《自動(dòng)控制原理》課件第5章

第五章頻率響應(yīng)法5.1頻率特性

5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

5.3控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的繪制

5.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)

5.5穩(wěn)定裕度

5.6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)

5.7頻率特性的試驗(yàn)確定方法

小結(jié)習(xí)題5.1頻率特性

對(duì)于圖5-1所示的電路,當(dāng)ui(t)是正弦信號(hào)時(shí),我們已知uo(t)也是同頻率的正弦信號(hào),簡(jiǎn)單推導(dǎo)如下:

設(shè)ui(t)=Usinωt,則其拉氏變換為而RC電路的傳遞函數(shù)為(5.1)式中,τ=RC。則有(5.2)對(duì)式(5.2)進(jìn)行拉氏反變換,可得(5.3)式中,φ=-arctgωτ。

式(5.3)的等號(hào)右邊,第一項(xiàng)是輸出的暫態(tài)分量,第二項(xiàng)是輸出的穩(wěn)態(tài)分量。當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí),暫態(tài)分量趨于零,所以上述電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)可以表示為(5.4)若把輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和輸入正弦信號(hào)用復(fù)數(shù)表示,可以得到:(5.5)式中,圖5-1RC電路

G(jω)是上述電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比,稱為頻率特性。對(duì)比式(5.1)和式(5.5)可見(jiàn),將傳遞函數(shù)中的s以jω代替,即得頻率特性。A(ω)是輸出信號(hào)的幅值與輸入信號(hào)幅值之比,稱為幅頻特性。φ(ω)是輸出信號(hào)的相角與輸入信號(hào)的相角之差,稱為相頻特性。上述RC電路的幅頻和相頻特性如圖5-2所示。圖5-2RC電路的幅頻和相頻特性上述結(jié)論可推廣到穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng),設(shè)其傳遞函數(shù)為(5.6)式中N(s)和D(s)分別為分子、分母多項(xiàng)式,C(s)和R(s)分別為輸出信號(hào)和輸入信號(hào)的拉氏變換,p1,p2,…,pn為傳遞函數(shù)的極點(diǎn),對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng),它們都具有負(fù)實(shí)部。當(dāng)輸入信號(hào)為正弦信號(hào)時(shí),(5.7)若系統(tǒng)無(wú)重極點(diǎn),則上式可寫為對(duì)上式作拉氏反變換,可得

若系統(tǒng)穩(wěn)定,則pi都具有負(fù)實(shí)部,當(dāng)t→∞時(shí),上式中的最后一項(xiàng)暫態(tài)分量將衰減至零。這時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為(5.8)(5.9)(5.10)求出待定系數(shù)b1,b2,并代入上式可得比較式(5.11)與式(5.5)得(5.11)(5.12)式(5.11)表明,對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng),由正弦輸入產(chǎn)生的輸出穩(wěn)態(tài)分量仍是與輸入同頻率的正弦函數(shù),而幅值和相角的變化是頻率ω的函數(shù),且與系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型相關(guān)。通常把(5.13)稱為系統(tǒng)的頻率特性。它反映了在正弦輸入信號(hào)作用下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)之間的關(guān)系。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與輸入正弦信號(hào)的幅值比|G(jω)|稱為幅頻特性,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)與輸入正弦信號(hào)的相移φ(ω)稱為相頻特性。線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為零初始條件下,輸出和輸入的拉氏變換之比上式的反變換式為式中σ位于G(s)的收斂域。若系統(tǒng)穩(wěn)定,則σ可以取為零。如果r(t)的傅氏變換存在,令s=jω,則有所以,

上式表明,系統(tǒng)的頻率特性為輸出信號(hào)的傅氏變換與輸入信號(hào)的傅氏變換之比,而這正是頻率特性的物理意義。在工程分析和設(shè)計(jì)中,通常把線性系統(tǒng)的頻率特性畫成曲線,再運(yùn)用圖解法進(jìn)行研究。常用的頻率特性曲線有奈氏圖和伯德圖。(5.14)式(5.13)中的G(jω)分為實(shí)部和虛部,即X(ω)稱為實(shí)頻特性,Y(ω)稱為虛頻特性。在G(jω)平面上,以橫坐標(biāo)表示X(ω),縱坐標(biāo)表示jY(ω),這種采用極坐標(biāo)系的頻率特性圖稱為極坐標(biāo)圖或幅相曲線,又稱奈奎斯特圖。若將頻率特性表示為復(fù)指數(shù)形式,則為復(fù)平面上的向量,而向量的長(zhǎng)度為頻率特性的幅值,向量與實(shí)軸正方向的夾角等于頻率特性的相位。由于幅頻特性為ω的偶函數(shù),相頻特性為ω的奇函數(shù),則ω從零變化到正無(wú)窮大和從零變化到負(fù)無(wú)窮大的幅相曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,因此一般只繪制ω從零變化到正無(wú)窮大的幅相曲線。在奈氏圖中,頻率ω為參變量,一般用小箭頭表示ω增大時(shí)幅相曲線的變化方向。上述RC電路的奈氏圖如圖5-3所示,圖中G(jω)的軌跡為一半圓。圖5-3RC電路的奈氏圖

在工程實(shí)際中,常常將頻率特性畫成對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖形式,這種對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖,由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性組成。伯德圖的橫坐標(biāo)按lgω分度,即對(duì)數(shù)分度,單位為弧度/秒(rad/s),對(duì)數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)按線性分度,單位是分貝(dB)。對(duì)數(shù)相頻曲線的縱坐標(biāo)按φ(ω)線性分度,單位是度(°)。由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。

對(duì)數(shù)分度和線性分度如圖5-4所示。在線性分度中,當(dāng)變量增大或減小1時(shí),坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長(zhǎng)度;而在對(duì)數(shù)分度中,當(dāng)變量增大或減小10倍時(shí),稱為10倍頻程(dec),坐標(biāo)間距離變化一個(gè)單位長(zhǎng)度。設(shè)對(duì)數(shù)分度中的單位長(zhǎng)度為L(zhǎng),ω0為參考點(diǎn),則當(dāng)ω以ω0為起點(diǎn),在10倍頻程內(nèi)變化時(shí),坐標(biāo)點(diǎn)相對(duì)于ω0的距離為表5-1中的第二行數(shù)值乘以L。圖5-4對(duì)數(shù)分度和線性分度表5-110倍頻程內(nèi)的對(duì)數(shù)分度

