四川省成都市蓉城名校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市蓉城名校聯(lián)考2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可解得，即則.故選：B.2.設(shè)命題，則的否定為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為特稱(chēng)量詞命題，所以命題的否定為“”.故選：D.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，設(shè)集合，，則為的真子集.所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B4.某旅游旺地出租車(chē)的費(fèi)用按下列規(guī)則制定：①行程在3以?xún)?nèi)的（含3），車(chē)費(fèi)10元；②行程在3以上且不超過(guò)10的，前3車(chē)費(fèi)10元，以后每增加1車(chē)費(fèi)增加2元（不足1的按1計(jì)算）；③行程超過(guò)10，則超過(guò)的部分每公里車(chē)費(fèi)3元（不足1的按1計(jì)算）.小明某天乘坐該地的出租車(chē)，共花費(fèi)39元，那么他的行程大約為（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】設(shè)行程為km，車(chē)費(fèi)為元，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.小明某天乘坐該地的出租車(chē)，共花費(fèi)39元，所以，解得km.故選：C5.某電影公司為了解某部電影宣傳對(duì)票房的影響，在某市內(nèi)隨機(jī)抽取了5個(gè)大型電影院，得到其宣傳費(fèi)用（單位：十萬(wàn)元）和銷(xiāo)售額（單位：十萬(wàn)元）的數(shù)據(jù)如下：（十萬(wàn)元）56789（十萬(wàn)元）5560707580由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)知與滿(mǎn)足線(xiàn)性回歸方程，其中，當(dāng)宣傳費(fèi)用時(shí)，銷(xiāo)售額的估計(jì)值為（）A.85.5 B.86.5 C.87.5 D.88.5【答案】C【解析】因?yàn)椋海?由線(xiàn)性回歸方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)且得：.所以.當(dāng)時(shí)，.故選：C6.設(shè)，已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，（），則，當(dāng)時(shí)，，所以在0,1上單調(diào)遞減.所以，所以，即；再設(shè)（），則，當(dāng)時(shí)，，，所以，在0,1上單調(diào)遞增，所以，所以，即.綜上可知：，故選：C.7.某高中運(yùn)動(dòng)會(huì)設(shè)有8個(gè)項(xiàng)目，甲?乙兩名學(xué)生每人隨機(jī)選取3個(gè)項(xiàng)目，則至少選中2個(gè)相同項(xiàng)目的報(bào)名情況有（）A.420種 B.840種 C.476種 D.896種【答案】D【解析】由題意可知，可以分兩種情況，第一種情況所選取3個(gè)項(xiàng)目恰有2個(gè)相同項(xiàng)目，第一步，在8個(gè)項(xiàng)目中選取2項(xiàng)，共有種，第二步，甲在剩下的6個(gè)項(xiàng)目中選取1項(xiàng)，共有種，第三步，乙在剩下5個(gè)項(xiàng)目中選取1項(xiàng)，共有種，由分步乘法計(jì)算原理可知，共有種；第二種情況所選取的3個(gè)項(xiàng)目有3個(gè)相同項(xiàng)目，則有種；由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可知，總情況一共有種.故選：D.8.已知，不等式恒成立，則最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】.令，則易知在上單調(diào)遞增，，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求在的最小值.因?yàn)椋?dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）.所以在上單調(diào)遞增，.所以的最大值為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.與表示同一個(gè)函數(shù)C.關(guān)于的不等式的解集為，若，則D.若，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】對(duì)A：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,1，所以，由，所以函數(shù)的定義域?yàn)?1,1，故A正確；對(duì)B：因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋瘮?shù)的值域?yàn)?，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，或，所以或；當(dāng)時(shí)，無(wú)解，所以?；當(dāng)時(shí)，，所以.又，所以，只有?時(shí)滿(mǎn)足題意，此時(shí)，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?，所以，，所以，即，故D正確.故選：ACD10.已知為正實(shí)數(shù)，，則（）A.的最小值為4 B.的最小值為C.的最小值為8 D.的最小值為2【答案】BCD【解析】對(duì)A：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，且，所以，因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤.對(duì)B：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，且，所以（）.所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”），故B正確；對(duì)C：因?yàn)椋ǘ际钱?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），故C正確；對(duì)D：因?yàn)?，故，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），故D正確.故選：BCD.11.已知是定義在上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的，都有，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心C.