=乎

JJ

BC

「21

又cosPC"-4"

在△BCM中，由余弦定理有用0=朗8。2+CM?—28CCMcosNBCM=?

MF_V14_V2T

在△BEW中，sinZMBF=

BVf_2加一6,

故直線(xiàn)8M與底面ABCD所成角的正弦值為等.

考向二幾何法求二面角

例2如圖所示，在三棱錐S—A3c中，ASBC,5c都是等邊三角形，且3c=2,SA=，5,

則二面角S-8C-4的大小為（）

A.300B.45°

C.60°D.75°

答案C

解析如圖所示，取8。的中點(diǎn)。，連接AO,SD,

VAABC,△S^C都是等邊三角形,

:?SB=SC,AB=AC1

因此有4O_L8C,SD±BC.

/ADS為側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的平面角.

因?yàn)锽C=2,AD±BC,SDLBC,ASBC,△45C都是等邊三角形，

所以SD=qSB2_=小=1=5,AD=\JAB2—B?K4—]=事,

而%=小，所以△SD4是正三角形,

工/AOS=60。，

即二面角S-BC-A的大小為60°.

感悟提升作二面角的平面角的方法:

作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面

的垂線(xiàn)，再過(guò)垂足作二面角的棱的垂線(xiàn)，兩條垂線(xiàn)確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二

面角的平面角.

訓(xùn)練2我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱(chēng)為“塹堵”.在

如圖所示的“塹堵”中，AC=CB=CCi,則二面角G—AB—C的正切值為（）

A.1

c亞

。2D.V2

答案D

解析由AC=C3知，ACA.CB,CM,

由條件，可知NGMC即為二面角G-A8-C的平面角,

設(shè)AC=C8=CCi=〃，則CM=^〃，

tanZCMC=-^=y[2.

考向三幾何法求距離

角度1點(diǎn)線(xiàn)距

例3如圖，在四棱錐P-ABC7）中，平面ABC。，PB=AB=2BC=4,AB_LBC,則點(diǎn)。

到直線(xiàn)PA的距離為（

A2小B.2小

C.A/2

答案A

解析如圖，取物的中點(diǎn)M,連接CM,

因?yàn)槭?_L平面A8CQ,

又8Cu平面A8CQ,

所以PBLBC,

又因?yàn)锳8_L3C,PBCAB=B,PB,ABu平面加8,

所以BC_L平面辦B,又％u平面%B,

所以BC_L%,BC上PB,

因?yàn)镸是出的中點(diǎn)，PB=AB,

所以3M_LB4,

又8C_LMBMCBC=B,8W,8Cu平面8cM,

所以雨平面BCM,又CMu平面BCM,

所以CM_L%,

即CM為點(diǎn)C到直線(xiàn)%的距離.

在等腰Rl△%B中，BM=^~乙PB=2版

在RtABCM中，CM=7BM2+BC2=78+4=2小,

故點(diǎn)C到直線(xiàn)PA的距離為2小.

角度2點(diǎn)面距

例4如圖所示，在長(zhǎng)方體中，AD=AAi=2,AB=4,點(diǎn)E是棱A5的中點(diǎn),

則點(diǎn)E到平面ACD\的距離為（）

AEB

A.lB?

C.TD.也

答案B

解析設(shè)點(diǎn)E到平面AC。的距離為〃，

因?yàn)辄c(diǎn)E是棱AB的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)E到平面\CDx的距離等于點(diǎn)B到平面ACD^的距離的一半,

又平面ACG過(guò)8。的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)B到平面ACDi的距離等于點(diǎn)D到平面ACDi的距離，

由等體積法VD-ACD[=VD1-ACD,

所以;S“a）/2/7=；SMC/>QD1,

S△力e=；X2X4=4,DD\=2,

在△ACQ1中，ADi=2?AC=CDi=2?

所以S"6=\X2啦義、（2#）2一（啦）2=6,

112

則；X6X2〃=gX4X2,解得/?='!，

即點(diǎn)E到平面AS的距離為導(dǎo)

感悟提升1.求點(diǎn)線(xiàn)距一般要作出這個(gè)距離，然后利用直角三角形求解，或利用等面積法求解.