對(duì)數(shù)頻率特性采用ω的對(duì)數(shù)分度實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮,便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。對(duì)數(shù)幅頻特性采用20lgA(ω),則將幅值的乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算,可以簡(jiǎn)化曲線的繪制過(guò)程。令τ=1,則用MATLAB畫出上述RC電路的伯德圖如圖5-5所示，其程序如下：

bode(［1］,［11］)圖5-5RC電路的伯德圖5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性1.比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)的頻率特性為G(jω)=K

(5.15)顯然,它與頻率無(wú)關(guān)。相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性為對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.17)圖5-6比例環(huán)節(jié)的奈氏圖圖5-7比例環(huán)節(jié)的伯德圖2.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.18)其幅頻特性和相頻特性為(5.19)由式(5.19)可見(jiàn),它的幅頻特性與角頻率ω成反比,而相頻特性恒為-90°。對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.20)圖5-8積分環(huán)節(jié)的奈氏圖圖5-9積分環(huán)節(jié)的伯德圖

3.微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.21)其幅頻特性和相頻特性為(5.22)由式(5.22)可見(jiàn),微分環(huán)節(jié)的幅頻特性等于角頻率ω,而相頻特性恒為90°。對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.23)圖5-10微分環(huán)節(jié)的奈氏圖圖5-11微分環(huán)節(jié)的伯德圖4.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.24)它的幅頻特性和相頻特性為(5.25)式(5.24)寫成實(shí)部和虛部形式,即則有即

所以,慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是圓心在(0.5,0),半徑為0.5的半圓(見(jiàn)圖5-12)。對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.26)圖5-12慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖圖5-13慣性環(huán)節(jié)的伯德圖

當(dāng)ωT=1時(shí),ω=1/T稱為交接頻率,或叫轉(zhuǎn)折頻率、轉(zhuǎn)角頻率。慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的繪制方法如下:先找到ω=1/T,L(ω)=0dB的點(diǎn),從該點(diǎn)向左作水平直線,向右作斜率為-20dB/dec的直線。在低頻段和高頻段,精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與漸近線幾乎重合。在ω=1/T附近,可以選幾個(gè)點(diǎn),把由式(5.26)算出的精確的L(ω)值標(biāo)在圖上,用曲線板光滑地連接起來(lái),就得精確的對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。漸近線和精確曲線在交接頻率附近的誤差列于表5-2中。表5-2慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差由表可知,在交接頻率處誤差達(dá)到最大值:一般來(lái)說(shuō),這些誤差并不影響系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)。在低頻段,ω很小,Ωt<<1,φ(ω)=0°;在高頻段,ω很大,ωT>>1,φ(ω)=-90°。所以,φ(ω)=0°和φ(ω)=-90°是曲線φ(ω)的兩條漸近線,在交接頻率處有表5-3慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線角度值

慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線是一條中心點(diǎn)對(duì)稱的曲線,這可以證明如下:取兩個(gè)關(guān)于ω=1/T對(duì)稱的頻率ω1=α/T和ω2=1/(αT),則有因此有這表明φ(ω)是關(guān)于ω=1/T,φ(ω)=-45°這一點(diǎn)中心對(duì)稱的。用MATLAB畫出的慣性環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-14所示(T=1)。圖5-14MATLAB繪制的慣性環(huán)節(jié)的伯德圖5.一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.27)幅頻特性和相頻特性為(5.28)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.29)圖5-15一階微分環(huán)節(jié)的奈氏圖圖5-16一階微分環(huán)節(jié)的伯德圖6.二階振蕩環(huán)節(jié)二階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.30)它的幅頻特性和相頻特性為(5.31)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.32)由式(5.31)得(ωT≤1)(ωT＞1)所以有(ω=0)(ω→+∞)圖5-17二階振蕩環(huán)節(jié)的奈氏圖

畫二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖時(shí)分析如下：在低頻段,ω很小,ωT<<1,L(ω)=0dB；在高頻段,ω很大,ωT>>1,L(ω)=-20lg(ωT)2=-40lg(ωT)dB。其對(duì)數(shù)幅頻特性曲線可用上述低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示,如圖5-18的漸近線所示。這兩條線相交處的交接頻率ω=1/T,稱為振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率。在交接頻率附近,對(duì)數(shù)幅頻特性與漸近線存在一定的誤差,其值取決于阻尼比ζ的值,阻尼比越小,則誤差越大,如表5-4所示。當(dāng)ζ＜0.707時(shí),在對(duì)數(shù)幅頻特性上出現(xiàn)峰值。根據(jù)表5-5可繪制出不同阻尼比的相頻特性曲線。二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-18所示。表5-4二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差(dB)表5-5二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)相頻特性曲線角度值圖5-18二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖7.遲后環(huán)節(jié)遲后環(huán)節(jié)的頻率特性為(5.33)幅頻特性和相頻特性為(5.34)可見(jiàn),其奈氏圖是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,半徑為1的圓。對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為(5.35)圖5-19遲后環(huán)節(jié)的奈氏圖圖5-20遲后環(huán)節(jié)的伯德圖5.3控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性曲線的繪制5.3.1開(kāi)環(huán)頻率特性奈氏圖的繪制以后我們將會(huì)看到,在繪制奈氏圖時(shí)有時(shí)并不需要繪制得十分準(zhǔn)確,而只需要繪出奈氏圖的大致形狀和幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置就可以了。因此,由以上典型環(huán)節(jié)奈氏圖的繪制,大致可將奈氏圖的一般作圖方法歸納如下:(1)寫出A(ω)和φ(ω)的表達(dá)式;(2)分別求出ω=0和ω=+∞時(shí)的G(jω);(3)求奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn),交點(diǎn)可利用G(jω)的虛部Im［G(jω)］=0的關(guān)系式求出,也可利用∠G(jω)=n·180°(其中n為整數(shù))求出;(4)如果有必要,可求奈氏圖與虛軸的交點(diǎn),交點(diǎn)可利用G(jω)的實(shí)部Re［G(jω)］=0的關(guān)系式求出,也可利用∠G(jω)=n·90°(其中n為正整數(shù))求出;(5)必要時(shí)畫出奈氏圖中間幾點(diǎn);(6)勾畫出大致曲線?！纠?-1】

