專題03 高二上期末真題精-選（人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)數(shù)列?？?3題 壓軸17題）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

專題03高二上期末真題精選（數(shù)列?？?5題壓軸17題）數(shù)列?？碱}考點(diǎn)01：等差數(shù)列通項(xiàng)的基本量計(jì)算考點(diǎn)02：等差數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)考點(diǎn)03：等差數(shù)列前項(xiàng)和基本量計(jì)算考點(diǎn)04：等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)考點(diǎn)05：等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量計(jì)算考點(diǎn)06：等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)考點(diǎn)07：等比數(shù)列前項(xiàng)和基本量計(jì)算考點(diǎn)08：等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)考點(diǎn)09：數(shù)列求通項(xiàng)考點(diǎn)10：數(shù)列求和之倒序相加法考點(diǎn)11：數(shù)列求和之分組求和法考點(diǎn)12：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法考點(diǎn)13：數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法數(shù)列壓軸題壓軸一：數(shù)列求和之分組求和（分類討論）壓軸二：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相加法壓軸三：數(shù)列不等式中的恒（能）成立問(wèn)題一、等差數(shù)列通項(xiàng)的基本量計(jì)算（共4小題）1．（23-24高二上·河南漯河·期末）等差數(shù)列中，，則其前100項(xiàng)和為（

）A．5050 B．10010 C．10100 D．11000【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得，再利用求和公式求解得答案【詳解】∵，∴，解得，所以.故選：C.2．（23-24高二下·河南·期末）已知等差數(shù)列滿足，且，則首項(xiàng)（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，且，所以，所以．故選：C．3．（23-24高二下·河南南陽(yáng)·期末）若是正項(xiàng)無(wú)窮的等差數(shù)列，且，則的公差的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】由表示出，然后由且可求出公差的取值范圍.【詳解】由，得，得，因?yàn)槭钦?xiàng)無(wú)窮的等差數(shù)列，所以，所以，得，即的公差的取值范圍是.故選：D4．（23-24高二下·四川成都·期末）記Sn為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．2 B．3 C．10 D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】先根據(jù)等差數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)即得.【詳解】是等差數(shù)列，可得,所以.故選：A.二、等差數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)（共4小題）1．（23-24高二下·河南信陽(yáng)·期末）數(shù)列滿足，已知，則的前19項(xiàng)和（

）A．0 B．8 C．10 D．19【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】判斷等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的應(yīng)用、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】由等差中項(xiàng)得到數(shù)列為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的性質(zhì)得到，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式結(jié)合等差中項(xiàng)得到【詳解】因?yàn)榧?，所以?shù)列為等差數(shù)列，因?yàn)榍?，所以，得，所?故選：A.2．（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】先通過(guò)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，再利用基本不等式中1的妙用來(lái)求解最值即可.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”號(hào).故選：B.3．（23-24高二上·陜西西安·期末）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A．8 B．12 C．18 D．24【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】直接由等差數(shù)列性質(zhì)以及求和公式即可得解.【詳解】由題意，解得，所以.故選：D.4．（多選）（23-24高二上·河南商丘·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，無(wú)論首項(xiàng)和公差如何變化，始終是一個(gè)定值，則下列各數(shù)也為定值的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)和求和公式可知是定值，再理由等差數(shù)列性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，若始終是一個(gè)定值，所以是定值，故B正確；又因?yàn)?，，所以與也為定值，所以C，D正確；沒(méi)有足夠條件判斷A，故A錯(cuò)誤；故選：BCD．三、等差數(shù)列前項(xiàng)和基本量計(jì)算（共3小題）1．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式基本量運(yùn)算，最后求出即可.【詳解】因?yàn)?，所?所以.故選：A.2．（多選）（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)取得最大值時(shí)， D．【答案】CD【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值、等差數(shù)列的單調(diào)性【分析】設(shè)出公差，利用等差數(shù)列求和公式得到，，，，從而對(duì)選項(xiàng)一一判斷，得到答案.【詳解】ABD選項(xiàng)，設(shè)的公差為，，故，，故，所以，且，，即是遞減數(shù)列，AB錯(cuò)誤，D正確.C選項(xiàng)，由于是遞減數(shù)列，，，故當(dāng)取得最大值時(shí)，，C正確.故選：CD3．（23-24高三上·河北·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．【答案】110【知識(shí)點(diǎn)】利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)得，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?10.四、等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)（共6小題）1．（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．30 B．26 C．56 D．42【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】先通過(guò)求出，再利用求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為由已知，則，得，.故選：D.2．（23-24高二上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及其性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A3．（23-24高二上·黑龍江牡丹江·期末）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列前n項(xiàng)和的其他性質(zhì)及應(yīng)用、兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題【分析】根據(jù)，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，構(gòu)造出符合題意的一組與的通項(xiàng)公式，再進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列、都是等差數(shù)列，顯然兩個(gè)數(shù)列都不是常數(shù)列，，因?yàn)榈炔顢?shù)列前項(xiàng)和公式為，所以不妨令為常數(shù)，且，所以時(shí)，，．，，，.故選：A4．（多選）（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列命題正確的有（

