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文檔簡介
2025屆上海市崇明區(qū)市級(jí)名校高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線,點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),若圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率取值范圍是().A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù),,則()A. B. C. D.3.設(shè)分別是雙線的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)(位于軸右側(cè)),且四邊形為菱形,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.4.設(shè),為非零向量,則“存在正數(shù),使得”是“”的()A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.充分不必要條件5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的,則輸出的()A.9 B.31 C.15 D.636.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.7.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0),點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),滿足|OA|=A.2 B.2 C.2338.已知函數(shù),則()A.2 B.3 C.4 D.59.如圖,在中,點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),點(diǎn)為線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),則()A. B. C. D.10.已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是①函數(shù)的最小正周期為;②函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形;③函數(shù)的極大值為;④函數(shù)的最小值為.A.①③ B.②④C.②③ D.②③④11.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.12.若、滿足約束條件,則的最大值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知集合,則____________.14.的展開式中,常數(shù)項(xiàng)為______;系數(shù)最大的項(xiàng)是______.15.曲線在處的切線方程是_________.16.如圖梯形為直角梯形,,圖中陰影部分為曲線與直線圍成的平面圖形,向直角梯形內(nèi)投入一質(zhì)點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)落入陰影部分的概率是_____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若在上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)的最大值;(2)若,求證:.18.(12分)一張邊長為的正方形薄鋁板(圖甲),點(diǎn),分別在,上,且(單位:).現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開,再將沿折疊,沿折疊,使,重合,且重合于點(diǎn),制作成一個(gè)無蓋的三棱錐形容器(圖乙),記該容器的容積為(單位:),(注:薄鋁板的厚度忽略不計(jì))(1)若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋,求,的值;(2)試確定的值,使得無蓋三棱錐容器的容積最大.19.(12分)設(shè)等差數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求的前項(xiàng)和及使得最小的的值.20.(12分)在最新公布的湖南新高考方案中,“”模式要求學(xué)生在語數(shù)外3門全國統(tǒng)考科目之外,在歷史和物理2門科目中必選且只選1門,再從化學(xué)、生物、地理、政治4門科目中任選2門,后三科的高考成績按新的規(guī)則轉(zhuǎn)換后計(jì)入高考總分.相應(yīng)地,高校在招生時(shí)可對(duì)特定專業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.雙超中學(xué)高一年級(jí)有學(xué)生1200人,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40人進(jìn)行選科情況調(diào)查,用數(shù)字1~6分別依次代表歷史、物理、化學(xué)、生物、地理、政治6科,得到如下的統(tǒng)計(jì)表:序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況序號(hào)選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245(1)雙超中學(xué)規(guī)定:每個(gè)選修班最多編排50人且盡量滿額編班,每位老師執(zhí)教2個(gè)選修班(當(dāng)且僅當(dāng)一門科目的選課班級(jí)總數(shù)為奇數(shù)時(shí),允許這門科目的1位老師只教1個(gè)班).已知雙超中學(xué)高一年級(jí)現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各8人,用樣本估計(jì)總體,則化學(xué)、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整?如果需要調(diào)整,各需增加或減少多少人?(2)請(qǐng)創(chuàng)建列聯(lián)表,運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)進(jìn)行分析,探究是否有的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān).附:0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828(3)某高校在其熱門人文專業(yè)的招生簡章中明確要求,僅允許選修了歷史科目,且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報(bào)名.現(xiàn)從雙超中學(xué)高一新生中隨機(jī)抽取3人,設(shè)具備高校專業(yè)報(bào)名資格的人數(shù)為,用樣本的頻率估計(jì)概率,求的分布列與期望.21.(12分)如圖,在三棱錐中,,,側(cè)面為等邊三角形,側(cè)棱.(1)求證:平面平面;(2)求三棱錐外接球的體積.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為,直線交曲線于兩點(diǎn),為中點(diǎn).(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)若,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
先求出雙曲線的漸近線方程,可得則直線與直線的距離,根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn),可得,解得即可.【詳解】由題意,雙曲線的一條漸近線方程為,即,∵是直線上任意一點(diǎn),則直線與直線的距離,∵圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn),則,∴,即,又故的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系,以及兩平行線間的距離公式,其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】分析:利用的恒等式,將分子、分母同時(shí)乘以,化簡整理得詳解:,故選B點(diǎn)睛:復(fù)數(shù)問題是高考數(shù)學(xué)中的常考問題,屬于得分題,主要考查的方面有:復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)以及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算,在運(yùn)算時(shí)注意符號(hào)的正、負(fù)問題.3、B【解析】
由于四邊形為菱形,且,所以為等邊三角形,從而可得漸近線的傾斜角,求出其斜率.【詳解】如圖,因?yàn)樗倪呅螢榱庑?,,所以為等邊三角形,,兩漸近線的斜率分別為和.故選:B【點(diǎn)睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
充分性中,由向量數(shù)乘的幾何意義得,再由數(shù)量積運(yùn)算即可說明成立;必要性中,由數(shù)量積運(yùn)算可得,不一定有正數(shù),使得,所以不成立,即可得答案.【詳解】充分性:若存在正數(shù),使得,則,,得證;必要性:若,則,不一定有正數(shù),使得,故不成立;所以是充分不必要條件故選:D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,向量數(shù)乘的幾何意義,還考查了充分必要條件的判定,屬于簡單題.5、B【解析】
