專題07 等差數(shù)列與等比數(shù)列（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 13個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講

清單07等差數(shù)列與等比數(shù)列（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】等差數(shù)列的有關(guān)概念一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示．【清單02】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【清單03】等差數(shù)列的四種判斷方法和兩種證明方法(1)定義法（或者）(是常數(shù))是等差數(shù)列．(2)等差中項(xiàng)法：()是等差數(shù)列．(3)通項(xiàng)公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．（可以看做關(guān)于的一次函數(shù)）(4)前項(xiàng)和公式：(為常數(shù))是等差數(shù)列．(可以看做關(guān)于的二次函數(shù)，但是不含常數(shù)項(xiàng)）提醒;證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,只能用定義法或等差中項(xiàng)法【清單04】等差數(shù)列的性質(zhì)①②若，則（特別的，當(dāng)，有）【清單05】等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式1、首項(xiàng)為，末項(xiàng)為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式2、首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式【清單06】等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)(1)若數(shù)列是公差為的等差數(shù)列,則數(shù)列也是等差數(shù)列,且公差為(2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項(xiàng)和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列(3)在等差數(shù)列，中，它們的前項(xiàng)和分別記為則(4)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，。(5)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為,則，，，【清單07】等比數(shù)列的概念一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示()符號(hào)語言（或者）(為常數(shù)，，)【清單08】等比數(shù)列的判斷（證明）1、定義：（或者）（可判斷，可證明）2、等比中項(xiàng)法：驗(yàn)證（特別注意）（可判斷，可證明）3、通項(xiàng)公式法：驗(yàn)證通項(xiàng)是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)（只可判斷）【清單09】等比數(shù)列常用性質(zhì)設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和．（1）(2)若，則，其中.特別地，若，則，其中.【清單10】等比數(shù)列前項(xiàng)和公式若等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,則它的前項(xiàng)和【清單11】等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,關(guān)于的性質(zhì)?？嫉挠幸韵滤念?(1)數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列(2)當(dāng)是偶數(shù)時(shí),;當(dāng)是奇數(shù)時(shí),(3)【考點(diǎn)題型一】判斷數(shù)列是否為等差（等比）數(shù)列核心方法：定義法【例1】（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，以下命題正確的個(gè)數(shù)有（

）①若，則為等比數(shù)列；②若，則為等比數(shù)列；③若，則為等比數(shù)列.A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式1-1】（多選）（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列【答案】BCD【變式1-2】（多選）（2024·江西九江·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．是等差數(shù)列【考點(diǎn)題型二】證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列核心方法：定義法【例2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由；(2)若在數(shù)列中，，且，則判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，并說明理由.【變式2-1】（23-24高二下·北京懷柔·期中）在數(shù)列中，已知，且(1)求，的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式2-2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）若數(shù)列滿足，且．證明：數(shù)列為等比數(shù)列．【考點(diǎn)題型三】等差（等比）數(shù)列的單調(diào)性核心方法：作差法【例3】（24-25高二上·北京）已知等差數(shù)列的公差為，則“”是“數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-1】（24-25高二上·上?！て谥校?shù)列是等比數(shù)列，公比為，“”是“數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列”的（

）條件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分也非必要【變式3-2】（24-25高二上·陜西西安）數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為q，則是“數(shù)列遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-3】（24-25高三上·上?！ら_學(xué)考試）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)表示的前項(xiàng)和，若數(shù)列是嚴(yán)格增數(shù)列，則的公差取值范圍是.【考點(diǎn)題型四】求等差（等比）數(shù)列中的最大項(xiàng)核心方法：【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的最大項(xiàng)為，求的值．【變式4-1】（24-25高二上·江蘇無錫）數(shù)列是等差數(shù)列，，數(shù)列滿足，，設(shè)為的前項(xiàng)和，則當(dāng)取得最大值時(shí)，的值等于（

）A．9 B．10 C．11 D．12【變式4-2】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，則的最小值為．【變式4-3】（24-25高二·全國）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且(1)證明：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(3)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出為何值時(shí)，取得最小值，并說明理由．【考點(diǎn)題型五】等差數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)核心方法：若，則（特別的，當(dāng)，有）【例5】（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）若數(shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，且，則的最小值為【變式5-1】（2024·四川瀘州·一模）為等差數(shù)列，若，，那么取得最小正值時(shí)，的值（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25高二上·福建龍巖·期中）公差不為0的等差數(shù)列中，，則的值不可能是（

）A．9 B．16 C．22 D．25【考點(diǎn)題型六】等比數(shù)列角標(biāo)和性質(zhì)核心方法：若，則（特別的，當(dāng)，有）【例6】（24-25高三上·安徽黃山·期中）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則等于（