2.求點(diǎn)面距時(shí)，若能夠確定過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線(xiàn)，即徑出這個(gè)距離，可根據(jù)條件求解，若不

易作出點(diǎn)面距，可借助于等體積法求解.

基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題

1.在中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱(chēng)為“曲池〃的幾何體，該幾何體的上、下底面平行，且

均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截的部分），現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，它的高為2,AA，驅(qū),CC,,

。。均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑分別為1和2,對(duì)應(yīng)的圓心角為90。，則圖中異面

直線(xiàn)A%與CR所成角的余弦值為（）

【答案】A

【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)的夾角運(yùn)算求解.

［詳解】設(shè)ABICD=O,%GA=日，分別延長(zhǎng)DC,D,C,到E,日,使得OE=OC=CD,O,旦=0￡=C,Dt,

連接E%O（L，Ea，BE,

可得A瓦〃EOJ/CD.,則異面直線(xiàn)與CR所成角NBQE（或其補(bǔ)角）,

則BQ]=EOi=君,BE=O,

BO；+E/-BE?=5+5-2=4

在普印中,由余弦定理可得cos/8。石=

2帕?EO、--2xx/5xV5-5

4

即異面直線(xiàn)AB.與CD、所成角的余弦值為（.

2.一個(gè)正六棱錐，其側(cè)面和底面的夾角大小為6（），則該正六棱錐的高和底面邊長(zhǎng)之比為（）

A.3:2B.3:1C.2:3D.1:3

【答案】A

pn

【分析】如圖正六楂錐尸-MCZ郎中，取科的中點(diǎn)小則NPMO為側(cè)面和底面的夾角‘根據(jù)說(shuō)的值

p（）

可求得肉的值.

如圖正六棱錐尸-48CO即中，底面中心為。，取人4的中點(diǎn)連接尸M,OM,

則八ABA.OM,所以NPMO為側(cè)面和底面的夾角，即NPMO=60°

因?yàn)镻O_Z底面ABCDEF,OMu底面ABCDEF,

POr-

所以尸OJ_OM,所以---=tan60=J5,

OM

P。=￡

又0M=皂AB,所以6

2——AB

2

所啜S#3

2,

故選：A

3.在正方體ABC。-A4aA中，。是AG的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AO與6c的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】A

【分析】先利用線(xiàn)線(xiàn)平行推得/"AO是異面直線(xiàn)AO與8G的夾角，再利用勾股定理依次求得AA，〃O，A。,

從而得解.

【詳解】連接

因?yàn)檎襟wA8CO—ASGA中，ABiIC\D\,AB=C\D\,

所以四邊形A8G2是平行四邊形，則ADJ/8G，

所以ZD.AO是異面直線(xiàn)AO與BC、的夾角，

不妨設(shè)正方體ABC?！狝4GA的棱長(zhǎng)為2,則4〃=20,D,O=x/2,AO=ylA.A2+A.O2=76,

故AD；=￡>02+AO2,即R0JL4。，則0。<卬40<90。,

所以sin/〃AO=^=g,則？7)MO30?.

故選:A.

4.如圖，在長(zhǎng)方體ABCO-AAGA中，48=2,4。=。。|=1.則直線(xiàn)人。|與平面48℃所成角的余弦值是

()

A-TBYC-T

【答案】c

【分析】根據(jù)線(xiàn)面角的定義，可知/AC/即為宜線(xiàn)AG與平面84。。所成角，解三角形即可求得結(jié)果.

【詳解】如圖，連接直線(xiàn)Bq,顯然，在長(zhǎng)方體ABC。-AgC心中，482平面BBC。，故/AC用即為直

線(xiàn)AG與平面B8CC所成角,

r?

在RtAC/中，A5=2,C1B=^/BC+qC=x/2,AC；=JdB?=百+（五＞=瓜,

C；8五二石

:.cosNAG4=

AC1瓜—3

故選：C.

5.在正四面體/WCD中，點(diǎn)E,F,G分別為棱"C,CD,HC的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AK,AG所成用的

余弦值為（）

DT

【答案】A

【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)夾角的定義結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.

【詳解】連接OE,設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,

因?yàn)镚,產(chǎn)分別為AC,CD的中點(diǎn)，則G產(chǎn)〃A。，

所以異面直線(xiàn)AE,FG所成角為/DAE（或其補(bǔ)角），

在VAO￡中，則AE=QE=6,AO=2,

由余弦定理可得cosNDAE=、0+4＞一°回2=4+3-3=立，

2ADAE2x2x63

所以異面直線(xiàn)AE,"G所成角的余弦值為由.