試?yán)L制下列開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的奈氏圖:解該環(huán)節(jié)開(kāi)環(huán)頻率特性為ω=0,A(ω)=10,φ(ω)=0°,即奈氏圖的起點(diǎn)為(10,j0)；ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-180°,即奈氏圖的終點(diǎn)為(0,j0)。顯然,ω從0變化到+∞,A(ω)單調(diào)遞減,而φ(ω)則從0°到-180°但不超過(guò)-180°。

奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)可由φ(ω)=0°得到,即為(10,j0);奈氏圖與虛軸的交點(diǎn)可由φ(ω)=270°(即-90°)得到,即得1-0.1ω2=0,ω2=10,則故奈氏圖與虛軸的交點(diǎn)為(0,-j2.87)。其奈氏圖如圖5-21所示。用MATLAB繪制的奈氏圖如圖5-22所示。注意,一般手繪的奈氏圖,其頻率范圍是0~+∞,而MATLAB繪制奈氏圖時(shí),則是從-∞~+∞。MATLAB繪制程序如下：

nyquist(［10］,conv(［11］,［0.11］))圖5-21例5-1的奈氏圖圖5-22MATLAB繪制例5-1的奈氏圖【例5-2】已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其奈氏圖。

解該傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性分別為因此有ω=0,A(ω)=1,φ(ω)=0°和ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-∞。即奈氏圖的起點(diǎn)為(1,j0),終點(diǎn)為(0,j0),隨著ω的增大,曲線距離原點(diǎn)越來(lái)越近,相角越來(lái)越負(fù),奈氏圖與實(shí)軸和虛軸有無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)。系統(tǒng)的奈氏圖如圖5-23所示。圖5-23例5-2的奈氏圖【例5-3】

設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制其奈氏圖。

解該傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性分別為所以有ω=0+,A(ω)=+∞,φ(ω)=-90°-Δ為正的很小量,故起點(diǎn)在第Ⅲ象限;ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-270°+Δ,故在第Ⅱ象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。

因?yàn)橄嘟菑?90°變化到-270°,所以必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。由φ(ω)=-180°得即

上式兩邊取正切,得2ω=1/ω,即ω=0.707,此時(shí)A(ω)=0.67。因此,奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)為(-0.67,j0)。系統(tǒng)的奈氏圖如圖5-24所示。用MATLAB繪制(-1,j0)點(diǎn)附近的奈氏圖如圖5-25所示，其程序如下：

nyquist(［1］,conv(conv(［10］,［11］),［21］))【例5-3】中系統(tǒng)型次即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)ν=1,若分別取ν=2,3和4,則根據(jù)積分環(huán)節(jié)的相角,將圖5-24曲線分別繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)－90°,－180°和－270°即可得相應(yīng)的奈氏圖,如圖5-26所示。

圖5-24例5-3的奈氏圖圖5-25MATLAB繪制例5-3的奈氏圖圖5-26ν=1,2,3,4時(shí)的奈氏圖【例5-4】

設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為其中K=0.1,T=1,T1=0.2,T2=0.5。試?yán)L制系統(tǒng)的奈氏圖。

解該傳遞函數(shù)的幅頻特性和相頻特性分別為

根據(jù)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性有:ω=0+,A(ω)=+∞，φ(ω)=-90°+Δ,故奈氏圖起點(diǎn)在第Ⅳ象限;ω=+∞,A(ω)=0,φ(ω)=-180°+Δ,故系統(tǒng)奈氏圖在第Ⅲ象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。因?yàn)橄嘟欠秶鸀椋?0°~－180°,所以必有與負(fù)虛軸的交點(diǎn)。由φ(ω)=－90°得-90°+arctgω-arctg0.2ω-arctg0.5ω=-90°即arctgω=arctg0.2ω+arctg0.5ω上式兩邊取正切,得ω2=3,即ω=1.732,此時(shí)A(ω)=0.0825。所以,奈氏圖與虛軸的交點(diǎn)為(0,-j0.0825)。系統(tǒng)奈氏圖如圖5-27所示。圖5-27例5-4的奈氏圖5.3.2開(kāi)環(huán)頻率特性伯德圖的繪制控制系統(tǒng)一般總是由若干環(huán)節(jié)組成的,設(shè)其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性為或(5.36)則系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性為(5.37)其中,Li(ω)=20lgAi(ω),(i=1,2,…,n)。可見(jiàn),系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別由各個(gè)環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性相加得到。【例5-5】

繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的零型系統(tǒng)的伯德圖。解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為圖5-28例5-5的伯德圖

實(shí)際上,在熟悉了對(duì)數(shù)幅頻特性的性質(zhì)后,不必先一一畫出各環(huán)節(jié)的特性,然后相加,而可以采用更簡(jiǎn)便的方法。由上例可見(jiàn),零型系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線,隨著ω的增加,每遇到一個(gè)交接頻率,對(duì)數(shù)幅頻特性就改變一次斜率。【例5-6

】

設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的伯德圖。

解系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為不難看出,此系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段斜率為－20dB/dec,它(或者其延長(zhǎng)線)在ω=1處與L1(ω)=20lgK的水平線相交。在交接頻率ω=1/T處,幅頻特性的斜率由－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec,系統(tǒng)的伯德圖如圖5-29所示。圖5-29例5-6的伯德圖

通過(guò)以上分析,可以看出系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性有如下特點(diǎn):低頻段的斜率為－20νdB/dec,ν為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中所包含的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目。低頻段(若存在小于1的交接頻率時(shí)則為其延長(zhǎng)線)在ω＝1處的對(duì)數(shù)幅值為20lgK。在典型環(huán)節(jié)的交接頻率處,對(duì)數(shù)幅頻特性漸近線的斜率要發(fā)生變化,變化的情況取決于典型環(huán)節(jié)的類型。如遇到G(s)＝(1+Ts)±1的環(huán)節(jié),交接頻率處斜率改變±20dB/dec;如遇二階振蕩環(huán)節(jié) ,在交接頻率處斜率就要改變－40dB/dec,等等。