）.A．若為等差數(shù)列，則一定是等差數(shù)列B．若為等比數(shù)列，則一定是等比數(shù)列C．若，則一定是等比數(shù)列D．若，則一定是等比數(shù)列【答案】AC【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用、由定義判定等比數(shù)列【分析】根據(jù)等差數(shù)列的片段和性質(zhì)即可求解A，舉反例即可求解BD，根據(jù)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求解C.【詳解】對(duì)于A，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，則，同理可得，所以，所以，，仍為等差數(shù)列，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B,取數(shù)列為，1，，1，，，，不能成等比數(shù)列，故B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，由可得時(shí)，，相減可得（），由可得，因此對(duì)任意都成立，故是等比數(shù)列，C正確，對(duì)于D，由可得，相減可得，若，不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤．故選：AC．5．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.【答案】46【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等差數(shù)列片段和的性質(zhì)及應(yīng)用、利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)構(gòu)造等差數(shù)列，則由新數(shù)列的前兩項(xiàng)依次求解可得.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知成等差數(shù)列，即1，8，成等差數(shù)列，且公差為，所以，得.故答案為：.6．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比問(wèn)題【分析】利用計(jì)算可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?故答案為：.五、等比數(shù)列通項(xiàng)的基本量計(jì)算（共3小題）1．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則的公比是（

）.A．1 B．2. C．3 D．5【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差與首項(xiàng)的關(guān)系即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由成等比數(shù)列，得，整理得，則，所以的公比.故選：C2．（23-24高二下·廣西南寧·期末）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式求公比，再由等比數(shù)列求和公式可得首項(xiàng).【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，即，，，．故選：B．3．（23-24高二下·江西九江·期末）設(shè)是等比數(shù)列，且，則.【答案】32【知識(shí)點(diǎn)】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)題意可求得等比數(shù)列的公比，再根據(jù)，求得，即可求得答案.【詳解】設(shè)的公比為，則，由，得，解得，所以.故答案為：32六、等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)（共3小題）1．（23-24高二下·青?！て谀┰诘缺葦?shù)列中，，，則（

）A．64 B．128 C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【詳解】由題意得，得，則.由，得.所以.故選：B．2．（23-24高二下·貴州畢節(jié)·期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則等于（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】運(yùn)用等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)可解.【詳解】，則，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，知道,則，則，即，則.故選：C.3．（23-24高二下·陜西榆林·期末）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算即可.【詳解】由題意得.故答案為：3.七、等比數(shù)列前項(xiàng)和基本量計(jì)算（共3小題）1．（23-24高二上·浙江溫州·期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則．【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和以及等比數(shù)列基本量的計(jì)算可先算的公比，從而由即可得解.【詳解】設(shè)公比為，由題意，所以，又，所以，解得滿足題意，所以.故答案為：1.2．（23-24高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知數(shù)列滿足：，其前項(xiàng)和為，若，則.【答案】1【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算、等比數(shù)列的定義【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義，得到數(shù)列是公比為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列滿足，知，否則，與矛盾，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，又由，解得.故答案為：1.3．（22-23高三上·廣東肇慶·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.【答案】64【知識(shí)點(diǎn)】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式列出方程組，解出首項(xiàng)公比，根據(jù)通項(xiàng)公式求出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，首項(xiàng)為，由已知，可得，解得，所以，故答案為：64.八、等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)（共3小題）1．（多選）（23-24高二下·四川樂(lè)山·期末）在數(shù)列中，，，若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)λ的值可以是（