3

故選：A.

A

6.如圖，在三棱柱ABC-AAG中，底面48c是正三角形，側(cè)棱與底面A8C垂直，^.AB=4,AAi=2>/3,E,F

分別是AG.8C的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)律與CG所成的角的余弦值為（）

A1c3不

A?--------RD?C?--------

727

【答案】D

【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)夾角的定義分析求解.

【詳解】如圖，取AC的中點(diǎn)。，連接力上力石,貝IJOE//CG，且。石=CC=2G,

所以NDE廠(chǎng)為異面直線(xiàn)E戶(hù)與GC所成的角（或其補(bǔ)角）,

又因?yàn)槭?c的中點(diǎn)，則加尸=；A8=2,

又因?yàn)槿?8C-A4C的側(cè)極與底面垂直,

則平面人BC,且G〃u平面人8C,所以DE工DF,

在RiZkf）即中，EF=ylDE2+DF~=4?所以8S/。七F="=噂

EF2

故選:D.

7.在直二棱柱A3C-A心G中，ABJ.BC,Ab=3C=，過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)/與A&和6。所成的角均為。，

則a的最小值為（）

A.60°B.45°C.30°D.15°

【答案】C

【分析】計(jì)算異面直線(xiàn)AG和qc所成的角，則。的最小值為異面直線(xiàn)AG和8c所成角的一半.

【詳解】依題意，直三棱柱是正方體的一半，如圖所示，

AC〃AG，.?./印”為異面直線(xiàn)4G和8。所成角，

又AC=HC=A4，..VABC是等i力三角形，???/瓦。=60。，

過(guò)C作直線(xiàn)/的平行線(xiàn)則當(dāng)/'與/a。的角平分線(xiàn)重合時(shí)，a取得最小值30。.

故選：C

二、填空題

8.已知正三棱柱AB。-。為”WC的外心，則異面直線(xiàn)AG與OB所成角的大小為

【答案】

【分析】根據(jù)異面直線(xiàn)夾角的定義結(jié)合線(xiàn)面垂直分析求解.

【詳解】延長(zhǎng)8。交AC于點(diǎn)”，

因?yàn)闉檎切?，則點(diǎn)”為AC的中點(diǎn)，可得8WJ.AC,

又因?yàn)榻?平面4BC,平面ABC,可得BA/J.AA，

且ACAAA=4,AC,AA,U平面ACGA，可得平面ACGA，

由于A(yíng)GU平面ACGA，所以BMJLAG，即OBIAG，

所以異面直線(xiàn)AG與。3所成角的大小為

故答案為：--

9.如圖，在三棱錐P—A3C中，24_L底面A8C,Z4CB=90°,且AC=BC=PA=2,M是尸"的中點(diǎn),

則AM與平面尸8c所成角的正弦值是.

P

【答案】近R加

33

【分析】根據(jù)圖形特征，取尸C中點(diǎn)。，連接4ROM,通過(guò)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)與判定得到AO1面2CB,因

而NAW是AM與平面P8C所成角，再通過(guò)相關(guān)計(jì)算，在直角三角形中計(jì)算其正弦值即可.

【詳解】如圖，取PC中點(diǎn)O,連接AQOM,

因?yàn)槎鳤BC,ACu面A8C,

所以B4_LAC,

又因?yàn)锳C=E4=2,

所以At)_LPC,

因?yàn)槭珹_1_面ABC,ACuiEABC,

所以PA_LAC,

又因?yàn)镹AC8=90。，所以8C_LAC,

因?yàn)镻AACu面尸AC,PAAC=A,

所以8c工面PAC,

因?yàn)锳Du面PAC,

所以8C_LA0,

因?yàn)镻CBCu面PCB,PCcBC=C

所以AD_L面尸C8,

所以/AMD是AM與平面PBC所成角，

因?yàn)槿鏙.4C,AC=PA=2,

所以4。=專(zhuān)=&,

由已證知，BC_Z面PAC,因?yàn)锳Cu面PAC,

所以BC±AC,

所以AB=JAC2+8C2=2后

因?yàn)槭珹J_面ABC,A8u面A8C,

所以B4_LAB,

所以P3=JPT+482="7^=2"

所以AM=“8=G,

由已證知，4。_1_面夕。4,

又因?yàn)镺Mu面PC4,所以AO_LZW

所以sinNAMD==率=—.

