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河南省洛陽市理工學(xué)院附中2025屆高三沖刺模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知定義在上的函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.2.由實(shí)數(shù)組成的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.4.已知,如圖是求的近似值的一個(gè)程序框圖,則圖中空白框中應(yīng)填入A. B.C. D.5.已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A. B.C. D.6.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足任意,有,且當(dāng)時(shí),.若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知數(shù)列an滿足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.198.已知,則的值等于()A. B. C. D.9.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-1310.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.11.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的()A.橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個(gè)單位長度B.橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長度C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個(gè)單位長度D.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長度12.函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的大致圖像為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)的和,成等差數(shù)列,則的值為_____.14.已知是定義在上的偶函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為.若時(shí),,則不等式的解集是___________.15.某中學(xué)舉行了一次消防知識(shí)競(jìng)賽,將參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理后分為5組,繪制如圖所示的頻率分布直方圖,記圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五組,已知第二組的頻數(shù)是80,則成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生人數(shù)是__________.16.《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕,人出一百,盈一百;人出九十,適足。問人數(shù)、豕價(jià)各幾何?”.其意思是“若干個(gè)人合買一頭豬,若每人出100,則會(huì)剩下100;若每人出90,則不多也不少。問人數(shù)、豬價(jià)各多少?”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價(jià),則___,___.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)設(shè)的最小值為,正數(shù),滿足,證明:.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線極坐標(biāo)方程為.若直線交曲線于,兩點(diǎn),求線段的長.19.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,時(shí),在上單調(diào)遞減,求的取值范圍;(2)若,,,求證:當(dāng)時(shí),.20.(12分)如圖,在矩形中,,,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),分別將沿折起,沿折起,使得重合于點(diǎn),連結(jié).(Ⅰ)求證:平面平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)設(shè)數(shù)列,其前項(xiàng)和,又單調(diào)遞增的等比數(shù)列,,.(Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和,并求證:.22.(10分)已知關(guān)于的不等式有解.(1)求實(shí)數(shù)的最大值;(2)若,,均為正實(shí)數(shù),且滿足.證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
先判斷函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,可以判斷出函數(shù)是奇函數(shù),利用奇函數(shù)的性質(zhì)可以得到,比較三個(gè)數(shù)的大小,然后根據(jù)函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性,比較出三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】當(dāng)時(shí),,函數(shù)在時(shí),是增函數(shù).因?yàn)?,所以函?shù)是奇函數(shù),所以有,因?yàn)椋瘮?shù)在時(shí),是增函數(shù),所以,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值大小問題,判斷出函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.2、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】解:若{an}是等比數(shù)列,則,
若,則,即成立,
若成立,則,即,
故“”是“”的充要條件,
故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵.3、D【解析】
先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
由于中正項(xiàng)與負(fù)項(xiàng)交替出現(xiàn),根據(jù)可排除選項(xiàng)A、B;執(zhí)行第一次循環(huán):,①若圖中空白框中填入,則,②若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第二次循環(huán):由①②均可得,③若圖中空白框中填入,則,④若圖中空白框中填入,則,此時(shí)不成立,;執(zhí)行第三次循環(huán):由③可得,符合題意,由④可得,不符合題意,所以圖中空白框中應(yīng)填入,故選C.5、B【解析】
選B.考點(diǎn):圓心坐標(biāo)6、B【解析】
由題意可得的周期為,當(dāng)時(shí),,令,則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn),畫出圖像,數(shù)形結(jié)合,根據(jù),求得的取值范圍.【詳解】是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),滿足任意,,令,又,為周期為的偶函數(shù),當(dāng)時(shí),,當(dāng),當(dāng),作出圖像,如下圖所示:函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn),則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn),,若,的圖像和的圖像只有1個(gè)交點(diǎn),不合題意,所以,的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn),則有,即,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用,解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法,這也是高考??嫉臒狳c(diǎn)問題,屬于中檔題.7、B【解析】
