函數(shù)的單調(diào)性與最值

#函數(shù)的單調(diào)性與最值最新考綱考情考向分析.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義..會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應(yīng)用；強(qiáng)化對(duì)函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論思想的考查，題型既有選擇、填空題，又有解答題.基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 回扣星批知識(shí)訓(xùn)母星科近目一■知識(shí)梳理.函數(shù)單調(diào)性的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,區(qū)間MMA，如果取區(qū)間M中任意兩個(gè)值x1，x2,改變量Ax=x2—x/O,則當(dāng)A.y=f(x2)—f(xJ>0時(shí)，就稱(chēng)函數(shù)y-f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)A.y=fx2)—f(x])<0時(shí)，就稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)圖象.. *'郢)自左向右看圖象是上升的：yUi)通珀-~i； x自左向右看圖象是下降的.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間M上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱(chēng)為單調(diào)區(qū)間..函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)對(duì)于任意的xeI，都有f(x)WM；(2)存在x0eI，使得fx0巨M(3)對(duì)于任意的xeI，都有f(x)2M；(4)存在x0eI，使得fx0巨M結(jié)論M為最大值M為最小值【概念方法微思考】.在判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，你還知道哪些等價(jià)結(jié)論?提示對(duì)V%1,%2-'+”>0=f(%)在D上是增函數(shù),減函數(shù)類(lèi)似?.寫(xiě)出對(duì)勾函數(shù)y=%+a(a>0)的增區(qū)間.提示(一8,一，a］和［為:a,+8).■基礎(chǔ)自測(cè)題組一思考辨析.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)(1)若定義在R上的函數(shù)f(%)，有f(—1)<(3),則函數(shù)f(%)在R上為增函數(shù).(X)(2)函數(shù)y=f(%)在［1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8).(X)(3)函數(shù)y=1的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)U(0,+8).(X)%(4)如果一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個(gè)子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù).(X)⑸所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.(X)題組二教材改編.函數(shù)f(%)=%2—2%的單調(diào)遞增區(qū)間是..函數(shù)y=之在［［2,,3］］上的最大值是 .%—1答案2.若函數(shù)f(%)=%2—2m%+1在［2,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.答案(一8,2］解析由題意知，［2,+8)C［m,+8), mW2.題組三易錯(cuò)自糾.函數(shù)y=10g1(%2—4)的單調(diào)遞減區(qū)間為..若函數(shù)f(%)=1%—a1+1的增區(qū)間是［2,+8),則a=..函數(shù)y=f(%)是定義在［［—2,,,2川上的減函數(shù)，且f(a+1)<f(2a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.P，%力，.函數(shù)f(%)=1% 的最大值為 .、一%2+2,%<1題型分類(lèi)深度剖析司亞身迎渾度剖析瑩點(diǎn)電點(diǎn)塞維探究題型一確定函數(shù)的單調(diào)性命題點(diǎn)1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1(1)函數(shù)f(%)=ln(%2-2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )A.(—8,-2) B.(—8,1)C.(1,+8) D.(4,+8)(2)函數(shù)y=—%2+21%1+3的單調(diào)遞減區(qū)間是.命題點(diǎn)2討論函數(shù)的單調(diào)性例2判斷并證明函數(shù)f(x尸ax2+1(其中1<a<3)在[[1,,2]]]上的單調(diào)性.x引申探究如何用導(dǎo)數(shù)法求解本例？2ax3—1解f(x)=2ax-x2= x2 ，因?yàn)?WxW2,所以1Wx3W8,又1<a<3,所以2ax3—1>0,所以f(x)>0,所以函數(shù)f(x尸ax2+1(其中1<a<3)在[1,2]上是增函數(shù).x思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)定義法和導(dǎo)數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導(dǎo)數(shù)法；(2)復(fù)合函數(shù)法，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；(3)圖象法，圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接.(4)具有單調(diào)性函數(shù)的加減.跟蹤訓(xùn)練1(1)下列函數(shù)中，滿足“Vx1,x2G(0,+8)且x1Wx2,(x1—xJfx1)—f(x2)]<0"的是()A.f(x)=2x B.f(x)=1x—11,C.f(x)=x—x D.f(x)=ln(x+1)