AM石3

即AM與平面P8C所成角的正弦值是遠(yuǎn).

故答案為：如

3

10.長(zhǎng)度為15cm的線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)到平面。的距離分別為3cm和12cm,且這兩個(gè)端點(diǎn)都在平面。的同一側(cè),

則這條線(xiàn)段所在直線(xiàn)與平面。所成角的正弦值為.

3

【答案】1/0.6

【分析】根據(jù)線(xiàn)面夾角的定義分析運(yùn)算.

【詳解】如圖所示，設(shè)線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)A4在平面a的投影分別為co,連接AC8ACO,

則AC=3,B￡>=12,A5=15,

在線(xiàn)段8。上取點(diǎn)E,使得OE=38石=9,連接CE,

因?yàn)锳C〃QE,AC=DEf則ACEO為平行四邊形，可得AB〃CE,AB=CE=\5

則線(xiàn)段A3所在直線(xiàn)與平面。所成角的即為線(xiàn)段CE所在直線(xiàn)與平面。所成角N7)CE,

所以這條線(xiàn)段所在直線(xiàn)與平面a所成角的正弦值sinNOCE=IDgE==9=:3

CE155

三、解答題

11.如圖，在三棱柱ABC-A4G中，面為正方形，面例GC為菱形，NC4A=60。側(cè)面AAGCJL

面A83M.

⑴求證：從61面。14；

⑵求二面角C-BB1-A的余弦值.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑵乎

【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理和線(xiàn)面垂直的判定定理即可得證.

(2)過(guò)C作CWLAA于〃，過(guò)〃作于K,連接CK,利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理得出NCKH為二

面角C-BB.-A的平面角，在□△C77K中直接求解即可.

【詳解】(1)由菱形A4.G?？傻?1G，AC,

面AAGC，面4陰A，面AAGC面人網(wǎng)4=44，

又正方形A34A中44，相1,

.?.A4_1面44,。。，又AGu平面A41GC,A.B.A.AC,,

AB|AC=A，AA，ACU平面CAiBl,ACtJL面CA81.

(2)過(guò)C作C〃1A4,于〃，則C”J_面

過(guò)H作HK工BBI于K,連接CK,

因BB,u平面ABB,A,,則CH1陰，

又CH,HKu平面CHK,CHHK=H,故BBJ平面CHK,

又CKu平面CHK,所以

故/CK〃為二面角C-BB1-A的平面角，

在RtaC/ZK中，設(shè)AC=a,AA,=AB=a,ZCA4,=60°,

:.CH=叵，HK=AB=a,CK=slcH2+HK2=—,

22

cosZ.CKH==—

\/7a7?

~T

即二面角C-BBX-A的余弦值為硬.

BKB、

12.如圖，48是圓。的直徑，點(diǎn)P在圓。所在平面上的射影恰是圓。上的點(diǎn)C,且4c=28C,點(diǎn)、D是PA

的中點(diǎn)，PO與交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是PC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

p

A

⑴求證：BC-LPA；

⑵求二面角3—PC-O平面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

(2)與

【分析】（1）通過(guò)證明8cl平面PAC來(lái)證得8C_ZQ4；

（2）判斷出二面角"-長(zhǎng)-。平面角，解直角三角形求得其余弦值；

【詳解】（1）證明：點(diǎn)尸在圓0所在平面上的射影恰是圓。上的點(diǎn)C,二夕。，平面A3C,

BCu平面A8C,BC上PC,

又A8是圓。的直徑，有8CJ.AC,旦PCcAC=C,PC,ACu平面P4C,

所以8C工平面P4C,又Q4u平面PAC,所以8CJ.P4.

（2）尸C_L平面人BC,0coeu平面48c,所以尸C_Lbr,PC±OC,

??.“CO為二面角8-尸C-O的平面角.

設(shè)AC=2BC=2,則43=有，OA=OB=OC=—f有NBCO=NOBC,NBCO為銳角,

2

在直角.ABC中可得cosNABC=空=；=￡,故cos/BCO=在，

ABV555

故二面角8-PC-O平面角的余弦值為李.

