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吉林省長(zhǎng)春市“BEST合作體”2025屆高考全國(guó)統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書(shū)”之說(shuō),河圖、洛書(shū)是中華文化,陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如圖,白圈為陽(yáng)數(shù),黑點(diǎn)為陰數(shù),若從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù),則其差的絕對(duì)值為5的概率為A. B. C. D.2.若集合,則=()A. B. C. D.3.已知,且,則()A. B. C. D.4.已知雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60°,則雙曲線C的方程不可能為()A. B. C. D.5.若函數(shù)在處取得極值2,則()A.-3 B.3 C.-2 D.26.已知集合,集合,那么等于()A. B. C. D.7.已知平面向量滿足,且,則所夾的銳角為()A. B. C. D.08.把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,再將圖象向右平移個(gè)單位,那么所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為()A. B. C. D.9.在中,“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知集合,集合,則()A. B. C. D.11.對(duì)于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計(jì)表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A.2 B.3 C.3.5 D.412.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,已知是的中點(diǎn),且,點(diǎn)滿足,則的取值范圍是_______.14.已知向量,,若,則______.15.若向量滿足,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.16.在回歸分析的問(wèn)題中,我們可以通過(guò)對(duì)數(shù)變換把非線性回歸方程,()轉(zhuǎn)化為線性回歸方程,即兩邊取對(duì)數(shù),令,得到.受其啟發(fā),可求得函數(shù)()的值域是_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)某學(xué)校為了解全校學(xué)生的體重情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人的體重?cái)?shù)據(jù),得到如下頻率分布直方圖,以樣本的頻率作為總體的概率.(1)估計(jì)這100人體重?cái)?shù)據(jù)的平均值和樣本方差;(結(jié)果取整數(shù),同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,記為體重在的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,該校學(xué)生的體重近似服從正態(tài)分布.若,則認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.試判斷該校學(xué)生的體重是否正常?并說(shuō)明理由.18.(12分)如圖,焦點(diǎn)在軸上的橢圓與焦點(diǎn)在軸上的橢圓都過(guò)點(diǎn),中心都在坐標(biāo)原點(diǎn),且橢圓與的離心率均為.(Ⅰ)求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M的互相垂直的兩直線分別與,交于點(diǎn)A,B(點(diǎn)A、B不同于點(diǎn)M),當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí),求兩直線MA,MB斜率的比值.19.(12分)已知,均為正數(shù),且.證明:(1);(2).20.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,∥,為等邊三角形,平面底面,為的中點(diǎn).(1)求證:平面平面;(2)點(diǎn)在線段上,且,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21.(12分)在某社區(qū)舉行的2020迎春晚會(huì)上,張明和王慧夫妻倆參加該社區(qū)的“夫妻蒙眼擊鼓”游戲,每輪游戲中張明和王慧各蒙眼擊鼓一次,每個(gè)人擊中鼓則得積分100分,沒(méi)有擊中鼓則扣積分50分,最終積分以家庭為單位計(jì)分.已知張明每次擊中鼓的概率為,王慧每次擊中鼓的概率為;每輪游戲中張明和王慧擊中與否互不影響,假設(shè)張明和王慧他們家庭參加兩輪蒙眼擊鼓游戲.(1)若家庭最終積分超過(guò)200分時(shí),這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī),問(wèn)張明和王慧他們家庭可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī)的概率是多少?(2)張明和王慧他們家庭兩輪游戲得積分之和的分布列和數(shù)學(xué)期望.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的傾斜角為,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線,從原點(diǎn)O作射線交于點(diǎn)M,點(diǎn)N為射線OM上的點(diǎn),滿足,記點(diǎn)N的軌跡為曲線C.(Ⅰ)求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線C交于P,Q兩點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
陽(yáng)數(shù):,陰數(shù):,然后分析陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)差的絕對(duì)值為5的情況數(shù),最后計(jì)算相應(yīng)概率.【詳解】因?yàn)殛?yáng)數(shù):,陰數(shù):,所以從陰數(shù)和陽(yáng)數(shù)中各取一數(shù)差的絕對(duì)值有:個(gè),滿足差的絕對(duì)值為5的有:共個(gè),則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際背景下古典概型的計(jì)算,難度一般.古典概型的概率計(jì)算公式:.2、C【解析】