）A．1 B．0 C． D．【答案】AB【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題、累加法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】根據(jù)條件，利用累加法得到，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成恒成立，令，利用數(shù)列的單調(diào)性得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，又，所以，又時(shí)，滿足，所以，由，得到，令，則，當(dāng)時(shí)，，得到，當(dāng)時(shí)，，所以，又，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，得到，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，得到，所以，故選：AB.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于使恒成立，令，利用數(shù)列的單調(diào)性得到，再分取奇數(shù)和偶數(shù)，即可求解.2．（23-24高二下·陜西渭南·期末）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，，則的值為.【答案】35【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】由等比數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和的性質(zhì)得也是等比數(shù)列,運(yùn)算即可．【詳解】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，則也是等比數(shù)列．且，，所以，則，則．故答案為：．3．（23-24高二上·廣東·期末）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.【答案】28【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由題可知的公比不為，故成等比數(shù)列，列式即可求出答案.【詳解】由題可知的公比不為，故成等比數(shù)列，所以，因?yàn)椋獾?，故答案為?8九、數(shù)列求通項(xiàng)（共16小題）1．（23-24高二下·安徽·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．16 B．31 C．47 D．63【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)【分析】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，兩式相減化簡(jiǎn)得到，得到數(shù)列是等比數(shù)列，求得，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，可得，當(dāng)時(shí)，可得，即，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以.故選：C.2．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則．【答案】160【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列片段和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】利用等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)闉檎?xiàng)等比數(shù)列，所以也成等比數(shù)列，則，解得或（舍去），則，解得．故答案為：1603．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國(guó)古代很早就有研究成果，北宋大科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差級(jí)數(shù)求和的問(wèn)題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個(gè)貨物，第二層比第一層多3個(gè)，第三層比第二層多4個(gè)，以此類推，記第層貨物的個(gè)數(shù)為，則數(shù)列的前12項(xiàng)和.【答案】/0.375【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、累加法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】由題意可知，，，，……，所以，，，，當(dāng)時(shí)，上式也成立，故，，所以數(shù)列，.故答案為：4．（23-24高二下·上海寶山·期末）在數(shù)列中，，且，則.【答案】5【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算、累加法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】用累加法求解.【詳解】，，…，各式累加得.故答案為：5.5．（23-24高二上·河北滄州·期末）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且首項(xiàng)為1，，則．【答案】210【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】對(duì)原方程化簡(jiǎn)得，然后利用累乘法求解即可.【詳解】由已知，得，∵，∴，得，由累乘法得，∴,故答案為：210.6．（23-24高二上·內(nèi)蒙古·期末）在數(shù)列中，，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)數(shù)列遞推公式寫(xiě)出數(shù)列的項(xiàng)、由遞推數(shù)列研究數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】根據(jù)題設(shè)中的遞推公式特征選擇累乘法進(jìn)行賦值即可求得.【詳解】因，故有，即得，所以．故答案為：.7．（22-23高三上·遼寧葫蘆島·期末）在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】累乘法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】由題意可得，然后利用累乘法可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，……，，，所以，所以，因?yàn)?，所以符?hào)該式，故答案為：8．（23-24高二下·西藏拉薩·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，則【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列【分析】由已知可得數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，求出，從而可求出，再利用可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椴粷M足上式，所以.故答案為：9．（23-24高三下·四川·期末）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合變形等式，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項(xiàng).【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，則有，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：10．（23-24高二上·四川瀘州·期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】由，知，兩式作差，即可證明為等差數(shù)列，從而求出.【詳解】由題意,則，又，，，，，為等差數(shù)列，，，，，，故答案為：11．（23-24高二上·山東煙臺(tái)·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式【分析】根據(jù)的關(guān)系即可得，進(jìn)而根據(jù)構(gòu)造法可證明為等差數(shù)列，即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，相減可得，所以，又，所以故為等差數(shù)列，且公差為，首項(xiàng)為2，故，，故答案為：12．（23-24高二上·寧夏銀川·期末）數(shù)列中的前n項(xiàng)和，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則＝.