13.如圖，正三棱柱ABC-ABC中，瓦尸分別是棱8月上的點(diǎn)，A,E=BF=^AAi.

B

（1）證明：平面C$_L平面ACGA；

⑵若AC=AE=2,求二面角￡—C/—G的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵手

4

【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求解兩個(gè)平面的法向量，利用法向量證明面面垂直;

（2）求出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量的夾角求出二面角的余弦值.

【詳解】（1）證明：取3。的中點(diǎn)0,連接04,

在正三棱柱八BC-A與G中，不妨設(shè)4B=2a?/V\=3；

以。為原點(diǎn)，08,04分別為x軸和V軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則C（-4U,U）,月8,6。,0）,尸（4,0,1）,&（0,&42）,

CT=(23(),1),CE=(?島,2),。上a、0),CC；=(0,0,3)；

n-CF=02ax+z=0

設(shè)平面C￡F的一個(gè)法向量為〃=（X,y,z）,則

n-CE=0ax+\[3ay+2z=0

取尸一1,貝!11y=-6,z=2a,即〃二（一1,一石,2。）；

m?C4=0

設(shè)平面4CCA的一個(gè)法向量為〃?=（N，y,zJ,則，

m-CCj=0'

即卜匚f孫二°，取,一得，"=（石1，。）.

3Z1—U

因?yàn)閙?〃=-出+4=0，所以平面CE￡_L平面ACGA；

（2）因?yàn)?c=AE=2,由（1）可得。=1,即〃=（一1,一6,2）,

易知平面CTG的一個(gè)法向量為。4=（0,6,0）,

nOA-3

cos(〃,O4)=1工仁=--

\/聞例限64，

二面角E-CF-C,的余弦值為業(yè).

4

14.如圖所示，平面平面ABC。，四邊形A￡7方為矩形，I3C//AD,AB1AD,AE=AD=2AB=4,

BC=2.

⑴求多面體ABCDEF的體積;

（2）求二面角CO—A的余弦值.

40

【答案】（1）5

⑵;

【分析】（1）通過(guò)割補(bǔ)法，結(jié)合錐體體積計(jì)算公式求得正確答案.

（2）作出二面角歹-C0-A的平面角，進(jìn)而計(jì)算出其余弦值.

【詳解】（1）如圖，連接3。，

團(tuán)四邊形4EFB為矩形，

0AE1AB,I3F±AB,

（3平面48石對(duì)平面ABCD,平面ABMn平面A8CO=48,

AEu平面A8ER班'u平面ABE尸,

(MWffiABCD,8咫平面/WS

回ADu平面ABC。,

^AELAD,

又ADIAB,ABnAE=A,人民斗石匚平面人石「火，

MP0平面AE/次

1132

?%校徘。-八國(guó)=ZS矩形AEFB'A。=-x4x2x4=—,

JJJ

BBC//AD,ABLAD,

mAB.LBC.

?]j8

0VElSi#F-HCD=75BC/r^F=TX-X2X2X4=-?

團(tuán)多面體A8CDE/的體積為

_32840

VV+V

^mMCDEF=Vn^D-AEFB-:極鏘F-BCD=+=?

(2)如圖，過(guò)4作AGJ_C。交。C的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,連接尸G,

BFWffiABCD,￡>Gu平面A8CO,

團(tuán)。施戶(hù)73,

又D5BG,BGcFB=B,BG,FBu平面FBG,

團(tuán)。電平面FBG,

回凡;u平面五8G,

0DG0FG,

00FGB為二面角F-CD-A的平面角，由題意得ZADC=45°,

BBC//AD,

0ZfiCG=45°,

在R/0F9G中，F(xiàn)B^AE-4,BG=BCsm45c=應(yīng),

0FG=VFB2+BG2=y/42+（x/2）2=3立，

1

0cosZFG?=—=",

FG3

自二面角F-CD-A的余弦值為g.

15.如圖，已知點(diǎn)。是正方形43co所在平面外一點(diǎn)，M,N分別是PC的中點(diǎn).

⑴求證：MN//平面%D；

⑵若中點(diǎn)為Q,求證：平面MNQ〃平面以D.