(2)函數(shù)f(x)=(a—1)x+2在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)g(x)=ax-21的單調(diào)遞減區(qū)間是(3)函數(shù)f(x)=1x—21x的單調(diào)遞減區(qū)間是.題型二函數(shù)的最值 三x2—1?函數(shù)y=二二的值域?yàn)??x2+1.函數(shù)尸x+3—2的最大值為..函數(shù)y=1x+11+1x—21的值域?yàn)?.4.函數(shù)尸盤(pán)一的值域?yàn)?函數(shù)f(x)=(3)x—log2(x+2)在區(qū)間[[—1,,1川上的最大值為.若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[[0,,1]]]上的最大值是M，最小值是m，則M—m()A.與a有關(guān)，且與b有關(guān).與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)C.與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān)D.與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)思維升華求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.(3)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.cx+d(4)分離常數(shù)法：形如求y=-TT(ac士0)的函數(shù)的值域或最值常用分離常數(shù)法求解.ax+b命題點(diǎn)1比較函數(shù)值的大小多維

探究(5)均值不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等命題點(diǎn)1比較函數(shù)值的大小多維

探究例3已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[[f(x2)—f(x/Mx2—x1)<0恒成立，設(shè)a=人一b=f⑵，c=f(3)，則a,b,c的大小關(guān)系為( )A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c命題點(diǎn)2解函數(shù)不等式例4設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，又f(—3)=0,則f(x)<0的解集是(){x|—3<x<0或x>3}{xIx<—3或0<x<3}{xIx<—3或x>3}{xI—3<x<0或0<x<3}

命題點(diǎn)3求參數(shù)的取值范圍例5(1)(2018.全國(guó)11)若f(x)=cosx—sinx在［［［0,a］］上是減函數(shù)，則a的最大值是( )A.；B.2C.3nD.nI- 乙 I-一1(2)已知函數(shù)f(x)=<x2+a——(2)已知函數(shù)f(x)=<2 若f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為〔ax—a,x>1,⑶(2018呼倫貝爾模擬)已知函數(shù)f(x)=log2(x2—ax+3a)在［2,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是思維升華函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)比較大小.(2)解不等式.利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號(hào)脫掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù).①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較；②需注意若函數(shù)在區(qū)間［a，b］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值.(2—a)x+1,x<1, f(x)—f(x\跟蹤訓(xùn)練2(1)如果函數(shù)f(x)=/ 、 滿足對(duì)任意xwx，都有xqx2>0成立，那么a的取值范圍是ax,x?1 1 2 x1—x2(2)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間［0,+8)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x—1)<砂的x的取值范圍是課時(shí)作業(yè)力基礎(chǔ)保分練1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，+8)上為增函數(shù)的是()y—ln(x+2) B.y——\'x+1

C.2.已知函數(shù)f(x)=\x22-2xC.2.已知函數(shù)f(x)=\x22-2x-3，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.8，1]B.[3，+8)C.8，-1]D.[1，+83.設(shè)偶函數(shù)fx)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x￡[0，+8)時(shí))f(x)是增函數(shù)，則f-2)，fn)，f^-3)的大小關(guān)系是()A.fg>f—3)>(-2)f(n)決-2)>(-3)f(n)<(-3)<(-2)f(n)<f-2)<f-3)則則a的取值范圍是()4.已知函數(shù)fx)=

(1-2a)x，xW1,」,1 「logax+3，x>1，B13，c(0，1昭，3]5.一2—x函數(shù)f(x)—x+1，xe(m，九]的最小值為0則m的取值范圍是(A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)6.已知函數(shù)f(x)=log2x，x+c,x<1則“C=—1”是“函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).若a—，b—flog24.1)，c—f(20.8)，則a，b，c的大小關(guān)系為8.已知函數(shù)y=log2(ax-1)在(1,2)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是,9?記min{a,b}―若f(x)—min{x+2,10-x}(x20)9?記min{a,b}―10.設(shè)函數(shù)f(x)―—x2+4x，10.設(shè)函數(shù)f(x)―嗔x，x>4,若函數(shù)日(x)在區(qū)間(a，a+1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是一， x.11.已知f(x)—x-a(x豐a).

(1)若a=-2,試證f(x)在(一8,-2)上單調(diào)遞增；了(x),x>0,

-fx),x<0.了(x),x>0,

-fx),x<0.12.(2018-盤(pán)錦調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x尸ax2+bx+1(a,bGR),F(x尸(1)若f(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)20成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的條件下，當(dāng)xG[[[-2,,2]]]時(shí)，g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.力技能提升練13.已知函數(shù)f(x)=x3,x13.已知函數(shù)f(x)=x3,xW0,ln(x+1),x>0若f(2-x2)>f(x)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.8,-1)U(2,+8)B.(-8,-2)U(1-8)C.(-1,2)D.(-2,1)14.已知f(x)=x2-4x+3,xW0,—x2-2x+3,x>0,不等式f(x+a)>f(2a-x)在[