2025屆湖北安陸一中高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆湖北安陸一中高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且當(dāng)時,,則()A.1 B.-1 C.2 D.-22.在等差數(shù)列中,若,則()A.8 B.12 C.14 D.103.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”意思為有一個人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達(dá)目的地,請問第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里4.已知集合,,則集合子集的個數(shù)為()A. B. C. D.5.若是定義域為的奇函數(shù),且,則A.的值域為 B.為周期函數(shù),且6為其一個周期C.的圖像關(guān)于對稱 D.函數(shù)的零點有無窮多個6.如圖,在三棱柱中,底面為正三角形,側(cè)棱垂直底面,.若分別是棱上的點,且,,則異面直線與所成角的余弦值為()A. B. C. D.7.已知實數(shù),則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.8.記等差數(shù)列的公差為,前項和為.若,,則()A. B. C. D.9.為了進(jìn)一步提升駕駛?cè)私煌ò踩拿饕庾R,駕考新規(guī)要求駕校學(xué)員必須到街道路口執(zhí)勤站崗,協(xié)助交警勸導(dǎo)交通.現(xiàn)有甲、乙等5名駕校學(xué)員按要求分配到三個不同的路口站崗,每個路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.48種10.已知集合,,則()A. B. C. D.11.若雙曲線的離心率,則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為()A. B.2 C. D.112.設(shè),,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,滿足不等式組,則的取值范圍為________.14.已知函數(shù),曲線與直線相交,若存在相鄰兩個交點間的距離為,則可取到的最大值為__________.15.現(xiàn)有5人要排成一排照相,其中甲與乙兩人不相鄰,且甲不站在兩端,則不同的排法有____種.(用數(shù)字作答)16.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程為;(1)求直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交點分別為,,點,求的值.18.(12分)已知三點在拋物線上.(Ⅰ)當(dāng)點的坐標(biāo)為時,若直線過點,求此時直線與直線的斜率之積;(Ⅱ)當(dāng),且時,求面積的最小值.19.(12分)已知.(1)若曲線在點處的切線也與曲線相切,求實數(shù)的值;(2)試討論函數(shù)零點的個數(shù).20.(12分)如圖,四棱錐中,底面是矩形,面底面,且是邊長為的等邊三角形,在上,且面.(1)求證:是的中點;(2)在上是否存在點,使二面角為直角?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點,直線l與曲線C交于不同的兩點A、B,求的值.22.(10分)在中,角、、所對的邊分別為、、,且.(1)求角的大??;(2)若,的面積為,求及的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)f(x)是R上的奇函數(shù),并且f(x+1)=f(1-x),便可推出f(x+4)=f(x),即f(x)的周期為4,而由x∈[0,1]時,f(x)=2x-m及f(x)是奇函數(shù),即可得出f(0)=1-m=0,從而求得m=1,這樣便可得出f(2019)=f(-1)=-f(1)=-1.【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù),且;∴;∴;∴的周期為4;∵時,;∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得;∴;∴時,;∴.故選:B.【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值,此類問題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期,利用函數(shù)的周期變換來求解,考查理解能力和計算能力,屬于中等題.2、C【解析】

將,分別用和的形式表示,然后求解出和的值即可表示.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,則由,,得解得,,所以.故選C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解,難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值,可通過構(gòu)建和的方程組求通項公式.3、B【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,計算,代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,則,解得,從而可得,故.故選:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.4、B【解析】

首先求出,再根據(jù)含有個元素的集合有個子集,計算可得.【詳解】解:,,,子集的個數(shù)為.故選:.【點睛】考查列舉法、描述法的定義,以及交集的運算,集合子集個數(shù)的計算公式,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

運用函數(shù)的奇偶性定義,周期性定義,根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù),則,,又,,即是以4為周期的函數(shù),,所以函數(shù)的零點有無窮多個;因為,,令,則,即,所以的圖象關(guān)于對稱,由題意無法求出的值域,所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),主要是抽象函數(shù)的性質(zhì),運用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.6、B【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點為,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以,所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法,屬于中檔題.7、B【解析】

根據(jù),利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.【詳解】解:∵,∴,,.∴.故選:B.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

由,和,可求得,從而求得和,再驗證選項.【詳解】因為,,所以解得,所以,所以,,,故選:C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式,還考查運算求解能力,屬于中檔題.9、C【解析】

先將甲、乙兩人看作一個整體,當(dāng)作一個元素,再將這四個元素分成3個部分,每一個部分至少一個,再將這3部分分配到3個不同的路口,根據(jù)分步計數(shù)原理可得選項.【詳解】把甲、乙兩名交警看作一個整體,個人變成了4個元素,再把這4個元素分成3部分,每部分至少有1個人,共有種方法,再把這3部分分到3個不同的路口,有種方法,由分步計數(shù)原理,共有種方案。故選:C.【點睛】本題主要考查排列與組合,常常運用捆綁法,插空法,先分組后分配等一些基本思想和方法解決問題,屬于中檔題.10、D【解析】

先求出集合B,再與集合A求交集即可.【詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【點睛】本題考查集合的交集運算,考查學(xué)生的基本運算能力,是一道容易題.11、C【解析】

