專題08 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 16個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教A版必修一）

清單08對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】對(duì)數(shù)概念1、對(duì)數(shù)的概念：一般地,如果(,且),那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù),記作,其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),叫做真數(shù).特別的：規(guī)定,且的原因：①當(dāng)時(shí)，取某些值時(shí)，的值不存在，如：是不存在的.②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，的值不存在，如：是不成立的；當(dāng)時(shí)，則的取值時(shí)任意的，不是唯一的.③當(dāng)時(shí)，當(dāng)，則的值不存在；當(dāng)時(shí)，則的取值時(shí)任意的，不是唯一的.2、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)①常用對(duì)數(shù)：將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù),并把記為②自然對(duì)數(shù)：是一個(gè)重要的常數(shù),是無(wú)理數(shù),它的近似值為2.71828.把以為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù),并把記作說明：“”同+、-、×等符號(hào)一樣,表示一種運(yùn)算,即已知一個(gè)底數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算,這種運(yùn)算叫對(duì)數(shù)運(yùn)算,不過對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)寫在數(shù)的前面.【清單02】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化當(dāng)且，【清單03】對(duì)數(shù)的性質(zhì)①負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù).②對(duì)于任意的且,都有，，；③對(duì)數(shù)恒等式:（且）【清單04】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)當(dāng)且，,①②③（）④（）⑤（）【清單05】對(duì)數(shù)的換底公式換底公式：（且，，，且）特別的：【清單06】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)是自變量，定義域是.判斷一個(gè)函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù)（1）形如；（2）底數(shù)滿足；（3）真數(shù)是，而不是的函數(shù)；（4）定義域.例如：是對(duì)數(shù)函數(shù)，而、都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，可稱為對(duì)數(shù)型函數(shù).2、兩種特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)特別地,我們稱以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為常用對(duì)數(shù)函數(shù),記作;稱以無(wú)理數(shù)為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)函數(shù),記作.【清單07】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及其性質(zhì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表：底數(shù)圖象性質(zhì)定義域值域單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)【考點(diǎn)題型一】指數(shù)與對(duì)數(shù)綜合運(yùn)算【例1】（24-25高一上·云南昆明·期中）計(jì)算下列各式：(1)；(2).【變式1-1】（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）求值：(1)；(2).【變式1-2】（24-25高一上·江蘇南京·期中）求下列各式的值．(1)(2)【考點(diǎn)題型二】指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化核心方法：【例2】（23-24高三上·四川瀘州·階段練習(xí)）實(shí)數(shù)滿足，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（24-25高一上·江蘇無(wú)錫·期中）已知，則（

）A． B． C．1 D．2【變式2-2】（多選）（22-23高一上·廣東惠州·期中）已知正實(shí)數(shù)，滿足，且，則的值可以為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【考點(diǎn)題型三】利用換底公式化簡(jiǎn)求值核心方法：換底公式：（且，，，且）特別的：【例3】（多選）（24-25高一上·江蘇南通·期中）下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．若，則.【變式3-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）計(jì)算：(1)；(2)．【考點(diǎn)題型四】有附加條件的對(duì)數(shù)求值問題【例4】（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）（1）已知，，①求的值；②求的值；（2）已知，，①用，表示；

②用，表示．【變式4-1】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，，則用表示.【變式4-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，，用表示.【變式4-3】（23-24高一上·廣西·期中）（1）計(jì)算：.（2）設(shè)，，試用，表示.【考點(diǎn)題型五】對(duì)數(shù)函數(shù)概念辨析【例5】（24-25高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列函數(shù)：①；②；③；④．其中是對(duì)數(shù)函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式5-1】（24-25高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知下列函數(shù)：①y＝log(－x)(x＜0)；②y＝2log4(x－1)(x＞1)；③y＝lnx(x＞0)；④，(x＞0，a是常數(shù))．其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是(只填序號(hào))．【考點(diǎn)題型六】與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題【例6】（24-25高一上·上?！て谥校┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋咀兪?-1】（24-25高二上·上?！て谥校┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋咀兪?-2】（24-25高一上·上海嘉定·期中）設(shè)條件有意義，條件，若是的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【考點(diǎn)題型七】對(duì)數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題核心方法：【例7】（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，且）的圖象恒過定點(diǎn)，若點(diǎn)在直線上，則的最小值為（

）A．13 B． C． D．8【變式7-1】（24-25高一上·山東青島·期中）函數(shù)且的圖象恒過點(diǎn)，函數(shù)且的圖象恒過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式7-2】（24-25高二上·云南昭通·階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則.【考點(diǎn)題型八】指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象綜合【例8-1】（23-24高一上·河南·期末）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【例8-2】（23-24高一上·山東濱州·期末）若函數(shù)（，且）的圖象如圖所示，則下列函數(shù)與圖象對(duì)應(yīng)正確的為（