【答案】192【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】利用的關(guān)系求出，進(jìn)而可得，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式求即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)不滿足上式，所以，設(shè)，則，所以.故答案為：192.13．（23-24高二下·遼寧錦州·期末）已知數(shù)列滿足，則.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式【分析】依題意可得，兩邊同除得到，即可得到是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可求出的通項(xiàng)，即可得解.【詳解】因?yàn)?，，則，因?yàn)椋@然，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，則.故答案為：14．（22-23高二上·廣東·期末）已知首項(xiàng)為2的數(shù)列對(duì)滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、由定義判定等比數(shù)列、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】構(gòu)造，得到是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到.【詳解】設(shè)，即，故，解得：，故變形為，，故是首項(xiàng)為4的等比數(shù)列，公比為3，則，所以，故答案為：15．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知數(shù)列滿足，，設(shè)，則；的最小值為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、確定數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)【分析】根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列求出，進(jìn)而求出及其的最小值.【詳解】由，得，而，則，因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；16．（23-24高一下·上?！て谀?shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)求解即得.【詳解】數(shù)列中，由，得，即，而，，于是數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，因此，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：十、數(shù)列求和之倒序相加法（共4小題）1．（21-22高二上·江西九江·期末）德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（

）A．96 B．97 C．98 D．99【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和【分析】令，利用倒序相加原理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C．2．（21-22高二下·廣東佛山·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，設(shè)函數(shù)，則，.【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】倒序相加法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】根據(jù)，作差即可求出的通項(xiàng)公式，再由的解析式及誘導(dǎo)公式得到，再利用倒序相加法求和.【詳解】解：由于，①，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，②，①②得：，所以，顯然時(shí)也成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)也成立，所以；根據(jù)函數(shù)，所以，，所以；所以．故答案為：；3．（21-22高二上·安徽六安·期末）已知函數(shù)，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則．【答案】/9.5【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、倒序相加法求和、等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)給定條件計(jì)算當(dāng)時(shí)，的值，再結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則，，同理，令，又，則有，，所以.故答案為：4．（21-22高三上·湖北鄂州·期末）設(shè)函數(shù)，定義，其中，，則.【答案】0【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算、倒序相加法求和、函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用【分析】由函數(shù)的解析式可得，由倒序相加法可得答案.【詳解】由題意，所以由

①則

②由①+②得所以故答案為：0十一、數(shù)列求和之分組求和法（共6小題）1．（23-24高二下·云南保山·期末）已知的前項(xiàng)和是，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）由遞推公式得，有，即可求解；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，分別由等差數(shù)列求和及裂項(xiàng)相消法求和即可．【詳解】（1）由①得，當(dāng)時(shí)，②，聯(lián)立①②得，所以有，因?yàn)?，所以．?）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，由（1）知?jiǎng)t，，綜上：．2．（23-24高二上·河南鄭州·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，且對(duì)任意的都有，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意列出方程組，解方程可求出，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出答案；（2）先求出，再由分組求和法求解即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由題意得解得數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由題意得，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，所以的通項(xiàng)公式為．．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．綜上所述，．3．（23-24高三上·湖北襄陽(yáng)·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）利用數(shù)列的前項(xiàng)和與的關(guān)系，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用并項(xiàng)求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，；兩式相減得：即：.所以：是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，故.（2）因?yàn)椋?，所以，所以?所以：.4．（23-24高二上·山東濟(jì)南·期末）已知等差數(shù)列，滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前2n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）由題意得，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；（2）由，代入求和即可.【詳解】（1）由已知，得，解得，故（2）由（1）得，所以，得．5．（23-24高二上·浙江溫州·期末）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】（1）直接由等差數(shù)列前和以及等差數(shù)列基本量的計(jì)算可得公差，由此即可得解；（2）直接由等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式分組求和即可得解.