綜上所述,可以將繪制對(duì)數(shù)幅頻特性的步驟歸納如下:(1)將開(kāi)環(huán)頻率特性分解,寫成典型環(huán)節(jié)相乘的形式;(2)求出各典型環(huán)節(jié)的交接頻率,將其從小到大排列為ω1,ω2,ω3,…

并標(biāo)注在ω軸上;(3)繪制低頻漸近線(ω1左邊的部分),這是一條斜率為-20νdB/dec的直線,它或它的延長(zhǎng)線應(yīng)通過(guò)(1,20lgK)點(diǎn);(4)隨著ω的增加,每遇到一個(gè)典型環(huán)節(jié)的交接頻率,就按上述方法改變一次斜率;(5)必要時(shí)可利用漸近線和精確曲線的誤差表,對(duì)交接頻率附近的曲線進(jìn)行修正,以求得更精確的曲線。對(duì)數(shù)相頻特性可以由各個(gè)典型環(huán)節(jié)的相頻特性相加而得,也可以利用相頻特性函數(shù)φ(ω)直接計(jì)算?！纠?-7】

已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的伯德圖。

解將開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下典型環(huán)節(jié)乘積形式:

可見(jiàn),此系統(tǒng)由一個(gè)比例環(huán)節(jié)、一個(gè)積分環(huán)節(jié)、一個(gè)慣性環(huán)節(jié)、一個(gè)一階微分環(huán)節(jié)和一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)組成,且ω1=1.414,ω2=2,ω3=3。20lgK=20lg7.5=17.5。阻尼比ζ=0.354。在確定了各個(gè)環(huán)節(jié)的交接頻率和20lgK的值以后,可按下列步驟繪制系統(tǒng)的伯德圖:(1)通過(guò)點(diǎn)(1,17.5)畫一條斜率為－20dB/dec的直線,它就是低頻段的漸近線;(2)在ω1=1.414處,將漸近線的斜率從－20dB/dec改為－60dB/dec,這是考慮振蕩環(huán)節(jié)的作用;(3)由于一階慣性環(huán)節(jié)的影響,從ω2=2起,漸近線斜率應(yīng)減少20dB/dec,即從原來(lái)的－60dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec;(4)在ω3=3處,漸近線的斜率改變20dB/dec,形成斜率為－60dB/dec的線段,這是由于一階微分環(huán)節(jié)的作用;(5)根據(jù)相頻特性φ(ω),求出若干點(diǎn)的相頻特性曲線角度值,如表5-6所示,將各點(diǎn)光滑連接,可以繪制系統(tǒng)的相頻特性。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的伯德圖如圖5-30所示(虛線為漸近線)。繪制程序如下：

bode(［1030］,conv(conv(［10］,［12］),［112］))表5-6例5-7系統(tǒng)對(duì)數(shù)相頻特性曲線角度值圖5-30例5-7的伯德圖5.3.3最小相位系統(tǒng)在以上幾個(gè)例子中,系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)都位于s平面的左半部,這種傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù);否則,稱為非最小相位傳遞函數(shù)。具有最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng),稱為最小相位系統(tǒng);而具有非最小相位傳遞函數(shù)的系統(tǒng),則稱為非最小相位系統(tǒng)。對(duì)于幅頻特性相同的系統(tǒng),最小相位系統(tǒng)的相位遲后是最小的,而非最小相位系統(tǒng)的相位遲后則必定大于前者。當(dāng)單回路系統(tǒng)中只包含比例、積分、微分、慣性和振蕩環(huán)節(jié)時(shí),系統(tǒng)一定是最小相位系統(tǒng)。如果在系統(tǒng)中存在遲后環(huán)節(jié)或者不穩(wěn)定的環(huán)節(jié)(包括不穩(wěn)定的內(nèi)環(huán)回路)時(shí),系統(tǒng)就成為非最小相位系統(tǒng)。

對(duì)于最小相位系統(tǒng),對(duì)數(shù)幅頻特性與相頻特性之間存在著唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系。根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性,可以唯一地確定相應(yīng)的相頻特性和傳遞函數(shù),反之亦然。但是,對(duì)于非最小相位系統(tǒng),就不存在上述的這種關(guān)系。實(shí)用的大多數(shù)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng),為了簡(jiǎn)化工作量,對(duì)于最小相位系統(tǒng)的伯德圖,可以只畫幅頻特性。例如有一最小相位系統(tǒng),其頻率特性為另有一非最小相位系統(tǒng),其頻率特性如下:(T2＞T1＞0)

從圖5-31不難看出,這兩個(gè)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性是完全相同的,而相頻特性卻根本不同。前一系統(tǒng)的相角φ1(ω)變化范圍很小,而后一系統(tǒng)的相角φ2(ω)隨著角頻率ω的增加卻從0°變到趨于-180°。繪制程序如下：

bode(［11］,［1001］)holdonbode(［-11］,［1001］)圖5-31最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的伯德圖【例5-8】繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的伯德圖。解系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性分別為

可見(jiàn),此系統(tǒng)的幅頻特性與慣性環(huán)節(jié)相同,而其相頻特性卻比慣性環(huán)節(jié)多了一項(xiàng)-τω。顯然,它的遲后相角增加很快。開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的伯德圖如圖5-32所示。圖5-32例5-8的伯德圖5.4頻域穩(wěn)定性判據(jù)5.4.1映射定理

設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為s為復(fù)變量,以s復(fù)平面上的s＝σ+jω表示。F(s)為復(fù)變函數(shù),記F(s)＝U+jV。(5.38)

