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湖北省黃梅一中2025屆高考仿真卷數(shù)學(xué)試題請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,2.已知等式成立,則()A.0 B.5 C.7 D.133.已知雙曲線:的左右焦點(diǎn)分別為,,為雙曲線上一點(diǎn),為雙曲線C漸近線上一點(diǎn),,均位于第一象限,且,,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.已知等比數(shù)列滿足,,等差數(shù)列中,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A.36 B.72 C. D.5.函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示,圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn),且在軸上,則下列說(shuō)法中正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C.函數(shù)在單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱6.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.7.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P,以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切,切點(diǎn)為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.8.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復(fù)數(shù)的模為()A. B.4 C.2 D.10.劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期偉大的數(shù)學(xué)家,他在《九章算術(shù)》中對(duì)勾股定理的證明如圖所示.“勾自乘為朱方,股自乘為青方,令出入相補(bǔ),各從其類(lèi),因就其余不移動(dòng)也.合成弦方之冪,開(kāi)方除之,即弦也”.已知圖中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,其中“正方形為朱方,正方形為青方”,則在五邊形內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn),此點(diǎn)取自朱方的概率為()A. B. C. D.11.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,且與雙曲線的漸近線相同,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.12.某醫(yī)院擬派2名內(nèi)科醫(yī)生、3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士共8人組成兩個(gè)醫(yī)療分隊(duì),平均分到甲、乙兩個(gè)村進(jìn)行義務(wù)巡診,其中每個(gè)分隊(duì)都必須有內(nèi)科醫(yī)生、外科醫(yī)生和護(hù)士,則不同的分配方案有A.72種 B.36種 C.24種 D.18種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角,,的對(duì)邊分別是,,,若,,則的面積的最大值為_(kāi)_____.14.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____.15.若函數(shù)為奇函數(shù),則_______.16.曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線與軸及直線=所圍成的三角形面積為,則實(shí)數(shù)=____。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,四邊形是矩形,,為正三角形,且平面平面,、分別為、的中點(diǎn).(1)證明:平面平面;(2)求二面角的余弦值.18.(12分)已知函數(shù).(1)求的極值;(2)若,且,證明:.19.(12分)某市環(huán)保部門(mén)對(duì)該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類(lèi)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查,每位市民僅有一次參加機(jī)會(huì),通過(guò)隨機(jī)抽樣,得到參與問(wèn)卷調(diào)查的100人的得分(滿分:100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表所示:組別男235151812女051010713(1)若規(guī)定問(wèn)卷得分不低于70分的市民稱為“環(huán)保關(guān)注者”,請(qǐng)完成答題卡中的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.05的前提下,認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)?(2)若問(wèn)卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”.視頻率為概率.①在我市所有“環(huán)保達(dá)人”中,隨機(jī)抽取3人,求抽取的3人中,既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率;②為了鼓勵(lì)市民關(guān)注環(huán)保,針對(duì)此次的調(diào)查制定了如下獎(jiǎng)勵(lì)方案:“環(huán)保達(dá)人”獲得兩次抽獎(jiǎng)活動(dòng);其他參與的市民獲得一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).每次抽獎(jiǎng)獲得紅包的金額和對(duì)應(yīng)的概率.如下表:紅包金額(單位:元)1020概率現(xiàn)某市民要參加此次問(wèn)卷調(diào)查,記(單位:元)為該市民參加間卷調(diào)查獲得的紅包金額,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附表及公式:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線和圓的普通方程;(2)已知直線上一點(diǎn),若直線與圓交于不同兩點(diǎn),求的取值范圍.21.(12分)選修4-5:不等式選講設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知分別是內(nèi)角的對(duì)邊,滿足(1)求內(nèi)角的大小(2)已知,設(shè)點(diǎn)是外一點(diǎn),且,求平面四邊形面積的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.2、D【解析】
根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.【詳解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,,而,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了特殊值代入法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點(diǎn)分別為,為雙曲線上的一點(diǎn),為雙曲線的漸近線上的一點(diǎn),且都位于第一象限,且,可知為的三等分點(diǎn),且,點(diǎn)在直線上,并且,則,,設(shè),則,解得,即,代入雙曲線的方程可得,解得,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),離心率的求法,考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力,雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì),求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見(jiàn)有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式,轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范圍).4、A【解析】
根據(jù)是與的等比中項(xiàng),可求得,再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足,,所以,又,所以,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的求和公式,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是中檔題.5、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的圖象,求得函數(shù),再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),即可求解,得到答案.【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象,可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,解得,所以的最小正周期,不妨令,,由周期,所以,又,所以,所以,令,解得,當(dāng)時(shí),,即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為,即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱.故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式,以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式,再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】因?yàn)?,所以故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算.屬于簡(jiǎn)單題.7、A【解析】