）A． B．C． D．【變式8-1】（23-24高二下·江蘇宿遷）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【變式8-2】（多選）（24-25高一上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知，且，函數(shù)與的圖象可能是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型九】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域【例9】（24-25高三上·河南焦作·階段練習(xí)）若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式9-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，的最小值是.【變式9-2】（23-24高三上·上海黃浦·期中）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.【變式9-3】（23-24高一上·廣東·期中）已知函數(shù).(1)求方程的根；(2)求在上的值域.【考點(diǎn)題型十】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域（可化為一元二次函數(shù)型）核心方法：換元法（特別題型：換元必?fù)Q范圍）【例10-1】（23-24高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，則的值域是．【例10-2】（23-24高一上·安徽淮北·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求方程的解集；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值.【變式10-1】（23-24高一下·安徽合肥·期末）函數(shù)的最小值為．【變式10-2】（23-24高一下·河北石家莊·期中）函數(shù)的定義域?yàn)?(1)設(shè)，求t的取值范圍；(2)求函數(shù)的最大值與最小值，并求出取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值【考點(diǎn)題型十一】對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題核心方法：復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性法則（特別題型，容易忽視定義域而造成錯(cuò)解）【例11】（23-24高一上·河北唐山·期中）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為．【變式11-1】（24-25高一上·福建廈門·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式11-2】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．【考點(diǎn)題型十二】根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)核心方法：復(fù)合函數(shù)求單調(diào)性法則【例12】（24-25高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【變式12-1】（24-25高三上·山東德州·期中）已知關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式12-2】.（24-25高三上·廣東惠州·期中）已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【考點(diǎn)題型十三】利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比大小核心方法：?jiǎn)握{(diào)性【例13】（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【變式13-1】（24-25高三上·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·期中）已知，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【變式13-2】（24-25高三上·四川德陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型十四】利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式核心方法：?jiǎn)握{(diào)性【例14-1】（23-24高一下·湖北·期中）已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍;(2)若，解不等式.【例14-2】（23-24高一上·山東泰安·期中）函數(shù).(1)如果時(shí)，有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的值；(3)在（2）條件下，.解關(guān)于的不等式.【變式14-1】（24-25高一上·吉林延邊·期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷奇偶性，并加以證明；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式14-2】（23-24高一上·河北·期末）已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(3)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【考點(diǎn)題型十五】對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問題（單調(diào)性，奇偶性，恒成立，不等式，值域等綜合問題）核心方法：?jiǎn)握{(diào)性【例15-1】（24-25高一上·福建廈門·期中）已知函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，且.(1)求的值；(2)是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【例15-2】（24-25高一上·浙江·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)解不等式；(3)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【例15-3】（23-24高一上·河北唐山·期中）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且函數(shù)為奇函數(shù)(1)求函數(shù)的解析式；(2)判斷并證明在定義域上的單調(diào)性；(3)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式15-1】（24-25高三上·遼寧大連·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式15-2】（24-25高一上·浙江紹興·期中）函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的值域；(2)若對(duì)于恒成立，求的取值范圍.【變式15-3】（23-24高一上·江蘇南通·期中）已知函數(shù)，函數(shù)(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(2)若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【考點(diǎn)題型十六】對(duì)數(shù)函數(shù)中新定義問題【例16】（23-24高一下·貴州貴陽(yáng)·期中）對(duì)于在區(qū)間上有意義的函數(shù)，若滿足對(duì)任意的，，有恒成立，則稱在上是“友好”的，否則就稱在上是“不友好”的.現(xiàn)有函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)在上是否“友好”；(2)若函數(shù)在區(qū)間上是“友好”的，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式16-1】（23-24高一上·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“和一函數(shù)”．(1)判斷定義在區(qū)間上的函數(shù)是否為“和一函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)在定義域上是“和一函數(shù)”．①求的值；②求的取值范圍．【變式16-2】.（2024·上海金山·二模）已知函數(shù)與有相同的定義域．若存在常數(shù)()，使得對(duì)于任意的，都存在，滿足，則稱函數(shù)是函數(shù)關(guān)于的“函數(shù)”．(1)若，，試判斷函數(shù)是否是關(guān)于的“函數(shù)”，并說明理由；(2)若函數(shù)與均存在最大值與最小值，且函數(shù)是關(guān)于的“函數(shù)”，又是關(guān)于的“函數(shù)”，證明：；(3)已知，，其定義域均為．給定正實(shí)數(shù)，若存在唯一的，使得是關(guān)于的“函數(shù)”，求的所有可能值．提升訓(xùn)練1．（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?，若，則（

）A．?2 B． C． D．2．（24-25高一上·江蘇·期中）（

）A．4 B．2 C． D．3．（24-25高三上·福建寧德·期中）某一物質(zhì)在特殊環(huán)境下的溫度變化滿足：（為時(shí)間，單位為為特殊環(huán)境溫度，為該物質(zhì)在特殊環(huán)境下的初始溫度，為該物質(zhì)在特殊環(huán)境下冷卻后的溫度），假設(shè)一開始該物質(zhì)初始溫度為100℃，特殊環(huán)境溫度是20℃，則經(jīng)過15min，該物質(zhì)的溫度最接近（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．54℃ B．52℃ C．50℃ D．48℃4．（24-25高三上·江蘇常州·期中）已知函數(shù)（，且）.，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（遼寧省名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）函數(shù)是奇函數(shù)，則的取值集合為（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·福建廈門·期中）已知，則（

）A． B．C． D．7．（24-25高一上·河北保定·階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，且當(dāng)時(shí)，，若，則等于（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高三上·四川達(dá)州·開學(xué)考試）已知命題“”為真命題，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．2 B．0 C． D．10．（24-25高三上·河南三門峽·期中）在實(shí)際應(yīng)用中，通常用吸光度和透光率來衡量物體的透光性能，它們之間的換算公式為，下表為不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料30.70.80.9設(shè)材料1、材料2、材料3的吸光度分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．（24-25高三上·青海西寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是12．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題13．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，，過定點(diǎn)．(1)若，求函數(shù)的定義域；(2)若不等式在上恒成立，求的取