分數運算技巧

#分數的簡便運算（一）一、裂項綜合（一）、“裂差”型運算1（1）對于分母可以寫作兩個因數乘積的分數，即一T形式的，這里我們把較小的數寫在前面，即a<b,axb1 111那么有 =; ( )axbb-aab（2）對于分母上為3個或4個連續(xù)自然數乘積形式的分數，即：1 nx1 nx(n+1)x(n+2)形式的，我們有：nx(n+1)x(n+2)x(n+3)1nx(1nx(n+1)x(n+2)="[——2nx(n+1)1(n+1)(n+2)11nx(n+1)x(n+2)x(n+3)二3[nx(n+1)x(n+2)-(n+1)x(n+2)x(n+3)裂差型裂項的三大關鍵特征：（1）分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復雜形式可為都是x（x為任意自然數）的，但是只要將x提取出來即可轉化為分子都是1的運算。（2）分母上均為幾個自然數的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數“首尾相接”（3）分母上幾個因數間的差是一個定值。（二）、“裂和”型運算：常見的裂和型運算主要有以下兩種形式：a+bab11 a2+b2 a2 b2 ab（1） = 1 =—+—（2） = 1 =--+—axbaxbaxbbaaxbaxbaxbba裂和型運算與裂差型運算的對比：裂差型運算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達到簡化的目的”，裂和型運算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時還有轉化為“分數湊整”型的，以達到簡化目的。(三)、整數裂項1x2+2x3+3x4+...+(n-1)xn=3(n -1)xnx(n+1)1x2x3+2x3x4+3x4x5+...+(n-2) x(n—1)xn=—(n -2)(n —1)n(n+1)4二、換元解數學題時，把某個式子看成一個整體，用另一個量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，將復雜的式子化繁為簡．三、循環(huán)小數化分數1、循環(huán)小數化分數結論:純循環(huán)小數混循環(huán)小數分子循環(huán)節(jié)中的數字所組成的數循環(huán)小數去掉小數點后的數字所組成的數與不循環(huán)部分數字所組成的數的差分母n個9,其中n等于循環(huán)節(jié)所含的數字個數按循環(huán)位數添9,不循環(huán)位數添0，組成分母，其中9在0的左側0.a=a；9；o.ab=a9；??ab1ab0.0ab=—x—= 9910990??abc-a0.abc= 9902、單位分數的拆分：11111111111例：10=20+20=s+c=cm=c+c=cm分析：分數單位的拆分，主要方法是：從分母N的約數中任意找出兩個m和n,有:1 1(m+n)m n11 1 =—I—NN(m+n)N(m+n)N(m+n)AB本題10的約數有:1,10,2,5.。例如：選1和2，有：1 1(1+2)10=10（1+2）本題具體的解有：1 2 11 1 = 1 10(1+2)10(1+2)3015111111111—= 1 = 1 = 1 = 1 1011110126014351530典型例題44例1、計算：（1）X3745（2）2004X672003例2、計算：(1)731-X1158(2)166-4-4120例3、計算：4⑴117X115—1217211993x1994-1例4、計算： 1993+1992x1994例5、計算：33X252+37.9X61例6、計算：(9—+7—)^(—+—)7 9 79練習：計算下面各題1175X1175X76—X815164—175454-171-X394+3X274418.25X1155423842382382391988+1989x19871988x1989-111128—X10-1671—X3165111+222+333+…+999100+200+300+...+9004445X67719 78719 78TOC\o"1-5"\h\z2 2 11（11—+13—）-（ 十）13 11 131165—X1158117*（23115—1217211993x1994—122551993+1992x1994168168：168 +1691

1702004 12004?2004 + 20052006分數的簡便運算（二）例1ii209119丁例1ii209119丁19"34x 195x3.003分析我們在五年級學過數的整除，看到209、119、195這樣的數，不難想起7、11、13、19等質數，3.003好象與1001有關系，它可是有7、11、13這三個質因數，好象能約分，可以試一試。例3 31.8x7.9+19x9-+44.3x2.14分析算式是乘加乘的形式，有可能運用乘法分配律，第一個乘法算式與第三個乘法算式中分別有兩個因數7.9和2.1，但是另一個因數不相同，可以把44.3拆成31.8與12.5的和后反復運用乘法分配律。例4 計算例5200420042-2003x2005分析20042即2004x2004表示2004個20042003x2005表示2005個2003,也可以看成2004個2003再加上一個2003,這樣分母就轉變?yōu)?111112004x(2004-2003)-2003=1111111—十—+—+—+—+——口12203042111 + + +1x22x33x4+ + 98x9999x100111一+ + +111——+ +——2x55x88x1111x1414x1717x20200420042004200420045+ 45+ + + 117 221 357例7、111 1 1 32-1 52-172-1111H 1 1 92-1112-1132-1例9計算U3-+5—+7—+9—+11—+13—+15—+17—6 12 20 30 42 56 72 90

計算例10計算例10、1十7^2+1+2+3十1+2+3+41十?一I■I十1+2+3+……+20例11、例11、1 \-1X2X3X4 1 ??? 1 2x3x4x53x4x5x6 6x7x8x97x8x9x10鞏固：1x233x4-2x3X4x5+……+17x18319x201x2x3x4+2x4x6x8+4x8x12x16例12： 1x3x5x7+2x6x10x14+4x12x20x28分析：看起來數很大、很復雜，但排列很有規(guī)律性。1x2x3x4自不用說，2x4x6x8=1x2x2x2x2x3x2x4=24x1x2x3x4; 4x8x12x16=44x1x2x3x4.哇！分母也有這一規(guī)律，用乘法分配律又可以約分了。即學即練：（0.5+0.56+0.678）x（0.56+0.678+0.6789）—（0.5+0.56+0.678+0.6789）x（0.56+0.678）1008X10061008X100610071X39+3X278 81 1 1 1 187X（1—2）X（1—3）X（1—4）X……X（1―86）X（1—87）1111111+—+——+—+——+—