求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】分析:首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合題中所給的角的范圍,求得的值,之后借助于倍角公式,將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子,代入從而求得結(jié)果.詳解:根據(jù)題中的條件,可得為銳角,根據(jù),可求得,而,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用,在解題的過(guò)程中,需要對(duì)已知真切求余弦的方法要明確,可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解,也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.4、C【解析】
判斷出已知條件中雙曲線的漸近線方程,求得四個(gè)選項(xiàng)中雙曲線的漸近線方程,由此確定選項(xiàng).【詳解】?jī)蓷l漸近線的夾角轉(zhuǎn)化為雙曲漸近線與軸的夾角時(shí)要分為兩種情況.依題意,雙曲漸近線與軸的夾角為30°或60°,雙曲線的漸近線方程為或.A選項(xiàng)漸近線為,B選項(xiàng)漸近線為,C選項(xiàng)漸近線為,D選項(xiàng)漸近線為.所以雙曲線的方程不可能為.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
對(duì)函數(shù)求導(dǎo),可得,即可求出,進(jìn)而可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以,則,解得,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與極值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
求出集合,然后進(jìn)行并集的運(yùn)算即可.【詳解】∵,,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法,考查集合并集的概念和運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
根據(jù)題意可得,利用向量的數(shù)量積即可求解夾角.【詳解】因?yàn)榧炊詩(shī)A角為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積求夾角,需掌握向量數(shù)量積的定義求法,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
試題分析:把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),可得的圖象;再將圖象向右平移個(gè)單位,可得的圖象,那么所得圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,故選D.考點(diǎn):三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).9、C【解析】
由余弦函數(shù)的單調(diào)性找出的等價(jià)條件為,再利用大角對(duì)大邊,結(jié)合正弦定理可判斷出“”是“”的充分必要條件.【詳解】余弦函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判定,同時(shí)也考查了余弦函數(shù)的單調(diào)性、大角對(duì)大邊以及正弦定理的應(yīng)用,考查推理能力,屬于中等題.10、C【解析】
求出集合的等價(jià)條件,利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】
求導(dǎo),先求出在單增,在單減,且知設(shè),則方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意,,令,解得,,故當(dāng)時(shí),,當(dāng),,且,故方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,故,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查確定函數(shù)零點(diǎn)或方程根個(gè)數(shù).其方法:(1)構(gòu)造法:構(gòu)造函數(shù)(易求,可解),轉(zhuǎn)化為確定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解,利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值,并確定定義區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等,畫(huà)出的圖象草圖,數(shù)形結(jié)合求解;(2)定理法:先用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn),然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào),進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由中點(diǎn)公式的向量形式可得,即有,設(shè),有,再分別討論三點(diǎn)共線和不共線時(shí)的情況,找到的關(guān)系,即可根據(jù)函數(shù)知識(shí)求出范圍.【詳解】是的中點(diǎn),∴,即設(shè),于是(1)當(dāng)共線時(shí),因?yàn)?,①若點(diǎn)在之間,則,此時(shí),;②若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上,則,此時(shí),.(2)當(dāng)不共線時(shí),根據(jù)余弦定理可得,解得,由,解得.綜上,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)中點(diǎn)公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應(yīng)用,以及余弦定理的應(yīng)用,涉及到函數(shù)思想和分類討論思想的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式,屬于中檔題.14、1【解析】