當(dāng)時(shí)，D.函數(shù)恰有6個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【解析】由題意可知關(guān)于軸，1,0對(duì)稱(chēng)，當(dāng)，則，且f1=0，故，對(duì)于A,，，故A正確；對(duì)于B，對(duì)稱(chēng)中心為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，函數(shù)y=fx在0,1和上的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，由圖像可知函數(shù)y=fx與函數(shù)有7個(gè)交點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第5項(xiàng)為_(kāi)_________.【答案】15【解析】展開(kāi)式通項(xiàng)為，.13.若函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以，解得．14.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?,+∞，令，即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，令，則，令，而在上為增函數(shù)，故直線(xiàn)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，其中，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)，根據(jù)的圖像可知，當(dāng)，即時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知公差不為0的等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）令，則，又，，，，則，，.16.研究表明，人在23點(diǎn)之前入睡最有益身體健康，熬夜通常會(huì)導(dǎo)致睡眠時(shí)間不足或規(guī)律作息被打亂.某中學(xué)為研究熬夜與短期記憶力減退是否有關(guān)聯(lián)，在高三年級(jí)隨機(jī)抽取兩個(gè)班共90名學(xué)生調(diào)查，列表如下：短期記憶力熬夜不熬夜合計(jì)較差3050良好25合計(jì)（1）完善列聯(lián)表，根據(jù)概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析熬夜與短期記憶力減退是否有關(guān)聯(lián)？（2）從樣本中熬夜的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，其中短期記憶力較差的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列與期望；（3）以樣本頻率估計(jì)概率，從該校300個(gè)熬夜的學(xué)生中隨機(jī)抽取5名學(xué)生，用表示這5名學(xué)生中恰有名短期記憶力較差的概率，求取最大值時(shí)的值.附：參考公式：，其中.下表是獨(dú)立性檢驗(yàn)中幾個(gè)常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）表格如下：短期記憶力熬夜不熬夜合計(jì)較差302050良好152540合計(jì)454590零假設(shè)為：熬夜與短期記憶力減退無(wú)關(guān)，因?yàn)椋砸罁?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為熬夜與短期記憶力減退有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.（2）由題意可得的可能取值有：，，，的分布列如下表所示，012所以.（3）由題意可得滿(mǎn)足二項(xiàng)分布，，，若最大，則，所以或.17.如圖，在四棱錐中，底面.（1）若，證明：平面；（2）若，且，線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的正弦值為？若存在，求出點(diǎn)在線(xiàn)段上的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）在四棱錐中，由平面，平面，得，又平面，則平面，而平面，于是，由，得，則，又平面平面，所以平面.（2）由（1）知，過(guò)點(diǎn)作平面，則直線(xiàn)兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，假設(shè)存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件，令，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，由平面，得為平面的法向量，由二面角的正弦值為，得，即，而，解得，所以點(diǎn)是線(xiàn)段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，使得二面角的正弦值為.18.已知為曲線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到和的距離之和為定值，且點(diǎn)在曲線(xiàn)上.（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，求面積的取值范圍.解：（1）依題意，，可知故點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，曲線(xiàn)的方程為；（2）如圖，由題可得直線(xiàn)斜率存在，①當(dāng)直線(xiàn)斜率為0時(shí)，，，②當(dāng)直線(xiàn)斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，將直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立得，消元整理得：因設(shè)Ax1則有，，則設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則，故令，則，且則，，在上單調(diào)遞減，，則，綜上，面積的取值范圍為.19.已知.（1）求的定義域；（2）若恒成立，求能夠取得的最大整數(shù)值；（3）證明：.解：（1）要使函數(shù)有意義，需滿(mǎn)足，令，則，令解得，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，∴fx的定義域?yàn)?,+（2）由恒成立得，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；下面說(shuō)明當(dāng)且為整數(shù)時(shí)不等式成