⑶若雨（3平面A3CQ,AB=PA=2,求直線(xiàn)M與面布。所成的侑.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵證明見(jiàn)解析

⑶45。

【分析】（1）利用三角形的中位線(xiàn)可.得線(xiàn)線(xiàn)平行，進(jìn)而由線(xiàn)面平行的判斷即可求證，

（2）由線(xiàn)面平行即可求證，

（3）利用線(xiàn)面垂直得線(xiàn)線(xiàn)垂直，進(jìn)而可由幾何法求解線(xiàn)面角，即可由三角形的邊角關(guān)系求角大小.

【詳解】（1）取尸。的中點(diǎn)七，連接AE,NE,

因?yàn)镹是PC的中點(diǎn)，所以NE〃DC且NE=；DC,

又必是48的中點(diǎn)，ABC。是正方形，所以AM〃衣且AM=!AB=1OC,

22

所以NE〃AM且NE=AM,

所以四邊形4WNE為平行四邊形，所以MN//AE,

又MN（Z平面見(jiàn)D,AKu平面以。，所以MN//平面%D.

（2）因?yàn)椤镻B的中點(diǎn)，M是A8的中點(diǎn)

所以MQ〃AP,又MQ（Z平面辦D,APu平面附D,所以MQ〃平面附D,

又A/N〃平面附￡>,MQcMN-M,MQ,MNu平面MNQ,

所以平面用NQ〃平面%D.

（3）因?yàn)楦交仄矫鍭BCQ,EAu平面以Q,

所以平面以。3平面ABCD,

又ABCD為正方形，所以人HMD,A4u平面ABC。，平面孔Wc平面ABCO=AO,

所以A碗平面PAD,

所以融出即為直線(xiàn)與面以。所成的角，乂A3=%=2,所以她以為等腰直角三角形，所以她以=45。,

即直線(xiàn)尸8與面以。所成的角為45。.

16.如圖，在四棱錐P-A3C/）中，四邊形A8CO是邊長(zhǎng)為2的正方形，AC與BD交于點(diǎn)0,A4_L[SABC。,

且R4=2.

⑴求證401平面PAC.；

⑵求P。與平面P4C所成角的大小.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）30

【分析】（1）由4C/4。，因?yàn)?，平面A8CO,得到R4_L3D,結(jié)合直線(xiàn)與平面垂直的判定定理，即可

證得8。/平面「AC；

（2）連接PO,得到NOPO為尸￡>與平面尸AC所成的角，在直角.OPO中，即可求得尸。與平面尸AC所成

的角.

【詳解】（1）解:因?yàn)锳8C。是正方形，所以AC/8O,

又因?yàn)?%_L平面AHA,8￡>u平面ASC￡>,所以/M_L以）,

因?yàn)镻AAC=A,2Au平面PAC,ACu平面PAC,

所以BD_Z平面PAC.

(2)解：連接PO,因?yàn)?。_Z平面BAO,所以NOPO為P。與平面PAC所成的角,

因?yàn)?5=24=2,所以PO=娓,DO=g,

在直角DPO中,tanZDPO=—=^=—,

POR3

所以NZ)PO=30,即尸。與平面PAC所成的角為30.

提升題型訓(xùn)練

一、多選題

1.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，ZAFB=120°,E4=2,點(diǎn)C在底面圓周上，且

二面角尸一AC—O為45。，則().

A.該圓錐的體積為冗B.該圓錐的側(cè)面積為467c

C.AC=20D.ZXPAC的面積為名

【答案】AC

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.

【詳解】依題意，ZAPB=120°,PA=2,所以O(shè)尸=1,04=08=6,

A送項(xiàng)，圓錐的體積為:XTTX(G)xl=7C,A選項(xiàng)正確;

B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為兀xgx2=267t,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)，設(shè)。是AC的中點(diǎn)，連接

則AC_LO￡>,AC_LPO,所以NP3是二面角P—AC—O的平面角,

則/尸DO=45。，所以O(shè)P=8=1,

故AQ=CQ=G^F=&,則AC=2夜，C選項(xiàng)正確;

D選項(xiàng)，PD=正+12=叵，所以S丹仁=Jx2&x0=2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2.已知點(diǎn)尸是空間中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，正方體棱長(zhǎng)為2,下列結(jié)論正確的是（）

A.若動(dòng)點(diǎn)。在棱48上，則直線(xiàn)4。與始終保持垂直

B.若動(dòng)點(diǎn)P在棱AB上，則三棱錐G-APC的體積是定值

C.若動(dòng)點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)AC上，當(dāng)點(diǎn)P為AC中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)與平面4BCO所成的角最小

D.若動(dòng)點(diǎn)P在四面體AC內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)P與該四面體四個(gè)面的距離之和為定值

【答案】ABD

【分析】根據(jù)立體兒何相關(guān)定理逐項(xiàng)分析.