根據(jù)向量加法和減法的坐標(biāo)運(yùn)算,先分別求得與,再結(jié)合向量的模長(zhǎng)公式即可求得的值.【詳解】向量,則,則因?yàn)榧?化簡(jiǎn)可得解得故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)加法和減法的運(yùn)算,向量模長(zhǎng)的求法,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)題意計(jì)算,解得答案.【詳解】,故,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】
轉(zhuǎn)化()為,即得解.【詳解】由題意:().故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查類比法求函數(shù)的值域,考查了學(xué)生邏輯推理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)60;25(2)見(jiàn)解析,2.1(3)可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.見(jiàn)解析【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖可求出平均值和樣本方差;(2)由題意知服從二項(xiàng)分布,分別求出,,,,進(jìn)而可求出分布列以及數(shù)學(xué)期望;(3)由第一問(wèn)可知服從正態(tài)分布,繼而可求出的值,從而可判斷.【詳解】解:(1)(2)由已知可得從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,體重在的概率為0.7.隨機(jī)拍取3人,相當(dāng)于3次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn),隨機(jī)交量服從二項(xiàng)分布,則,,,,所以的分布列為:01230.0270.1890.4410.343數(shù)學(xué)期望(3)由題意知服從正態(tài)分布,則,所以可以認(rèn)為該校學(xué)生的體重是正常的.【點(diǎn)睛】本題考查了由頻率分布直方圖求進(jìn)行數(shù)據(jù)估計(jì),考查了二項(xiàng)分布,考查了正態(tài)分布.注意,統(tǒng)計(jì)類問(wèn)題,如果題目中沒(méi)有特殊說(shuō)明,則求出數(shù)據(jù)的精度和題目中數(shù)據(jù)的小數(shù)后位數(shù)相同.18、(1),(2)【解析】分析:(1)根據(jù)題的條件,得到對(duì)應(yīng)的橢圓的上頂點(diǎn),即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù),結(jié)合橢圓的離心率的大小,求得相應(yīng)的參數(shù),從而求得橢圓的方程;(2)設(shè)出一條直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,消元,利用求根公式求得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)一步求得向量的坐標(biāo),將S表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系,從眼角函數(shù)的角度去求最值,從而求得結(jié)果.詳解:(Ⅰ)依題意得對(duì):,,得:;同理:.(Ⅱ)設(shè)直線的斜率分別為,則MA:,與橢圓方程聯(lián)立得:,得,得,,所以同理可得.所以,從而可以求得因?yàn)椋?,不妨設(shè),所以當(dāng)最大時(shí),,此時(shí)兩直線MA,MB斜率的比值.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題,在解題的過(guò)程中,注意橢圓的對(duì)稱性,以及其特殊性,與y軸的交點(diǎn)即為橢圓的上頂點(diǎn),結(jié)合橢圓焦點(diǎn)所在軸,得到相應(yīng)的參數(shù)的值,再者就是應(yīng)用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系,在研究直線與橢圓相交的問(wèn)題時(shí),首先設(shè)出直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,求得結(jié)果,注意從函數(shù)的角度研究問(wèn)題.19、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)由進(jìn)行變換,得到,兩邊開(kāi)方并化簡(jiǎn),證得不等式成立.(2)將化為,然后利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1),兩邊加上得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴.(2).當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.20、(1)見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,證得底面,由此證得,結(jié)合證得平面,由此證得:平面平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:∵為等邊三角形,為的中點(diǎn),∴∵平面底面,平面底面,∴底面平面,∴又由題意可知為正方形,又,∴平面平面,∴平面平面(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,由已知,得,設(shè)平面的法向量為,則令,則,∴由(1)知平面的法向量可取為∴∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.21、(1)(2)詳見(jiàn)解析【解析】
(1)要積分超過(guò)分,則需兩人共擊中次,或者擊中次,由此利用相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出所求概率.(2)求得的所有可能取值,根據(jù)相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式,計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)由題意,當(dāng)家庭最終積分超過(guò)200分時(shí),這個(gè)家庭就可以領(lǐng)取一臺(tái)全自動(dòng)洗衣機(jī),所以要想領(lǐng)取一臺(tái)
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