由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時(shí),a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時(shí),要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系,從而可簡(jiǎn)化與數(shù)列相關(guān)的方程,本題屬于難題.8、A【解析】
由余弦公式的二倍角可得,,再由誘導(dǎo)公式有,所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)二倍角公式的應(yīng)用,要求學(xué)生熟練掌握三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式,屬于簡(jiǎn)單題9、B【解析】
由題得,,解得,,計(jì)算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和公式,考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.10、C【解析】
由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.11、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)圖像的變換與參數(shù)之間的關(guān)系,即可容易求得.【詳解】為得到,將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),故可得;再將向左平移個(gè)單位長度,故可得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移,涉及誘導(dǎo)公式的使用,屬基礎(chǔ)題.12、D【解析】由題意得,函數(shù)點(diǎn)定義域?yàn)榍?,所以定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且,所以函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
設(shè)等比數(shù)列的公比設(shè)為再根據(jù)成等差數(shù)列利用基本量法求解再根據(jù)等比數(shù)列各項(xiàng)間的關(guān)系求解即可.【詳解】解:等比數(shù)列的公比設(shè)為成等差數(shù)列,可得若則顯然不成立,故則,化為解得,則故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及運(yùn)用,屬于中檔題.14、【解析】
構(gòu)造,先利用定義判斷的奇偶性,再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,結(jié)合奇偶性,單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】令,則是上的偶函數(shù),,則在上遞減,于是在上遞增.由得,即,于是,則,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.15、30【解析】
根據(jù)頻率直方圖中數(shù)據(jù)先計(jì)算樣本容量,再計(jì)算成績(jī)?cè)?0~100分的頻率,繼而得解.【詳解】根據(jù)直方圖知第二組的頻率是,則樣本容量是,又成績(jī)?cè)?0~100分的頻率是,則成績(jī)?cè)趨^(qū)間的學(xué)生人數(shù)是.故答案為:30【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)據(jù)處理,數(shù)形運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.16、10900【解析】
由題意列出方程組,求解即可.【詳解】由題意可得,解得.故答案為10900【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法,用消元法來求解即可,屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)將表示為分段函數(shù)的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用絕對(duì)值三角不等式求得的最小值,利用分析法,結(jié)合基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1),不等式,即或或,即有或或,所以所求不等式的解集為.(2),,因?yàn)?,,所以要證,只需證,即證,因?yàn)?,所以只要證,即證,即證,因?yàn)?,所以只需證,因?yàn)椋猿闪?,所?【點(diǎn)睛】本小題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,考查分析法證明不等式,考查基本不等式的運(yùn)用,屬于中檔題.18、【解析】
由,化簡(jiǎn)得,由,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)榍€的參數(shù)方程為,整理得,直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,整理得,設(shè),則,根據(jù)弦長公式求解即可.【詳解】由,化簡(jiǎn)得,又因?yàn)?,所以直線的直角坐標(biāo)方程為,因?yàn)榍€的參數(shù)方程為,消去,整理得,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,,消去,整理得,設(shè),則,所以,將,代入上式,整理得.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程的應(yīng)用,結(jié)合弦長公式的運(yùn)用,屬于中檔題.19、(1)(2)見解析【解析】
(1)在上單調(diào)遞減等價(jià)于在恒成立,分離參數(shù)即可解決.(2)先對(duì)求導(dǎo),化簡(jiǎn)后根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷唯一零點(diǎn)所在區(qū)間,構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式求解即可.【詳解】(1),時(shí),,,∵在上單調(diào)遞減.∴,.令,,時(shí),;時(shí),,∴在上為減函數(shù),在上為增函數(shù).∴,∴.∴的取值范圍為.(2)若,,時(shí),,,令,顯然在上為增函數(shù).又,,∴有唯一零點(diǎn).且,時(shí),,;時(shí),,,∴在上為增函數(shù),在上為減函數(shù).∴.又,∴,,.∴.,.∴當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調(diào),和零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)點(diǎn),難點(diǎn)為找到最值后的構(gòu)造函數(shù)求值域,屬于較難題目.20、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)根據(jù),,可得平面,故而平面平面.(Ⅱ)過作于,則可證平面,故為所求角,在中利用余弦定理計(jì)算,再計(jì)算.【詳解】解:(Ⅰ)因?yàn)?,,,平面,平面所以平面,又平面,所以平面平面;(Ⅱ)過作于,則由平面,且平面知,所以平面,從而是直線與平面所成角.因?yàn)?,,,所以,從?【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定,考查直線與平面所成角的計(jì)算,屬于中檔題.21、(1),;(2)詳見解析.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),也滿足,∴,∵等比數(shù)列,∴,∴,又∵,∴或(舍去),∴;(2)
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