【詳解】（1）由題意，，因?yàn)?，解得，所以等差?shù)列的公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由題意，所以數(shù)列的前10項(xiàng)和.6．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線的圖象上．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1且公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)（）(2)【知識(shí)點(diǎn)】求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和、由Sn求通項(xiàng)公式【分析】（1）先求出，當(dāng)時(shí)，，再檢驗(yàn)是否符合；（2）利用分組求和求解.【詳解】（1）∵點(diǎn)在直線的圖象上，∴，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，又符合上式，∴（）（2）由題設(shè)可知?jiǎng)t十二、數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消法（共5小題）1．（23-24高二下·陜西西安·期末）在等差數(shù)列中，，，且12是，的等比中項(xiàng)．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、等比中項(xiàng)的應(yīng)用【分析】（1）先根據(jù)等比中項(xiàng)得出等式再結(jié)合等差數(shù)列基本量運(yùn)算即可；（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求出即可.【詳解】（1）由，得．因?yàn)?2是，的等比中項(xiàng)，所以，則，則．設(shè)的公差為d，則，故．（2）由（1）可知，則．2．（23-24高二下·遼寧葫蘆島·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等比數(shù)列，且，分別為數(shù)列第二項(xiàng)和第三項(xiàng).(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)，(3)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）首先根據(jù)公式，求通項(xiàng)公式，再根據(jù)定義證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）首先根據(jù)（1）的結(jié)果，計(jì)算數(shù)列的第2項(xiàng)和第3項(xiàng)，再根據(jù)等比數(shù)列基本量計(jì)算求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和；（3）根據(jù)前2問(wèn)可知，，再利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)也滿足；所以；又，所以是公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，于是又因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且分別為數(shù)列第二項(xiàng)和第三項(xiàng)，所以，則，，則，所以.（3）由已知，于是.3．（23-24高二下·遼寧本溪·期末）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，已知.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【知識(shí)點(diǎn)】利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）根據(jù)條件式結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得出，進(jìn)一步得出的二元一次方程，解出即可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，進(jìn)一步得出，再采用裂項(xiàng)法即可求得.【詳解】（1）由，得，又，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，故的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可知，所以，故.4．（23-24高二下·福建福州·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）由題意，根據(jù)計(jì)算即可求解；（2）由（1）得，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法計(jì)算可得，即可證明.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闀r(shí)，，滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2），，因?yàn)椋?5．（23-24高二上·浙江麗水·期末）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式【分析】（1）利用變形整理可得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】（1）由題意知：且，兩式相減，可得，，可得，又，當(dāng)時(shí)，，即，解得或（舍去），所以，從而，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由，可得，所以.十三、數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法（共5小題）1．（23-24高二下·湖南·期末）數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列滿足：.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)記數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【知識(shí)點(diǎn)】由定義判定等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法求和、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合數(shù)列第項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系變形，再利用等比數(shù)列定義推理即得.（2）由（1）求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和即得.【詳解】（1）由時(shí)，，知數(shù)列是等差數(shù)列，由得，知數(shù)列的公差為1，則，，當(dāng)時(shí)，，且也滿足上式，，，由為定值，知數(shù)列是等比數(shù)列.（2）易得，則則兩式相減得，化簡(jiǎn)得.2．（23-24高二上·江蘇南京·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，其中．(1)證明為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【知識(shí)點(diǎn)】錯(cuò)位相減法求和、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式、由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）由數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，可得所求；（2）利用數(shù)列的錯(cuò)位相減，可得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，由，得，作差得.所以有，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以，故（2）令所以，，兩式作差得所以3．（23-24高二上·江蘇南京·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法求和、由定義判定等比數(shù)列、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）對(duì)已知等式分解因式化簡(jiǎn)可得，則數(shù)列是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，從而可求出其通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后利用錯(cuò)位相減法可求出.