在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問(wèn)題,處理雙曲線離心率問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系,本題是一道中檔題.8、D【解析】
通過(guò)列舉法可求解,如兩角分別為時(shí)【詳解】當(dāng)時(shí),,但,故充分條件推不出;當(dāng)時(shí),,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題9、D【解析】
由復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算求出,再寫(xiě)出其共軛復(fù)數(shù),然后由模的定義計(jì)算模.【詳解】,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)與模的定義,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
首先明確這是一個(gè)幾何概型面積類(lèi)型,然后求得總事件的面積和所研究事件的面積,代入概率公式求解.【詳解】因?yàn)檎叫螢橹旆?,其面積為9,五邊形的面積為,所以此點(diǎn)取自朱方的概率為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率求法,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸和漸近線方程設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)求解.【詳解】∵雙曲線與的漸近線相同,且焦點(diǎn)在軸上,∴可設(shè)雙曲線的方程為,一個(gè)焦點(diǎn)為,∴,∴,故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)雙曲線的漸近線和焦點(diǎn)求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,易錯(cuò)點(diǎn)在于漏掉考慮焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸導(dǎo)致方程形式出錯(cuò).12、B【解析】
根據(jù)條件2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,根據(jù)排列組合進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】2名內(nèi)科醫(yī)生,每個(gè)村一名,有2種方法,3名外科醫(yī)生和3名護(hù)士,平均分成兩組,要求外科醫(yī)生和護(hù)士都有,則分1名外科,2名護(hù)士和2名外科醫(yī)生和1名護(hù)士,若甲村有1外科,2名護(hù)士,則有C3若甲村有2外科,1名護(hù)士,則有C3則總共的分配方案為2×(9+9)=2×18=36種,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分組分配問(wèn)題,解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是先分組再分配,屬于??碱}型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
化簡(jiǎn)得到,,根據(jù)余弦定理和均值不等式得到,根據(jù)面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】,即,,故.根據(jù)余弦定理:,即.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換,余弦定理,均值不等式,面積公式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.14、【解析】
利用,得到的關(guān)系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為,所以,即,因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.15、-2【解析】
由是定義在上的奇函數(shù),可知對(duì)任意的,都成立,代入函數(shù)式可求得的值.【詳解】由題意,的定義域?yàn)?,是奇函數(shù),則,即對(duì)任意的,都成立,故,整理得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16、或1【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,可得切線的斜率,以及切線方程,求得切線與軸和的交點(diǎn),由三角形的面積公式可得所求值.【詳解】的導(dǎo)數(shù)為,可得切線的斜率為3,切線方程為,可得,可得切線與軸的交點(diǎn)為,,切線與的交點(diǎn)為,可得,解得或?!军c(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,以及直線方程的運(yùn)用,三角形的面積求法。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,,.設(shè)交于,則為的中點(diǎn),連接.通過(guò)證明,證得平面,由此證得平面平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用平面和平面的法向量,計(jì)算出二面角的余弦值.【詳解】(1)取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,,.設(shè)交于,則為的中點(diǎn),連接.設(shè),則,,∴.由已知,,∴平面,∴.∵,∴,∵,∴平面,∵平面,∴平面平面.(2)由(1)及已知可得平面,建立如圖所示的空間坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,,,,設(shè)平面的法向量為,∴,令得.設(shè)平面的法向量為,∴,令得,∴,∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明,考查二面角的求法,考查空間想象能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.18、(1)極大值為;極小值為;(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),進(jìn)而可求出單調(diào)性,從而可求出函數(shù)的極值;(2)構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)并判斷單調(diào)性可得,從而在上恒成立,再結(jié)合,,可得到,即可證明結(jié)論成立.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為.故的極大值為;的極小值為.(2)證明:由(1)知,設(shè)函數(shù),則,,則在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故,又,則,即在上恒成立.因?yàn)?所以,又,則,因?yàn)?且在上單調(diào)遞減,所以,故.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查了利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,屬于難題.19、(1)不能;(2)①;②分布列見(jiàn)解析,.【解析】
(1)根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)可求2×2列聯(lián)表即可;計(jì)算K的觀測(cè)值K2,對(duì)照題目中的表格,得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.(2)由相互獨(dú)立事件的概率可得男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率:P=1﹣()3﹣()3,解出X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)即可;【詳解】(1)由圖中表格可得列聯(lián)表如下:非“環(huán)保關(guān)注者”是“環(huán)保關(guān)注者”合計(jì)男104555女153045合計(jì)2575100將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得K”的觀測(cè)值,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下,不能認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān).(2)視頻率為概率,用戶為男“環(huán)保達(dá)人”的概率為.為女“環(huán)保達(dá)人”的概率為,①抽取的3名用戶中既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率為;②的取值為10,20,30,40.,,,,所以的分布列為10203040.【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題,考查了概率分布列和期望,計(jì)算能力的應(yīng)用問(wèn)題,是中檔題目.20、(1),;(2)【解析】分析:(1)用代入法消參數(shù)可得直線的普通方程,由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程,其中參數(shù)的絕對(duì)值表示直線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)到的距離,因此有,,直接由韋達(dá)定理可得,注意到直線與圓相交,因此判別式>0,這樣可得滿足的不等關(guān)系,由此可求得的取值范圍.詳解:(1)直線的參數(shù)方程為,普通方程為,將代入圓的極坐標(biāo)方程中,可得圓的普通方程為,(2)解:直線的參數(shù)方程為代入圓的方程為
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