設(shè)對(duì)于s平面上除了有限奇點(diǎn)之外的任一點(diǎn)s,復(fù)變函數(shù)F(s)為解析函數(shù),那么,對(duì)于s平面上的每一解析點(diǎn),在F(s)平面上必定有一個(gè)對(duì)應(yīng)的映射點(diǎn)。因此,如果在s平面畫一條封閉曲線,并使其不通過(guò)F(s)的任一奇點(diǎn),則在F(s)平面上必有一條對(duì)應(yīng)的映射曲線,如圖5-33所示。若在s平面上的封閉曲線是沿著順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的,則在F(s)平面上的映射曲線的運(yùn)動(dòng)方向可能是順時(shí)針的,也可能是逆時(shí)針的,這取決于F(s)函數(shù)的特性。我們感興趣的不是映射曲線的形狀,而是它包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)和運(yùn)動(dòng)方向,因?yàn)檫@兩者與系統(tǒng)的穩(wěn)定性密切相關(guān)。圖5-33s平面與F(s)平面的映射關(guān)系根據(jù)式(5.38),復(fù)變函數(shù)F(s)的相角可表示為(5.39)

假定在s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的一個(gè)零點(diǎn)z1,而其他零極點(diǎn)都位于封閉曲線之外,則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí),向量(s－z1)的相角變化-2π弧度,而其他各相量的相角變化為零。這意味著在F(s)平面上的映射曲線沿順時(shí)針?lè)较驀@著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周,也就是向量F(s)的相角變化了-2π弧度,如圖5-34所示。若s平面上的封閉曲線包圍著F(s)的Z個(gè)零點(diǎn),則在F(s)平面上的映射曲線將按順時(shí)針?lè)较驀@著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)Z周。圖5-34封閉曲線包圍z1時(shí)的映射情況

用類似分析方法可以推論,若s平面上的封閉曲線包圍了F(s)的P個(gè)極點(diǎn),則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時(shí)針移動(dòng)一周時(shí),在F(s)平面上的映射曲線將按逆時(shí)針?lè)较驀@著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P周。綜上所述,映射定理可以歸納如下:

映射定理設(shè)s平面上的封閉曲線包圍了復(fù)變函數(shù)F(s)的P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn),并且此曲線不經(jīng)過(guò)F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn),則當(dāng)復(fù)變量s沿封閉曲線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)時(shí),在F(s)平面上的映射曲線按逆時(shí)針?lè)较虬鼑鴺?biāo)原點(diǎn)P-Z周。5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為m≤n

此系統(tǒng)的特征方程為圖5-35奈氏回線

由上式可見(jiàn),復(fù)變函數(shù)F(s)的零點(diǎn)為系統(tǒng)特征方程的根(閉環(huán)極點(diǎn))s1、s2、…、sn,而F(s)的極點(diǎn)則為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)p1、p2、…、pn。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是,特征方程的根,即F(s)的零點(diǎn),都位于s平面的左半部。為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,需要檢驗(yàn)F(s)是否有位于s平面右半部的零點(diǎn)。為此可以選擇一條包圍整個(gè)s平面右半部的按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)的封閉曲線,通常稱為奈奎斯特回線,簡(jiǎn)稱奈氏回線,如圖5-35所示。奈氏回線由兩部分組成,一部分是沿著虛軸由下向上移動(dòng)的直線段C1,在此線段上s＝j(luò)ω,ω由－∞變到＋∞；另一部分是半徑為無(wú)窮大的半圓C2。如此定義的封閉曲線肯定包圍了F(s)的位于s平面右半部的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)。

設(shè)復(fù)變函數(shù)F(s)在s平面的右半部有Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)。根據(jù)映射定理,當(dāng)s沿著s平面上的奈氏回線移動(dòng)一周時(shí),在F(s)平面上的映射曲線CF=1＋G(s)H(s)將按逆時(shí)針?lè)较驀@坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N=P－Z周。由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,F(s)在s平面右半部無(wú)零點(diǎn),即Z＝0。因此可得以下的穩(wěn)定判據(jù)。

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)如果在s平面上,s沿著奈氏回線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周時(shí),在F(s)平面上的映射曲線CF圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)N=P周,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程有

G(s)H(s)=F(s)-1 (5.41)這意味著F(s)的映射曲線CF圍繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的情況,相當(dāng)于G(s)H(s)的封閉曲線CGH圍繞著(－1,j0)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況,如圖5-36所示。圖5-36奈氏曲線映射在F(s)平面和G(s)H(s)平面上

繪制映射曲線CGH的方法是:令s＝j(luò)ω代入G(s)H(s),得到開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)H(jω),按前面介紹的方法畫出奈氏圖,再畫出其對(duì)稱于實(shí)軸的、ω從0變到－∞的那部分曲線。至于映射曲線上對(duì)應(yīng)于 的部分,由于在實(shí)際物理系統(tǒng)中m≤n,當(dāng)n＞m時(shí)G(s)H(s)趨近于零,n＝m時(shí)G(s)H(s)為實(shí)常數(shù)。因此,只要繪制出ω從－∞變化到＋∞的開(kāi)環(huán)頻率特性,就構(gòu)成了完整的映射曲線CGH。

綜上所述,可將奈氏判據(jù)表述如下:閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是,當(dāng)ω從－∞變化到＋∞時(shí),系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)按逆時(shí)針?lè)较虬鼑?－1,j0)點(diǎn)P周,P為位于s平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。顯然,若開(kāi)環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,即位于s平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是:系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)不包圍(－1,j0)點(diǎn)?！纠?-9】

已知開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制(1)K=5,(2)K=10時(shí)的奈氏圖,并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

(1)當(dāng)K=5時(shí),開(kāi)環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為

從而有ω=0+時(shí),A(ω)=5,φ(ω)=0°;ω=+∞時(shí),A(ω)=0,φ(ω)=-270°+Δ,故奈氏圖在第Ⅱ象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。因?yàn)橄嘟欠秶鸀?°~－270°,所以必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。當(dāng)ω=1.8時(shí),φ(ω)=-177°,A(ω)=0.66;當(dāng)ω=1.9時(shí),φ(ω)=－181°,A(ω)=0.59。所以,當(dāng)ω=ω1,1.8＜ω1＜1.9時(shí),φ(ω)=－180°,A(ω)=A1,0.59＜A1