【詳解】對(duì)于A(yíng),連接如圖：

D,G

則BC~L8G，A8_L平面8c=8,48u平面48coi,BJu平面A8CQ1,

.?.8C~L平面ABGA，。/<=平面48。1。，二4。，。/,正確;

對(duì)于B,如圖:

連接PC,PC，DC，則三棱錐G-RPC的體積等于三棱錐P-CGA的體積,

.?.A8//平面8AG，點(diǎn)P到平面8RG的距離=8C為定值，即三棱錐P-CGA的高為定值，底面三角形

C〃G的面積為定值，

所以三棱錐尸-CGA的體積為定，直，正確；

對(duì)于C,連接。P,如圖：

設(shè)直線(xiàn)。/與平面/WCO的夾角為a,在R/RDP中，tana=部,當(dāng)P為AC的中點(diǎn)時(shí)，。尸最小，tana

最大，即。最大，錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)锳C=8C=gA=q。，四面體4C4A是正四面體，

本問(wèn)題等價(jià)于當(dāng)夕點(diǎn)在四面體S-A3c內(nèi)部時(shí)到各個(gè)面的距離之和為定值，如圖；

s

^S-ABC=^P-ARS+^P-ACS+^P-BCS+^P-ABC=§(4+力2+‘4+^4)S.，其中

%，%,%也是點(diǎn)P到四個(gè)面的距離,

.?.4+色+/4+區(qū)二%也，為定值，正確;

、ABC

故選:ABD.

3.如圖，在正四棱柱ABCO-AMGA中，底面邊長(zhǎng)AB=&，側(cè)棱長(zhǎng)M=退，尸為底面48CD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),

且A/與班彳所成角為30。，則下列命題正確的是（）

B.當(dāng)卅P〃平面A。。時(shí)，用P與平面ACQ的距離為日

C.直線(xiàn)C/與底面A8CO所成角的最大值為5

D.二面角P-AG-o的范圍是哈曰

【答案】AC

【分析】選項(xiàng)A根據(jù)A/與84所成角為30。求出AP=],從而確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡并求出長(zhǎng)度；選項(xiàng)B利用

等體積法即可求得；選項(xiàng)C根據(jù)直線(xiàn)與平面所成角的定義找到直線(xiàn)G2與底面ABC。所成角，再計(jì)算最大值

即可：選項(xiàng)D通過(guò)點(diǎn)尸在特殊位置時(shí)求出二面角尸-AG-力的平面角超出選項(xiàng)范圍進(jìn)行排除.

【詳解】正四棱柱A8CZ）-A4GA中，底面是正方形，側(cè)棱垂直于底面.

對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，因?yàn)镸84且A尸與BB1所成角為30。，所以AP與AA所成角也為30。.又M1AP,

，AP=A4,"tan30=1.

又?尸在底面A8CO內(nèi)，的軌跡為以A為圓心，1為半徑的圓周的四分之一，長(zhǎng)度為JX2T：X1=5.故選

項(xiàng)A正確;

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)與尸〃平面AG。時(shí)，e到平面ACQ的距離即為與平面4G。的距離.

VD.W=15WI-M=|X|XV2XV2XV3=^.

v_v一正

VD-A,B,C,~VB,-A,C,D~~,

在,AG。中，AD=GD=6AJ=2,AG邊上的高為2,

設(shè)4到平面AC。的距離為〃，則匕一^〃=,3.門(mén)/?=’乂,乂2>2乂/2=也，

個(gè)M】〃3323

解得〃=且.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

2

對(duì)于C選項(xiàng)，連接CQ,則線(xiàn)段CP為線(xiàn)段GP在底面A8CO的投影，故直線(xiàn)GP與底面A3CO所成角為

Z.PCXC,且tanZPCjC='^，

7T

由選項(xiàng)A可知，當(dāng)P為正方形A8CO中心時(shí)，CP最短為1,此時(shí)tan/尸CC最大為6,即NPCC=3?故選項(xiàng)

C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)〃在線(xiàn)段AS上時(shí)，AP=l,BP=&-1，

因?yàn)?AG。是等腰三角形，所以取AG中點(diǎn)o,連接。。，則。D1AG.