根據(jù)雙曲線的解析式及離心率,可求得的值;得漸近線方程后,由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率,則,,解得,所以焦點坐標(biāo)為,所以,則雙曲線漸近線方程為,即,不妨取右焦點,則由點到直線距離公式可得,故選:C.【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用,漸近線方程的求法,點到直線距離公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

集合是一次不等式的解集,分別求出再求交集即可【詳解】,,則故選【點睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示,易知在點處取得最小值,即,所以由圖可知的取值范圍為.14、4【解析】

由于曲線與直線相交,存在相鄰兩個交點間的距離為,所以函數(shù)的周期,可得到的取值范圍,再由解出的兩類不同的值,然后列方程求出,再結(jié)合的取值范圍可得的最大值.【詳解】,可得,由,則或,即或,由題意得,所以,則或,所以可取到的最大值為4.故答案為:4【點睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用及三角方程的求解,熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,考查了推理能力和計算能力,屬于中檔題.15、36【解析】

先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法,在此條件下,計算甲不排在兩端的排法,最后相減即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得5人排成一排,甲、乙兩人不相鄰,有種排法,其中甲排在兩端,有種排法,則6人排成一排,甲、乙兩人不相鄰,且甲不排在兩端,共有(種)排法.所以本題答案為36.【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特,計算量龐大,對結(jié)果的檢驗困難,所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則,如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等,只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細(xì)膩、考慮周全,這樣才能做到不重不漏,正確解題.16、【解析】

當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時,函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),曲線(Ⅱ)【解析】試題分析:(1)消去參數(shù)可得直線的直角坐標(biāo)系方程,由可得曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)將(為參數(shù))代入曲線的方程得:,,利用韋達(dá)定理求解即可.試題解析:(1),曲線,(2)將(為參數(shù))代入曲線的方程得:.所以.所以.18、(Ⅰ);(Ⅱ)16.【解析】

(Ⅰ)設(shè)出直線的方程并代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理以及斜率公式,變形可得;(Ⅱ)利用,,的斜率,求得的坐標(biāo),,再用基本不等式求得的最小值,從而可得三角形的面積的最小值.【詳解】解:(Ⅰ)設(shè)直線的方程為.聯(lián)立方程組,得,,故,.所以;(Ⅱ)不妨設(shè)的三個頂點中的兩個頂點在軸右側(cè)(包括軸),設(shè),,,的斜率為,又,則,①因為,所以②由①②得,,(且)從而當(dāng)且僅當(dāng)時取“”號,從而,所以面積的最小值為.【點睛】本題考查了直線與拋物線的綜合,屬于中檔題.19、(1)(2)答案不唯一具體見解析【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,設(shè)切點的坐標(biāo),用不同的方式求出兩種切線方程,但兩條切線本質(zhì)為同一條,從而得到方程組,再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值,進(jìn)而求得;(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得,對分三種情況進(jìn)行一級討論,即,,,結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理,可得函數(shù)零點情況.【詳解】解:(1)曲線在點處的切線方程為,即.令切線與曲線相切于點,則切線方程為,∴,∴,令,則,記,于是,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,于是,.(2),①當(dāng)時,恒成立,在上單調(diào)遞增,且,∴函數(shù)在上有且僅有一個零點;②當(dāng)時,在R上沒有零點;③當(dāng)時,令,則,即函數(shù)的增區(qū)間是,同理,減區(qū)間是,∴.ⅰ)若,則,在上沒有零點;ⅱ)若,則有且僅有一個零點;ⅲ)若,則.,令,則,∴當(dāng)時,單調(diào)遞增,.∴又∵,∴在R上恰有兩個零點,綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)沒有零點;當(dāng)或時,函數(shù)恰有一個零點;當(dāng)時,恰有兩個零點.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點等知識,求解切線有關(guān)問題時,一定要明確切點坐標(biāo).以導(dǎo)數(shù)為工具,研究函數(shù)的圖象特征及性質(zhì),從而得到函數(shù)的零點個數(shù),此時如果用到零點存在定理,必需說明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個端點值的函數(shù)值相乘小于0,才算完整的解法.20、(1)見解析;(2).【解析】試題分析:(1)連交于可得是中點,再根據(jù)面可得進(jìn)而根據(jù)中位線定理可得結(jié)果;(2)取中點,由(1)知兩兩垂直.以為原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出面的一個法向量,用表示面的一個法向量,由可得結(jié)果.試題解析:(1)證明:連交于,連是矩形,是中點.又面,且是面與面的交線,是的中點.(2)取中點,由(1)知兩兩垂直.以為原點,所在直線分別為軸,軸,軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),則各點坐標(biāo)為.設(shè)存在滿足要求,且,則由得:,面的一個法向量為,面的一個法向量為,由,得,解得,故存在,使二面角為直角,此時.21、(1),(2)【解析】

(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標(biāo)方程;(2)由于在直線上,寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程參數(shù)方程,代入曲線的方程利用參數(shù)的幾何意義即可得出求解即可.【詳解】(1)直線的普通方程為,即,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的相互轉(zhuǎn)化,

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