＜0.66,因此與實(shí)軸的交點(diǎn)在(－1,j0)點(diǎn)的右側(cè)。奈氏圖如圖5-37所示。因?yàn)閟平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0,且奈氏曲線不包圍(－1,j0)點(diǎn),即N=0,則Z＝P－N=0,所以系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)當(dāng)K=10時(shí),奈氏圖形狀與(1)相同,只是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,向外“膨脹”而已?！芭蛎洝钡谋稊?shù)為10/5=2,故與實(shí)軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在(－0.59×2,－0.66×2)之間,即交點(diǎn)在(－1,j0)點(diǎn)的左側(cè)。因?yàn)閟

平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0,且奈氏曲線順時(shí)針包圍(－1,j0)點(diǎn)2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面右半部。用MATLAB繪制的奈氏圖如圖5-38所示，其程序如下：

nyquist(［5］,conv(conv(［10.5］,［11］),［12］))圖5-37例5-9的奈氏圖圖5-38MATLAB繪制例5-9的奈氏圖5.4.3虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)時(shí)的奈氏判據(jù)虛軸上有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的情況通常出現(xiàn)在系統(tǒng)中有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的時(shí)候,即在s平面的坐標(biāo)原點(diǎn)有開(kāi)環(huán)極點(diǎn)。這時(shí)不能直接應(yīng)用圖5-35所示的奈氏回線,因?yàn)橛成涠ɡ硪蟠嘶鼐€不經(jīng)過(guò)F(s)的奇點(diǎn)。為了在這種情況下應(yīng)用奈氏判據(jù),可以選擇圖5-39所示的奈氏回線,它與圖5-35中奈氏回線的區(qū)別僅在于,此回線經(jīng)過(guò)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心,以無(wú)窮小量ε為半徑的,在s平面右半部的小半圓,繞過(guò)了開(kāi)環(huán)極點(diǎn)所在的原點(diǎn)。當(dāng)ε→0時(shí),此小半圓的面積也趨近于零。因此,F(s)的位于s平面右半部的零點(diǎn)和極點(diǎn)均被此奈氏回線包圍在內(nèi)，而將位于坐標(biāo)原點(diǎn)處的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)劃到了左半部。這樣處理是為了適應(yīng)奈氏判據(jù)的要求,因?yàn)閼?yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)必須首先明確位于s平面右半部和左半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目。圖5-39虛軸上有極點(diǎn)的奈氏回線當(dāng)s沿著上述小半圓移動(dòng)時(shí),有

當(dāng)ω從0-沿小半圓變到0+時(shí),s按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了180°,G(s)H(s)在其平面上的映射為ν為系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)數(shù)目。

由以上分析可見(jiàn),當(dāng)s沿著小半圓從ω=0-變化到ω=0+時(shí),θ角從－90°經(jīng)0°變化到＋90°,這時(shí)在G(s)H(s)平面上的映射曲線將沿著半徑為無(wú)窮大的圓弧按順時(shí)針?lè)较驈?0ν°經(jīng)過(guò)0°轉(zhuǎn)到－90ν°。【例5-10】

繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的奈氏圖,并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解開(kāi)環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為

從而有ω=0+時(shí),A(ω)=∞,φ(ω)=-90°-Δ,Δ為正的很小量,故起點(diǎn)在第Ⅲ象限;ω=+∞時(shí),A(ω)=0,φ(ω)=-270°+Δ,故在第Ⅱ象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。因?yàn)橄嘟欠秶鷱模?0°到－270°,所以必有與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)。由φ(ω)=－180°得即上式兩邊取正切,得0.5ω=1/ω,即ω=1.414,此時(shí)A(ω)=1.67。因此奈氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)為(－1.67,j0)。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有一極點(diǎn)在s平面的原點(diǎn)處,因此奈氏回線中半徑為無(wú)窮小量ε的半圓弧對(duì)應(yīng)的映射曲線是一個(gè)半徑為無(wú)窮大的圓弧:ω:0-→0+;θ:－90°→0°→＋90°;φ(ω):＋90°→0°→－90°奈氏圖如圖5-40所示。因?yàn)閟

平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0,且奈氏曲線順時(shí)針包圍(－1,

j0)點(diǎn)2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面右半部。用MATLAB繪制(－1,j0)點(diǎn)附近的奈氏圖如圖5-41所示，其程序如下：

nyquist(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［12］))圖5-40例5-10的奈氏圖圖5-41MATLAB繪制例5-10的奈氏圖【例5-11】

繪制開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為的奈氏圖,并判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解開(kāi)環(huán)幅頻特性和相頻特性分別為從而有ω=0+時(shí),A(ω)=∞,φ(ω)=-180°-Δ,Δ為正的很小量,故奈氏圖起點(diǎn)在第Ⅱ象限;ω=+∞時(shí),A(ω)=0,φ(ω)=-360°+Δ,故在第Ⅰ象限趨向終點(diǎn)(0,j0)。

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)在s平面的原點(diǎn)處,因此奈氏回線中半徑為無(wú)窮小量ε的半圓弧對(duì)應(yīng)的映射曲線是一個(gè)半徑為無(wú)窮大的圓弧:ω:0-→0+;θ:－90°→0°→＋90°;φ(ω):＋180°→0°→－180°奈氏圖如圖5-42所示。因?yàn)閟平面右半部的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)P＝0,且奈氏曲線順時(shí)針包圍(－1,j0)點(diǎn)2次,即N=－2,則Z＝P－N=2,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)在s平面右半部。用MATLAB繪制(－1,j0)點(diǎn)附近的奈氏圖如圖5-43所示，其程序如下：

nyquist(［10］,conv(conv(［100］,［11］),［12］))圖5-42例5-11的奈氏圖圖5-43MATLAB繪制例5-11的奈氏圖

5.4.4對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)實(shí)際上是奈氏判據(jù)的另一種形式,即利用開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的伯德圖來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性的奈氏圖(極坐標(biāo)圖)和伯德圖之間有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:奈氏圖上以原點(diǎn)為圓心的單位圓對(duì)應(yīng)于伯德圖對(duì)數(shù)幅頻特性的0分貝線;奈氏圖上的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)于伯德圖上相頻特性的－180°線。伯德圖上,φ(ω)從－180°線以下增加到－180°線以上,稱為φ(ω)對(duì)－180°線的正穿越;反之,稱為負(fù)穿越。圖5-44例5-12的伯德圖

