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2025屆湖北省襄陽(yáng)市等九地市高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)()的圖象過點(diǎn),則()A.函數(shù)的值域是 B.點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心C.函數(shù)的最小正周期是 D.直線是的一條對(duì)稱軸2.如圖,在中,,是上的一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.3.設(shè),隨機(jī)變量的分布列是01則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí),()A.減小,減小 B.減小,增大C.增大,減小 D.增大,增大4.已知函,,則的最小值為()A. B.1 C.0 D.5.設(shè)拋物線上一點(diǎn)到軸的距離為,到直線的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.36.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,過F作AF的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn),過B,C分別作AC,AB的垂線交于點(diǎn)D.若D到直線BC的距離小于,則該雙曲線的漸近線斜率的取值范圍是()A.B.C.D.7.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行,則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,則()A.2 B.5 C.1 D.39.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定10.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(c,0)(c>0),且離心率等于,若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.11.已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球(),現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個(gè)不同顏色的球(即若取出的是白球,則放回一個(gè)黑球;若取出的是黑球,則放回一個(gè)白球),記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是.若,則=()A. B.1 C. D.212.已知函數(shù)若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在編號(hào)為1,2,3,4,5且大小和形狀均相同的五張卡片中,一次隨機(jī)抽取其中的三張,則抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)的概率為________.14.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列(),且,則______.15.的展開式中含的系數(shù)為__________.(用數(shù)字填寫答案)16.有編號(hào)分別為1,2,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),則取出球的編號(hào)互不相同的概率為_______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足,,,(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式﹔(2)設(shè),求證:.18.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為.已知,且.(1)求的值;(2)若的面積是,求的周長(zhǎng).19.(12分)某職稱晉級(jí)評(píng)定機(jī)構(gòu)對(duì)參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級(jí)成功,否則晉級(jí)失?。畷x級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男16女50合計(jì)(1)求圖中的值;(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān)?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談,記這4人中晉級(jí)失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02420.(12分)已知橢圓:()的離心率為,且橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合.過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若直線過橢圓的上頂點(diǎn),求的面積;(2)若,分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),直線,,的斜率分別為,,,求的值.21.(12分)2019年6月,國(guó)內(nèi)的運(yùn)營(yíng)牌照開始發(fā)放.從到,我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)間,完成了技術(shù)上的飛躍,躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)的消費(fèi)意愿,2019年8月,從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查,樣本中各類用戶分布情況如下:用戶分類預(yù)計(jì)升級(jí)到的時(shí)段人數(shù)早期體驗(yàn)用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級(jí)時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費(fèi)用作比較,可得出下圖的關(guān)系(例如早期體驗(yàn)用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的).(1)從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率;(2)從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人,以表示這2人中愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)2019年底,從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐,能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶的人數(shù)有變化?說明理由.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點(diǎn).(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖像過點(diǎn),求出,可得,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì),得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)()的圖象過點(diǎn),可得,即,,,故,對(duì)于A,由,則,故A正確;對(duì)于B,當(dāng)時(shí),,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,當(dāng)時(shí),,故D錯(cuò)誤;故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),需熟記性質(zhì)與公式,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
變形為,由得,轉(zhuǎn)化在中,利用三點(diǎn)共線可得.【詳解】解:依題:,又三點(diǎn)共線,,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程:三點(diǎn)共線?(為平面內(nèi)任一點(diǎn),)3、C【解析】
,,判斷其在內(nèi)的單調(diào)性即可.【詳解】解:根據(jù)題意在內(nèi)遞增,,是以為對(duì)稱軸,開口向下的拋物線,所以在上單調(diào)遞減,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用隨機(jī)變量的分布列求隨機(jī)變量的期望與方差,屬于中檔題.4、B【解析】
,利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知,又,,故當(dāng),即時(shí),.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查整體換元法求正弦型函數(shù)的最值,涉及到二倍角公式的應(yīng)用,是一道中檔題.5、A【解析】
分析:題設(shè)的直線與拋物線是相離的,可以化成,其中是點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離,也就是到焦點(diǎn)的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無解,所以直線與拋物線是相離的.由,而為到準(zhǔn)線的距離,故為到焦點(diǎn)的距離,從而的最小值為到直線的距離,故的最小值為,故選A.點(diǎn)睛:拋物線中與線段的長(zhǎng)度相關(guān)的最值問題,可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動(dòng)線段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線或焦點(diǎn)的距離來求解.6、A【解析】
由題意,根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性知在軸上,設(shè),則由得:,因?yàn)榈街本€的距離小于,所以,即,所以雙曲線漸近線斜率,故選A.7、A【解析】