根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)算,直至滿足條件退出循環(huán)體,即可得出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行程序框;;;;;,滿足,退出循環(huán),因此輸出,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果,模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】
計(jì)算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax,A故Ac,bca,F(xiàn)c,0,故Mc,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.8、A【解析】
根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)樗?故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、B【解析】
,將,代入化簡即可.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道中檔題.10、D【解析】
因?yàn)椋寓俨徽_;因?yàn)?,所以,,所以,所以函?shù)的圖象是軸對(duì)稱圖形,②正確;易知函數(shù)的最小正周期為,因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可.當(dāng)時(shí),,且,令,得,可知函數(shù)在處取得極大值為,③正確;因?yàn)?,所以,所以函?shù)的最小值為,④正確.故選D.11、B【解析】
由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
作出不等式組所表示的可行域,平移直線,找出直線在軸上的截距最大時(shí)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解,代入目標(biāo)函數(shù)計(jì)算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示.由,得,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí),該直線在軸上的截距最大,此時(shí)取最大值,即.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題,考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值,一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解,考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)并集的定義計(jì)算即可.【詳解】由集合的并集,知.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集運(yùn)算,屬于容易題.14、【解析】
求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),令指數(shù)為零,求出參數(shù)的值,代入可得出展開式中的常數(shù)項(xiàng);求出項(xiàng)的系數(shù),利用作商法可求出系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】的展開式的通項(xiàng)為,令,得,所以,展開式中的常數(shù)項(xiàng)為;令,令,即,解得,,,因此,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的求解,同時(shí)也考查了系數(shù)最大項(xiàng)的求解,涉及展開式通項(xiàng)的應(yīng)用,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.15、【解析】
利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得,所以,所以切線方程為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo),再利用定積分求出陰影部分的面積,利用梯形的面積公式求出,最后根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:聯(lián)立解得或,即,,,,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)詳見解析【解析】
(1),在上,因?yàn)槭菧p函數(shù),所以恒成立,即恒成立,只需.令,,則,因?yàn)?,所?所以在上是增函數(shù),所以,所以,解得.所以實(shí)數(shù)的最大值為.(2),.令,則,根據(jù)題意知,所以在上是增函數(shù).又因?yàn)?,?dāng)從正方向趨近于0時(shí),趨近于,趨近于1,所以,所以存在,使,即,,所以對(duì)任意,,即,所以在上是減函數(shù);對(duì)任意,,即,所以在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為.由于,,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),所以當(dāng)時(shí),.18、(1),;(2)當(dāng)值為時(shí),無蓋三棱錐容器的容積最大.【解析】
(1)由已知求得,求得三角形的面積,再由已知得到平面,代入三棱錐體積公式求的值;(2)由題意知,在等腰三角形中,,則,,寫出三角形面積,求其平方導(dǎo)數(shù)的最值,則答案可求.【詳解】解:(1)由題意,為等腰直角三角形,又,,恰好是該零件的蓋,,則,由圖甲知,,,則在圖乙中,,,,又,平面,平面,;(2)由題意知,在等腰三角形中,,則,,.令,,,.可得:當(dāng)時(shí),,當(dāng),時(shí),,當(dāng)時(shí),有最大值.由(1)知,平面,該三棱錐容積的最大值為,且.當(dāng)時(shí),取得最大值,無蓋三棱錐容器的容積最大.答:當(dāng)值為時(shí),無蓋三棱錐容器的容積最大.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐體積的求法,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值,屬于中檔題.19、(1)(2);時(shí),取得最小值【解析】
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,結(jié)合已知,聯(lián)立方程組,即可求得答案.(2)由(1)知,故可得,即可求得答案.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由及,得解得數(shù)列的通項(xiàng)公式為(2)由(1)知時(shí),取得最小值.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)不需調(diào)整(2)列聯(lián)表見解析;有的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān)(3)詳見解析【解析】
(1)可估計(jì)高一年級(jí)選修相應(yīng)科目的人數(shù)分別為120,2,推理得對(duì)應(yīng)開設(shè)選修班的數(shù)目分別為15,1.推理知生物科目需要減少4名教師,化學(xué)科目不需要調(diào)整.(2)根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算觀測值,根據(jù)臨界值表可得結(jié)論.(3)經(jīng)統(tǒng)計(jì),樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數(shù)為12,頻率為.用頻率估計(jì)概率,則,根據(jù)二項(xiàng)分布概率公式可得分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)可知,樣本40人中,選修化學(xué)、生物的人數(shù)分別為24,11,則可估計(jì)高一年級(jí)選修相應(yīng)科目的人數(shù)分別為120,2.根據(jù)每個(gè)選修班最多編排50人,且盡量滿額編班,得對(duì)應(yīng)開設(shè)選修班的數(shù)目分別為15,1.現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各8人,根據(jù)每位教師執(zhí)教2個(gè)選修班,當(dāng)且僅當(dāng)一門科目的選課班級(jí)總數(shù)為奇數(shù)時(shí),允許這門科目的一位教師執(zhí)教一個(gè)班的條件,知生物科目需要減少4名教師,化學(xué)科目不需要調(diào)整.(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后,制作列聯(lián)表如下:選物理不選物理合計(jì)選化學(xué)19524不選化學(xué)61016合計(jì)251540則,有的把握判斷學(xué)生”選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān).(3)經(jīng)統(tǒng)計(jì),樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數(shù)為12,頻率為.用頻率估計(jì)概率,則,分布列如下:01230.3430.4410.1890.021數(shù)學(xué)期望為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的期望與方差,考查獨(dú)立性檢驗(yàn),意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.21、(1)見解析;(2).【解析】
(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,
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