對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)可表述如下:閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,當(dāng)ω由0變到∞時(shí),在開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)≥0的頻段內(nèi),相頻特性φ(ω)穿越－180°線的次數(shù)(正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差)為P/2。P為s平面右半部開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。注意,奈氏判據(jù)中,s沿著奈氏回線順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng)一周,故ω由－∞變到∞,所以伯德圖中ω由0變到∞時(shí),穿越次數(shù)為P/2,而不是P。對(duì)于開(kāi)環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng),此時(shí)，P=0，若在L(ω)≥0的頻段內(nèi)，相頻特性φ(ω)穿越-180°線的次數(shù)(正穿越與負(fù)穿越之差)為0則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定?！纠?-12】

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷其穩(wěn)定性。

解伯德圖如圖5-44所示。此系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半部沒(méi)有極點(diǎn),即P=0,而在L(ω)≥0的頻段內(nèi),相頻特性φ(ω)不穿越－180°線,故閉環(huán)系統(tǒng)必然穩(wěn)定。5.5穩(wěn)定裕度

從奈氏判據(jù)可知,若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)沒(méi)有右半平面的極點(diǎn),且閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,那么奈氏曲線G(jω)H(jω)離(－1,j0)點(diǎn)越遠(yuǎn),則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高;反之,G(jω)H(jω)離(－1,j0)點(diǎn)越近,則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越低;如果G(jω)H(jω)穿過(guò)(－1,j0)點(diǎn),則意味著閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這便是通常所說(shuō)的相對(duì)穩(wěn)定性,它通過(guò)G(jω)H(jω)對(duì)(－1,j0)點(diǎn)的靠近程度來(lái)度量,其定量表示為相角裕度γ和增益裕度Kg,如圖5-45所示。圖5-45相角裕度和增益裕度

1.相角裕度γ

在頻率特性上對(duì)應(yīng)于幅值A(chǔ)(ω)＝1的角頻率稱為剪切頻率,以ωc表示,在剪切頻率處,相頻特性距－180°線的相位差γ叫做相角裕度。圖5-45(a)表示的具有正相角裕度的系統(tǒng)不僅穩(wěn)定,而且還有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定儲(chǔ)備,它可以在ωc的頻率下,允許相角再增加(遲后)γ度才達(dá)到臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此相角裕度也叫相位穩(wěn)定性儲(chǔ)備。對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng),φ必在伯德圖－180°線以上,這時(shí)稱為正相角裕度,或者有正相角裕度,如圖5-45(c)所示。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng),φ必在－180°線以下,這時(shí)稱為負(fù)相角裕度,如圖5-45(d)所示。故有(5.42)2.增益裕度Kg

在相頻特性等于－180°的頻率ωg處,開(kāi)環(huán)幅頻特性A(ωg)的倒數(shù)稱為增益裕度,記做Kg,即(5.43)在伯德圖上,增益裕度改以分貝(dB)表示,Kg=-20lgA(ωg)。此時(shí),對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng),L(ωg)必在伯德圖0dB線以下,這時(shí)稱為正增益裕度,如圖5-45(c)所示。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng),L(ωg)必在0dB線以上,這時(shí)稱為負(fù)增益裕度,如圖5-45(d)所示。以上表明,在圖5-45(c)中,對(duì)數(shù)幅頻特性還可上移Kg,即開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的增益增加Kg倍,則閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的臨界狀態(tài)。

在奈氏圖中,奈氏曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離即為1/Kg,它代表在頻率ωg處開(kāi)環(huán)頻率特性的模。顯然,對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng),1/Kg

＜1,如圖5-45(a)所示;對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)有1/Kg

＞1,如圖5-45(b)所示。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng),其相角裕度應(yīng)為正值,增益裕度應(yīng)大于1。嚴(yán)格地講,應(yīng)當(dāng)同時(shí)給出相角裕度和增益裕度,才能確定系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。但在粗略估計(jì)系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)指標(biāo)時(shí),有時(shí)主要對(duì)相角裕度提出要求。保持適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定裕度,可以預(yù)防系統(tǒng)中元件性能變化可能帶來(lái)的不利影響。為使系統(tǒng)有滿意的穩(wěn)定儲(chǔ)備,以及得到較滿意的暫態(tài)響應(yīng),在工程實(shí)踐中,一般希望γ為45°~60°，Kg≥10dB,即Kg≥3?！纠?-13】

單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為分別求取K1=10及K1=100時(shí)的相角裕度和增益裕度。

解相角裕度可通過(guò)對(duì)數(shù)幅頻特性用圖解法求出。K1=10時(shí),ω1=1,ω2=5。20lgK=20lg2=6dB。畫出對(duì)數(shù)幅頻特性曲線,如圖5-46所示。圖5-46例5-13的伯德圖(幅頻特性)

由圖可知:所以剪切頻率。相角裕度為當(dāng)K1從10變到100時(shí),幅頻特性上移20lg(100/10)＝20dB,如圖5-46中虛線所示。所以K1=100時(shí)對(duì)應(yīng)的剪切頻率為 。相角裕度為欲求增益裕度,則須先求出ωg,這里給出MATLAB計(jì)算的值,如圖5-47所示，其程序如下：

sys=tf(［100］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));margin(sys);figuresys=tf(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));margin(sys)圖5-47MATLAB繪制的例5-13的伯德圖圖5-47MATLAB繪制的例5-13的伯德圖5.6閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)5.6.1由開(kāi)環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性對(duì)于圖5-48所示的系統(tǒng),其開(kāi)環(huán)頻率特性為G(jω)H(jω),而閉環(huán)頻率特性則為因此,已知開(kāi)環(huán)頻率特性,就可以求出系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性,也就可以繪出閉環(huán)頻率特性曲線。這里介紹的是已知開(kāi)環(huán)頻率特性,定性地估計(jì)閉環(huán)頻率特性。圖5-48閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)為單位反饋,即H(jω)=1,則一般實(shí)際系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性具有低通濾波的性質(zhì)。所以低頻時(shí)|G(jω)|>>1,則高頻時(shí)|G(jω)|<<1,則圖5-49閉環(huán)幅頻特性例5-13