）A． B． C．11 D．10【變式6-1】（24-25高三上·江蘇南京·期中）已知等比數(shù)列滿足，則的最小值為（

）A．48 B．32 C．24 D．8【變式6-2】（24-25高二上·甘肅·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且成等比數(shù)列，則.【考點(diǎn)題型七】等差（等比）數(shù)列前項(xiàng)和的基本量計(jì)算核心方法：前項(xiàng)和公式【例7】（24-25高二上·甘肅張掖·階段練習(xí)）解決下列問題：(1)已知等差數(shù)列中，，，求及通項(xiàng)公式；(2)已知等比數(shù)列中，，，求及通項(xiàng)公式.【變式7-1】（24-25高二·全國·課堂例題）已知數(shù)列是等差數(shù)列．(1)若，，求；(2)若，，求；(3)若，，，求n．【變式7-2】（2024高二·全國·專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，（1）若，，，求和；（2）若，，求和；（3）若，，求和公比.【考點(diǎn)題型八】等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)（片段和性質(zhì)）核心方法：設(shè)等差數(shù)列的公差為,為其前項(xiàng)和,則，，，,…組成公差為的等差數(shù)列【例8】（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【變式8-1】（23-24高三上·河北·期末）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C． D．【變式8-2】（23-24高二上·天津·期末）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則.【考點(diǎn)題型九】等差數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)（兩個(gè)等差數(shù)列的比值）核心方法：已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，則.【例9】（24-25高二上·甘肅甘南·期中）等差數(shù)列，bn的前項(xiàng)和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．【變式9-1】（23-24高二下·湖北·開學(xué)考試）已知等差數(shù)列與的前項(xiàng)和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【變式9-2】（23-24高二下·安徽安慶·期中）設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則．【考點(diǎn)題型十】等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)（片段和性質(zhì)）核心方法：設(shè)等比數(shù)列的公比為，數(shù)列，，，,…組成公比為（）的等比數(shù)列【例10】（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則．【變式10-1】（24-25高三上·云南昆明·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，，則（

）A．550 B．520 C．450 D．425【變式10-2】（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．48 B．81 C．93 D．243【考點(diǎn)題型十一】等比數(shù)列前項(xiàng)和性質(zhì)（奇偶項(xiàng)和性質(zhì)）核心方法：設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)是偶數(shù)時(shí),;當(dāng)是奇數(shù)時(shí),【例11】（2024高二·全國已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，所有項(xiàng)之和為所有偶數(shù)項(xiàng)之和的倍，前項(xiàng)之積為，則（）A． B．C． D．【變式11-1】（24-25高二上·全國·單元測試）已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和1011，偶數(shù)項(xiàng)之和為2022，則這個(gè)數(shù)列的公比為（

）.A．8 B． C．4 D．2【變式11-2】（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列共有32項(xiàng)，其公比，且奇數(shù)項(xiàng)之和比偶數(shù)項(xiàng)之和少60，則數(shù)列的所有項(xiàng)之和是（

）A．30 B．60 C．90 D．120【考點(diǎn)題型十二】已知與（）的關(guān)系，求核心方法：【例12】（24-25高三上·江蘇鹽城·期中）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出它的通項(xiàng)公式；【變式12-1】（24-25高三上·遼寧沈陽·期中）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：【考點(diǎn)題型十三】數(shù)列中新文化題【例13】（23-24高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二（除以3余2），五五數(shù)之剩三（除以5余3），七七數(shù)之剩二（除以7余2），問物幾何？現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：已知正整數(shù)滿足五五數(shù)之剩三，將符合條件的所有正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最小值為（

）A．23 B． C． D．33【變式13-1】（24-25高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）高斯（Gauss）被認(rèn)為是歷史上最重要的數(shù)學(xué)家之一，并享有“數(shù)學(xué)王子”之稱.小學(xué)進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，他這樣算的：，，，，共有50組，所以，這就是著名的高斯算法，課本上推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法正是借助了高斯算法.已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試根據(jù)提示探求：若，則（

）A．1010 B．2024 C．1012 D．2020【變式13-2】（24-25高三上·天津·階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究做出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列，以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為1，3，7，13，則該數(shù)列的第15項(xiàng)為．提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·江蘇·期中）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（24-25高三上·江西·期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則的值為（

）A．4 B． C．1 D．3．（2024·河北石家莊·模擬預(yù)測）若數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·江蘇泰州·期中）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．1 B． C． D．5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，，則“”是“數(shù)列單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（24-25高二上·山東青島·期中）已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，，則使成立的的最小值為（

）A．9 B．8 C．7 D．67．（湖北省宜昌市協(xié)作體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C． D．8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．若為等差數(shù)列，且，，則，B．若為等差數(shù)列，且，，則，C．若為等比數(shù)列，且，則D．若為等比數(shù)列，且，則9．（24-25高三上·河南安陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B．C． D．10．（24-25高二上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)積為，并且滿足條件，.則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．的最大項(xiàng)為二、填空題11．（24-25高二上·甘