【詳解】（1）由，得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以?shù)列是以3為公比，3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）得，所以，所以，所以，所以.4．（23-24高二下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）在數(shù)列中，.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)若，求的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列、錯(cuò)位相減法求和、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和、分組（并項(xiàng)）法求和【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義結(jié)合已知條件證明即可；（2）由（1）可求得，則，然后利用分組求和法與錯(cuò)位相減法可求出【詳解】（1）.則是以1為首項(xiàng)2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，，，∴，設(shè)的前項(xiàng)和令①，②，①②得，，∵，.5．（23-24高二下·遼寧大連·期末）已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】(1);(2).【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、錯(cuò)位相減法求和、由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式【分析】（1）利用取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列來(lái)求通項(xiàng)；（2）利用錯(cuò)位相減法來(lái)求和.【詳解】（1）由，兩邊取倒數(shù)得：，可得：是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為3，所以通項(xiàng)為，即；（2）由得：，,則兩式相減得：，，，即.壓軸一：數(shù)列求和之分組求和（分類討論）（共4小題）1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意正整數(shù)n都有．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，（），若且，求集合A中所有元素的和．【答案】(1)(2)135【知識(shí)點(diǎn)】累加法求數(shù)列通項(xiàng)、分組（并項(xiàng)）法求和、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和【分析】（1）利用累加法可得答案；（2）求出，，由，得，，…，滿足題意，得，，，，滿足題意，從而求得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，可得，即；?），當(dāng)n為偶函數(shù)，，，，∴，則，，…，滿足題意，，，∴，，，，滿足題意，∴A中所有元素和為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)解題的關(guān)鍵點(diǎn)是分、求和，再求滿足條的.2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知數(shù)列，滿足的前項(xiàng)和，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)【分析】（1）通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.（2）利用求得，分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況，分組求和求出，再利用求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，檢驗(yàn)是否符合，最終確定的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）由題可知：，將化為,可得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由題，，則，兩式相減可得，即，整理得，所以；令，可得，即，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得：①；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得：，②；結(jié)合①②可得：，則，且滿足上式，綜上所述，【點(diǎn)睛】利用求數(shù)列的通項(xiàng)公式,檢驗(yàn)是否符合；分組求和，討論為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況.3．（22-23高三上·山東青島·期末）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，，______.給出下列兩個(gè)條件：條件①：數(shù)列和數(shù)列均為等比數(shù)列；條件②：.試在上面的兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上，完成下列兩問(wèn)的解答：（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，求.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等比中項(xiàng)的應(yīng)用、分組（并項(xiàng)）法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)【分析】（1）選擇條件①：先由為等比數(shù)列結(jié)合等比中項(xiàng)列出式子，再設(shè)出等比數(shù)列的公比，通過(guò)等比數(shù)列公式化簡(jiǎn)求值即可得出答案；選擇條件②：先由得出，兩式做減即可得出，再驗(yàn)證時(shí)即可利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得出答案；（2）通過(guò)得出，兩式相減結(jié)合已知即可得出，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別都成公差為4的等差數(shù)列，將轉(zhuǎn)化即可得出答案.【詳解】（1）選條件①：數(shù)列為等比數(shù)列，，即，，且設(shè)等比數(shù)列的公比為，，解得或（舍），，選條件②：，，即，由①②兩式相減得：，即，令中得出也符合上式，故數(shù)列為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，則，（2）由第一問(wèn)可知，不論條件為①還是②，都有數(shù)列為首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，即，則，，，，由③④兩式相減得：，即，數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，則，則數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別都成公差為4的等差數(shù)列，，即，數(shù)列前2n項(xiàng)中的全部偶數(shù)項(xiàng)之和為：，則.4．（21-22高三上·天津河西·期末）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，成等比數(shù)列，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列和通項(xiàng)公式；(2)求的值；(3)證明【答案】(1)，；(2)－5000；(3)證明見(jiàn)解析.【知識(shí)點(diǎn)】分組（并項(xiàng)）法求和、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出關(guān)于和d的方程組即可求出；構(gòu)造數(shù)列為等比數(shù)列，即可求出；(2)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求和即可；(3)先求出，再求和即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式.