2025屆山東省濟(jì)寧市鄒城市高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆山東省濟(jì)寧市鄒城市高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問(wèn)題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問(wèn)水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個(gè)直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類(lèi)似蘆葦?shù)闹参铮冻鏊鎯沙?，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問(wèn)水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為（）A． B． C． D．2．已知實(shí)數(shù)、滿(mǎn)足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．3．若集合，，則（）A． B． C． D．4．某中學(xué)有高中生人，初中生人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時(shí)間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個(gè)容量為的樣本.若樣本中高中生恰有人，則的值為（）A． B． C． D．5．函數(shù)在的圖象大致為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實(shí)數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．8．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．9．已知數(shù)列中，，()，則等于（）A． B． C． D．210．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．1511．已知函數(shù)，的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的一條對(duì)稱(chēng)軸是（）A． B． C． D．12．已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，且，，為邊上的中線，若，則的面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從地移動(dòng)到地，每次只移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則亮亮從移動(dòng)到最近的走法共有____種．14．已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn)，且與雙曲線的右支相交于點(diǎn)，若是上的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_(kāi)______．15．連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為_(kāi)___．16．復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）的虛部為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大?。唬?）已知外接圓半徑,求的周長(zhǎng).18．（12分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機(jī)抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）：若分?jǐn)?shù)不低于95分，則稱(chēng)該員工的成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”.（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”的概率；（2）根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補(bǔ)全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問(wèn)題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計(jì)所有員工的平均分?jǐn)?shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；②若從所有員工中任選3人，記表示抽到的員工成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的面積.20．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的值.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.22．（10分）如圖，為等腰直角三角形，，D為AC上一點(diǎn)，將沿BD折起，得到三棱錐，且使得在底面BCD的投影E在線段BC上，連接AE.（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由題意知：，，設(shè)，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設(shè)，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型中的長(zhǎng)度型，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的直線，結(jié)合圖象知當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值.【詳解】解：作出約束條件表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部，如下圖表示：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)用意識(shí),屬于中檔題.3、A【解析】

用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定義求解即可．【詳解】解：由集合，解得，則故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算，分式不等式的解法，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．4、B【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比計(jì)算即可.【詳解】由題意，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個(gè)數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先考慮奇偶性，再考慮特殊值，用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù)，排除C，D；，排除A.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷，屬于?？碱}.6、D【解析】

由恒成立，等價(jià)于的圖像在的圖像的上方，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解答案.【詳解】因?yàn)橛珊愠闪ⅲ謩e作出及的圖象，由圖知，當(dāng)時(shí)，不符合題意，只須考慮的情形，當(dāng)與圖象相切于時(shí)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義，此時(shí)，故.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是函數(shù)中恒成立問(wèn)題，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.7、D【解析】

利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實(shí)數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時(shí)，實(shí)數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．8、A【解析】

選取中間值和，利用對(duì)數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.9、A【解析】

分別代值計(jì)算可得，觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，問(wèn)題得以解決.【詳解】解：∵，()，

，

，

，

，

…，

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，

，

，

故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用：求數(shù)列中的項(xiàng)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，即，則可求系數(shù)．【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，即時(shí)，系數(shù)為．故選C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．11、D【解析】

由題，得，由的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，可得最小正周期，從而求得，得到函數(shù)的解析式，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，由此即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因?yàn)榈膱D象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，所以函數(shù)的最小正周期，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查利用和差公式恒等變形，以及考查三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性.12、B【解析】

延長(zhǎng)到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，根據(jù)余弦定理可求出，進(jìn)而可得的面積.【詳解】解：延長(zhǎng)到，使，連接，則四邊形為平行四邊形，則，，，在中，則，得，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，其中根據(jù)中線作出平行四邊形是關(guān)鍵，是中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分三步來(lái)考查，先從到，再?gòu)牡?，最后從到，分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對(duì)應(yīng)的走法種數(shù)，然后利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】分三步來(lái)考查：①?gòu)牡剑瑒t亮亮要移動(dòng)兩步，一步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，一步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有種走法；②從到，則亮亮要移動(dòng)六步，其中三步是向右移動(dòng)一個(gè)單位，三步是向上移動(dòng)一個(gè)單位，此時(shí)有種走法；③從到，由①可知有種走法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的走法.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)問(wèn)題的處理，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題.14、60【解析】

根據(jù)題中給的信息與雙曲線的定義可求得與,再在中,由余弦定理求解得,繼而得到各邊的長(zhǎng)度,再根據(jù)計(jì)算求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)雙曲線的半焦距為.因?yàn)?,,所以由勾股定理,得.所以.因?yàn)槭巧弦粋€(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),是的中點(diǎn),所以.由雙曲線的定義可知：,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.則.則,得.則的底邊上的高為.所以.故答案為：60【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長(zhǎng)度與面積的方法,需要根據(jù)雙曲線的定義表示各邊的長(zhǎng)度,再在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量的關(guān)系.屬于難題.15、【解析】總事件數(shù)為，目標(biāo)事件：當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6，具體事件有，共8種；當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6，則第二顆骰子隨便都可以，則有種；所以目標(biāo)事件共20中，所以。16、1【解析】試題分析：，即虛部為1，故填：1.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）3+3【解析】

（1）利用余弦的二倍角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)整理并結(jié)合范圍0＜A＜π，可求A的值．（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周長(zhǎng)．【詳解】（1），即又（2）,∵，∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴，∵c＞0，所以得c=2,∴周長(zhǎng)a+b+c=3+3．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18、（1）；（2）①82，②分布列見(jiàn)解析，【解析】

（1）從20人中任取3人共有種結(jié)果，恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”共有種結(jié)果，利用古典概型的概率計(jì)算公式計(jì)算即可；（2）①平均數(shù)的估計(jì)值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和；②要注意服從的是二項(xiàng)分布，不是超幾何分布，利用二項(xiàng)分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績(jī)“優(yōu)秀”為事件，則，所以，恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.（2）組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①，估計(jì)所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3，隨機(jī)選取1人是“優(yōu)秀”的概率為，∴；；；；∴的分布列為0123∵，∴數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算以及二項(xiàng)分布期望的問(wèn)題，涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計(jì)值等知識(shí)，是一道容易題.19、（1）的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】

（1）先把曲線的參數(shù)方程消參后，轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用求得極坐標(biāo)方程.將，化為，再利用求得曲線的普通方程.（2）設(shè)直線的極角，代入，得，將代入，得，由，得，即，從而求得，，從而求得，再利用求解.【詳解】（1）依題意，曲線，即，故，即.因?yàn)?，故，即，?（2）將代入，得，將代入，得，由，得，得，解得，則.又，故，故的面積.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標(biāo)的幾何意義，還考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求證即可（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論即可【詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，所以.所以當(dāng)時(shí)，.解：（2）因?yàn)椋?討論：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為0；②當(dāng)時(shí)，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極大值，所以極小值.當(dāng)時(shí)，有.又，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極小值，所以極大值.若，則，得，所以，所以當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.綜上，所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問(wèn)題和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，本題的難點(diǎn)在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如，進(jìn)而分類(lèi)討論，本題屬于難題21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）直接代入再由誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（Ⅱ）先得到，再根據(jù)利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得．【詳解】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）因?yàn)樗裕傻?，又因?yàn)椋?，所以，所?【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，屬于中檔題．22、（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】

（1）由折疊過(guò)程知與平面垂直，得，再取中點(diǎn)，可證與平面垂直，得，從而可得線面垂直，再得線線垂直；（2）由已知得為中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，在平面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)