過(guò)。作PM〃AG交8。于點(diǎn)M,分別連接ARCM,則AP=GM=2,故四邊形4PMG是等腰梯形，取

PM中點(diǎn)N,則ON_LAG，所以NOON是二面角p-AG-D的平面角.

在四邊形APMG中，A2=GM=2，AG=2,PM=&PB=2-日故ON=叵.又BN=、PM="顯,

222

=z

故DN=2-(1-

2

由選項(xiàng)B知，OD=2.

4+--(l+-+x/2)

226-V2V2

在△DON中,由余弦定理得cosADON=

x/14

2ox2ox

2

所以〃ON*,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

4.兩個(gè)相交平面構(gòu)成四個(gè)二面角，其中較小的二面角稱(chēng)為這兩個(gè)相交平面所成角；在正方體中，不在同一

表面上的兩條平行的棱所確定的平面稱(chēng)為該正方體的對(duì)角面.則在某正方體中，兩個(gè)不重合的對(duì)角面所成角

的大小可能為（）

7171

AA.-BC.-兀C.-兀DC.一

6432

【答案】CD

【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)兩個(gè)相交平面所成角的定義確定兩個(gè)不重合的對(duì)角面所成角的可能大小即可.

【詳解】如圖：

平面ABCR與平面CD\B.的交線(xiàn)為EF,

因?yàn)锳E//BF,AE=B*,ABJ.AEt

所以四邊形為矩形，故AK_LQ,同理

所以ZA.EA為二面角\-EF-A的平面角,

又乙4,￡尸=90,所以二面角A「Ef-人的平面角為90,

由相交平面所成角的定義可得平面人與平面CD4冏所成的角的大小為90,

如圖（2）

TmBCDA與半囿ABCR的交線(xiàn)為叫,

因?yàn)?。，八"，AQJLAB,AO,A8u平面ABCQ,ADtnAB=A,

所以AQ_L平面A4GR,設(shè)4。AD、=N,

則AN_L平面A8CQ,過(guò)點(diǎn)N作NMJ.8A，

則”MN為二面角A.-BD.-A的平面角，

設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為〃，則AN=空，

因?yàn)镹ND\M=4BD、A"NMD\=￡BAD、=90,

MND.N

所以NMD、s8A0,所以二五二3，

ABUXD

也

所以的二軍

>J3a6

所以tan"MN=A^=6,又幺MV€（0,90）,

MN

所以NA,MN=60,

所以平面ABG。與平面CD4,B1所成的角的大小為60,

故選：CD.

5.如圖，在正方體48CQ-AMG。中，EEG分別為GO，C￡，A2的中點(diǎn)，則以下結(jié)論正鬧的是（）

DiEG

AB

A.A.E1CG

B.平面G〃Cc平面A28=4C

C.DE//平面GFC

D.異面直線(xiàn)A。與尸c所成角的余弦值是嚕

【答案】BCD

【分析】由題意可得出CG1GC-可判斷A；因?yàn)樗狞c(diǎn)G,RAC共面，所以平面GFCc平面他C￡)=AC可

判斷B；由線(xiàn)面平行的判定定理可判斷C；由異面直線(xiàn)所成角可判斷D.

【詳解】對(duì)于A(yíng),連接GG,易證AE//GG，因?yàn)镃G，平面44G

而GC]U平面A4G。，所以CC]_LGC],

所以在△GGC中，GG與GC不垂直，所以AECG不垂直，故A不正確;

對(duì)于B,連接ACAG，因?yàn)镋G分別為C￡,A4的中點(diǎn),

所以AG/A4C7/G戶(hù),所以四點(diǎn)G,凡AC共面,

所以平面G"Cc平面488=4。，故B正確；

對(duì)于C,連接GE,易證GE//AO,GE=A￡>,所以四邊形AOEG是平行四邊形,

所以ED//G4,所以平面GE4C,A