∵，∴，即，又，∴是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，∴.（2）當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，，∴.（3），∴，當(dāng)時(shí)，，∴.壓軸二：數(shù)列求和之裂項(xiàng)相加法（共6小題）1．（23-24高二下·天津·期末）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，是等比數(shù)列，，求，(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)，求的值.【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、分組（并項(xiàng)）法求和、等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，然后根據(jù)已知條件列方程組可求出，從而可求出數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）由（1），利用并項(xiàng)求和法可求出，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，令，求出的最大值即可；（3）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】（1）解：根據(jù)題意設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，解得或（舍去），所以；?）解：由（1）知，所以，由，得，所以對(duì)恒成立，令，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，，所以最大，所以；（3）由（1）知，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的綜合問(wèn)題，考查分組求和與裂項(xiàng)相消求和法，考查數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題，第（2）問(wèn)解的關(guān)鍵是求出后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，再次轉(zhuǎn)化為求出的最大值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題.2．（23-24高二上·浙江金華·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若數(shù)列滿足，求證：【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、分組（并項(xiàng)）法求和、由Sn求通項(xiàng)公式【分析】（1）由，利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和關(guān)系求解；（2），利用裂項(xiàng)相消法求解.（3）由，利用分組求和法求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，．①，②，①-②得：，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以；（2），，，．（3），③，④③-④得：，，，，．故.3．（23-24高二上·江蘇南通·期末）已知數(shù)列滿足，，且數(shù)列是等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和【分析】（1）根據(jù)題意，求得數(shù)列的公差，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且數(shù)列滿足，，設(shè)數(shù)列的公差為，則，所以，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）解：由（1）知，可得，所以.4．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和、判斷等差數(shù)列【分析】（1）根據(jù)條件可得數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，即可求出結(jié)果；（2）由（1）可得，再利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由，可得，又，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，得到．（2）由（1）可知，故．5．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算【分析】（1）設(shè)公比為，根據(jù)已知求出，再求；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.【詳解】（1）設(shè)公比為，因?yàn)?，所以，又，解得，所以；?）由（1）知，則，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.6．（23-24高二上·湖北武漢·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法求和、利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)、寫(xiě)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系、等比數(shù)列的定義即可解答.（2）利用裂項(xiàng)相消求和法即可求解.【詳解】（1）由，，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，整理得，即.，當(dāng)時(shí)上式也成立.數(shù)列是以首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，即.（2），.壓軸三：數(shù)列不等式中的恒（能）成立問(wèn)題（共7小題）1．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知等差數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、裂項(xiàng)相消法求和、數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由已知可得，利用裂項(xiàng)相消法可求出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：由已知可得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，.（2）證明：，所以，.故對(duì)任意的，.2．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知等差數(shù)列滿足，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，求正整數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)11【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、求等差數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列不等式能成立（有解）問(wèn)題【分析】（1）由等差數(shù)列基本量的關(guān)系列方程組即可求解.（2）首先得，由等差數(shù)列求和公式求，列不等式組即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，，故．（2）由（1）可得，則，所以，則數(shù)列是等差數(shù)列，故．因?yàn)?，所以，所以，所以或．因?yàn)?，所以的最小值?1．3．（22-23高二下·天津·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且；等差數(shù)列前項(xiàng)和為滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)設(shè)，若，對(duì)任意的正整數(shù)都有恒成立，求的最大值.【答案】(1)，(2)(3)2【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算、由Sn求通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)相消法求和、數(shù)列不等式恒成立問(wèn)題【分析】（1）根