求出滿足條件的正的面積,再求出滿足條件的正內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形的面積,然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.【詳解】滿足條件的正如下圖所示:其中正的面積為,滿足到正的頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)、、的距離都大于的概率是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.8、B【解析】
由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應(yīng)用,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.9、B【解析】
先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型,定積分的計(jì)算以及幾何意義,屬于中檔題.10、C【解析】
由題得,,又,聯(lián)立解方程組即可得,,進(jìn)而得出雙曲線方程.【詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為,且被圓x2+y2﹣2cx=0截得的弦長(zhǎng)為2,所以②又③由①②③可得:,,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),圓的方程的有關(guān)計(jì)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力.11、B【解析】由題意或4,則,故選B.12、D【解析】
由恒成立,等價(jià)于的圖像在的圖像的上方,然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪?,分別作出及的圖象,由圖知,當(dāng)時(shí),不符合題意,只須考慮的情形,當(dāng)與圖象相切于時(shí),由導(dǎo)數(shù)幾何意義,此時(shí),故.故選:D【點(diǎn)睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問題,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出所有的基本事件個(gè)數(shù),再求出“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”這一事件包含的基本事件個(gè)數(shù),利用古典概型的概率計(jì)算公式即可算出結(jié)果.【詳解】一次隨機(jī)抽取其中的三張,所有基本事件為:1,2,3;1,2,4;1,2,5;1,3,4;1,3,5;1,4,5;2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5;共有10個(gè),其中“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”包含6個(gè)基本事件,因此“抽取的三張卡片編號(hào)之和是偶數(shù)”的概率為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.14、20【解析】
設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因?yàn)?所以,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng);考查運(yùn)算求解能力;等差中項(xiàng)的運(yùn)用是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由題意得,二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為,令,則,所以得系數(shù)為.16、【解析】試題分析:從編號(hào)分別為1,1,3,4,5的5個(gè)紅球和5個(gè)黑球,從中隨機(jī)取出4個(gè),有種不同的結(jié)果,由于是隨機(jī)取出的,所以每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的;設(shè)事件為“取出球的編號(hào)互不相同”,則事件包含了個(gè)基本事件,所以.考點(diǎn):1.計(jì)數(shù)原理;1.古典概型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析,;(2)證明見解析【解析】
(1)由,作差得到,進(jìn)一步得到,再作差即可得到,從而使問題得到解決;(2),求和即可.【詳解】(1),,兩式相減:①用換,得②②—①,得,即,所以數(shù)列是等差數(shù)列,又,∴,,公差,所以.(II).【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道容易題.18、(1);(2)【解析】
(1)由正弦定理可得,,化簡(jiǎn)并結(jié)合,可求得三者間的關(guān)系,代入余弦定理可求得;(2)由(1)可求得,再結(jié)合三角形的面積公式,可求出,從而可求出答案.【詳解】(1)因?yàn)?所以,整理得:.因?yàn)?所以,所以.由余弦定理可得.(2)由(1)知,則,因?yàn)榈拿娣e是,所以,即,解得,則.故的周長(zhǎng)為:.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)列聯(lián)表見解析,有超過的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān);(3)分布列見解析,=3【解析】
(1)由頻率和為1,列出方程求的值;(2)由頻率分布直方圖求出晉級(jí)成功的頻率,計(jì)算晉級(jí)成功的人數(shù),填寫列聯(lián)表,計(jì)算觀測(cè)值,對(duì)照臨界值得出結(jié)論;(3)由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率,將頻率視為概率,知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值,寫出分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖各小長(zhǎng)方形面積總和為1,可知,解得;(2)由頻率分布直方圖知,晉級(jí)成功的頻率為,所以晉級(jí)成功的人數(shù)為(人),填表如下:晉級(jí)成功晉級(jí)失敗合計(jì)男163450女94150合計(jì)2575100假設(shè)“晉級(jí)成功”與性別無關(guān),根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得,所以有超過的把握認(rèn)為“晉級(jí)成功”與性別有關(guān);(3)由頻率分布直方圖知晉級(jí)失敗的頻率為,將頻率視為概率,則從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談,這人晉級(jí)失敗的概率為0.75,所以可視為服從二項(xiàng)分布,即,,故,,,,.所以的分布列為:01234數(shù)學(xué)期望為.或().【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題,屬于中檔題.若離散型隨機(jī)變量,則.20、(1)(2)【解析】
(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得橢圓的焦點(diǎn),由此求得,結(jié)合橢圓離心率求得,進(jìn)而求得,從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求得橢圓上頂點(diǎn)的坐標(biāo),由此求得直線的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo),由此求得的面積.(2)求得兩點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,由此求得的值,根據(jù)在橢圓上求得的值,由此求得的值.【詳解】(1)因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,因?yàn)闄E圓的離心率為,所以,解得,所以,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.其上頂點(diǎn)為,所以直線:,聯(lián)立,消去整理得,解得,,所以的面積.(2)由題知,,,設(shè),.由題還可知,直線的斜率不為0,故可設(shè):.由,消去,得,所以所以,又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以,所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的焦點(diǎn),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線與橢圓,三角形的面積等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.21、(1)(2)詳見解析(3)事件雖然發(fā)生概率小,但是發(fā)生可能性為0.02,所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒有發(fā)生變化,詳見解析【解析】
(1)由從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到,結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式,即可求解;(2)由題意的所有可能值為,利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式,分別求得相應(yīng)的概率,得到隨機(jī)變量的分布列,利用期望的公式,即可求解.(3)設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人,這三位學(xué)生都已簽約套餐”,得到七概率為,即可得到結(jié)論.【詳解】(1)由題意可知,從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率估計(jì)為樣本中早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶的頻率,即.(2)由題意的所有可
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