中取K1=10,則單位反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為而閉環(huán)傳遞函數(shù)為用MATLAB繪制其閉環(huán)頻率特性的伯德圖如圖5-50所示，其程序如下：

g1=tf(［10］,conv(conv(［10］,［11］),［15］));g2=tf(［1］,［1］)sys=feedback(g1,g2)margin(sys)圖5-50MATLAB繪制的閉環(huán)頻率特性伯德圖5.6.2頻域性能指標(biāo)圖5-51閉環(huán)系統(tǒng)頻域性能指標(biāo)

截止頻率(帶寬頻率)ωb是指對(duì)數(shù)幅頻特性的幅值下降到－3dB時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率。帶寬BW是指幅值不低于 對(duì)應(yīng)的頻率范圍,也即0~ωb的頻率范圍。帶寬反映了系統(tǒng)對(duì)噪聲的濾波特性,同時(shí)也反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。帶寬愈大,暫態(tài)響應(yīng)速度愈快。反之,帶寬愈小,只有較低頻率的信號(hào)才易通過(guò),則時(shí)域響應(yīng)往往比較緩慢。

諧振頻率ωr是指產(chǎn)生諧振峰值對(duì)應(yīng)的頻率,它在一定程度上反映了系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的速度。ωr

愈大,則暫態(tài)響應(yīng)愈快。對(duì)于弱阻尼系統(tǒng),ωr與ωb的值很接近。諧振峰值Mr是指閉環(huán)幅頻特性的最大值。它反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。一般而言,Mr值愈大,則系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量也愈大。通常希望系統(tǒng)的諧振峰值在1.1~1.4之間,相當(dāng)于二階系統(tǒng)的ζ為0.4＜ζ＜0.7。對(duì)于二階系統(tǒng),其幅頻特性為由 得諧振頻率ωr為(0≤ζ≤0.707)(5.44)則諧振峰值Mr為(0≤ζ≤0.707)(5.45)由 得截止頻率(帶寬頻率)ωb為(0≤ζ≤0.707)(5.46)5.7頻率特性的試驗(yàn)確定方法

要想用頻率特性分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng),首先要求出系統(tǒng)的頻率特性。頻率特性可用以下方法求取:(1)如果已知系統(tǒng)的微分方程,可將輸入變量以正弦函數(shù)代入,求系統(tǒng)的輸出變量的穩(wěn)態(tài)解,輸出變量的穩(wěn)態(tài)解與輸入正弦函數(shù)的復(fù)數(shù)比即為系統(tǒng)的頻率特性。

(2)如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù),可將傳遞函數(shù)中的s代之以輸入變量jω,即得到系統(tǒng)的頻率特性。

(3)可通過(guò)實(shí)驗(yàn)的手段來(lái)求出。圖5-52頻率特性的實(shí)驗(yàn)求取

用實(shí)驗(yàn)法測(cè)試系統(tǒng)的頻率特性,需要解決影響測(cè)試精度的主要因素:(1)由于被測(cè)系統(tǒng)具有某些非線性因素或其他漂移等影響,盡管輸入是正弦波信號(hào),但輸出可能含有直流分量及高次諧波;(2)由于隨機(jī)干擾,主要是噪聲,使輸出畸變。相關(guān)分析法能從被測(cè)系統(tǒng)的輸出信號(hào)中檢出正弦波的一次諧波,同時(shí)抑制直流分量、高次諧波和噪聲。線性系統(tǒng)頻率特性G(jω)可表示為復(fù)數(shù)形式:(5.47)

實(shí)頻特性X(ω)、虛頻特性Y(ω)與幅頻特性A(ω)及相頻特性φ(ω)之間有下列關(guān)系:(5.48)圖5-53相關(guān)分析法測(cè)試頻率特性原理示意圖在輸入信號(hào)ur(t)=Usinωt的作用下,被測(cè)系統(tǒng)的輸出信號(hào)為(5.49)式中,A0——輸出信號(hào)中的直流分量;u(t)——輸出信號(hào)中的噪聲分量;Asin(ωt+φ)——輸出信號(hào)中的基波分量;Ansin(nωt+φ)——輸出信號(hào)中的高次諧波分量。

若以幅值為一個(gè)單位的基準(zhǔn)信號(hào)sinωt和cosωt分別與輸出信號(hào)uc(t)相乘,然后在基波的整倍數(shù)周期內(nèi)積分并求平均值,則可得到基波分量的實(shí)部和虛部,而抑制掉其它分量,此即相關(guān)濾波原理。設(shè)輸入信號(hào)正弦波的頻率為f,周期為T,則ω＝2πf＝2π/T,取整數(shù)倍數(shù)周期NT求相關(guān)值,則有(5.50)考慮到并且從相關(guān)理論知,一個(gè)信號(hào)與另一隨機(jī)信號(hào)之間的相關(guān)值,將隨所取積分時(shí)間的增加而降低,即有故當(dāng)N值取得較大時(shí),式(5.50)可以寫作或者寫成同理可求得

因此,計(jì)算相關(guān)值后,除了可將測(cè)試時(shí)輸出信號(hào)中夾雜的直流分量、高次諧波分量都濾掉,噪聲的影響也因NT取得足夠大而忽略不計(jì)外,還能根據(jù)式(5.51)、(5.52)很方便地求得被測(cè)系統(tǒng)頻率特性的實(shí)部和虛部。為得到一定的測(cè)試精度,通常取N＞5。由實(shí)驗(yàn)測(cè)出系統(tǒng)的頻率特性后,進(jìn)而可以求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，下面舉例說(shuō)明?！纠?-14】

圖5-54實(shí)線是某系統(tǒng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)出的頻率特性伯德圖,試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解由幅頻特性低頻段可見(jiàn),該系統(tǒng)為0型系統(tǒng),且K=1。用折線(見(jiàn)圖中虛線)作為漸近線逼近幅頻特性曲線,其高頻段為－40dB/dec,兩個(gè)交接頻率為ω1=1(rad/s),ω2=2.4(rad/s)。由此可知,該系統(tǒng)為二階系統(tǒng),且

對(duì)于最小相位系統(tǒng),二階系統(tǒng)的相頻特性不會(huì)小于－180°,但該系統(tǒng)在高頻段已小于－180°,且呈