2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷28.1 銳角三角函數(shù) 達標訓練(含答案)

2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷28.1銳角三角函數(shù)達標訓練(含答案)28.1銳角三角函數(shù)達標訓練一、基礎·鞏固達標1.在Rt△ABC中，如果各邊長度都擴大2倍，則銳角A的正弦值和余弦值()A.都沒有變化B.都擴大2倍C.都縮小2倍D.不能確定2.已知α是銳角，且cosα=，則sinα=()A.B.C.D.3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶，則cosA=_______，tanA=_________.4.設α、β為銳角，若sinα=，則α=________；若tanβ=，則β=_________.5.用計算器計算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.6.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.二、綜合?應用達標7.已知α是銳角，且sinα=，則cos(90°－α)=()A.B.C.D.8.若α為銳角，tana=3，求的值.9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一個根為，且α為銳角，求tanα.10.同學們對公園的滑梯很熟悉吧！如圖28.1－13是某公園(六·一)前新增設的一臺滑梯，該滑梯高度AC=2m，滑梯著地點B與梯架之間的距離BC=4m.(1)求滑梯AB的長(精確到0.1m)；(2)若規(guī)定滑梯的傾斜角(∠ABC)不超過45°屬于安全范圍，請通過計算說明這架滑梯的傾斜角是否要求？圖28.1－1311.四邊形是不穩(wěn)定的.如圖28.1－14，一矩形的木架變形為平行四邊形，當其面積變?yōu)樵匦蔚囊话霑r，你能求出∠α的值嗎？圖28.1－14三、回顧?展望達標12.三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖28.3－15所示，則sinα的值是()A.B.C.D.圖28.1－15圖28.1－17圖28.1－1613.如圖28.1－17，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若⊙O的半徑，AC=2，則cosB的值是()A.B.C.D.14.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，則BC=()A.45B.5C.D.15.如圖28.3－16，CD是Rt△ABC斜邊上的高，AC=4，BC=3，則cos∠BCD=()A.B.C.D.16.課本中，是這樣引入“銳角三角函數(shù)”的：如圖28.1－18，在銳角α的終邊OB上，任意取兩點P和P1，分別過點P和P1做始邊OA的垂線PM和P1M1，M和M1為垂足.我們規(guī)定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.這是因為，由相似三角形的性質，可推得關于這些比值得兩個等式：________，________.說明這些比值都是由________唯一確定的，而與P點在角的終邊上的位置無關，所以，這些比值都是自變量α的函數(shù).圖28.1－18圖28.1－1917.計算：2－1－tan60°+(－1)0+；18.已知：如圖28.1－19，△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，sinB=，∠CAD=30°.(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的長.參考答案一、基礎·鞏固達標1.在Rt△ABC中，如果各邊長度都擴大2倍，則銳角A的正弦值和余弦值()A.都沒有變化B.都擴大2倍C.都縮小2倍D.不能確定思路解析：當Rt△ABC的各邊長度都擴大二倍，所得新三角形與原三角形相似，故銳角A大小不變.答案：A2.已知α是銳角，且cosα=，則sinα=()A.B.C.D.思路解析：由cosα=，可以設α的鄰邊為4k，斜邊為5k，根據(jù)勾股定理，α的對邊為3k，則sinα=.答案：C3.Rt△ABC中，∠C=90°，AC∶BC=1∶，則cosA=_______，tanA=_________.思路解析：畫出圖形，設AC=x，則BC=，由勾股定理求出AB=2x，再根據(jù)三角函數(shù)的定義計算.答案：，4.設α、β為銳角，若sinα=，則α=________；若tanβ=，則β=_________.思路解析：要熟記特殊角的三角函數(shù)值.答案：60°,30°5.用計算器計算：sin51°30′+cos49°50′－tan46°10′的值是_________.思路解析：用計算器算三角函數(shù)的方法和操作步驟.答案：0.38606.△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BD=9，tanB=，求AD、AC、BC.思路解析：由條件可知△ABC、△ABD、△ADC是相似的直角三角形，∠B=∠CAD，于是有tan∠CAD=tanB=，所以可以在△ABD、△ADC中反復地運用三角函數(shù)的定義和勾股定理來求解.解：根據(jù)題意，設AD=4k，BD=3k，則AB=5k.在Rt△ABC中，∵tanB=，∴AC=AB=k.∵BD=9,∴k=3.所以AD=4×3=12，AC=×3=20.根據(jù)勾股定理.二、綜合?應用達標7.已知α是銳角，且sinα=，則cos(90°－α)=()A.B.C.D.思路解析：方法1.運用三角函數(shù)的定義，把α作為直角三角形的一個銳角看待，從而對邊、鄰邊、斜邊之比為4∶3∶5，(90°－α)是三角形中的另一個銳角，鄰邊與斜邊之比為4∶5，cos(90°－α)=.方法2.利用三角函數(shù)中互余角關系“sinα=cos(90°－α)”.答案：A8.若α為銳角，tana=3，求的值.思路解析：方法1.運用正切函數(shù)的定義，把α作為直角三角形的一個銳角看待，從而直角三角形三邊之比為3∶1∶，sinα=，cosα=，分別代入所求式子中.方法2.利用tanα=計算，因為cosα≠0，分子、分母同除以cosα，化簡計算.答案：原式=.9.已知方程x2－5x·sinα+1=0的一個根為，且α為銳角，求tanα.思路解析：由根與系數(shù)的關系可先求出方程的另一個根是，進而可求出sinα=，然后利用前面介紹過的方法求tanα.解：設方程的另一個根為x2，則()x2=1∴x2=∴5sinα=()+()，解得sinα=.設銳角α所在的直角三角形的對邊為4k，則斜邊為5k，鄰邊為3k，∴tanα=.10.同學們對公園的滑梯很熟悉吧！如圖28.1－13是某公園(六·一)前新增設的一臺滑梯，該滑梯高度AC=2m，滑梯著地點B與梯架之間的距離BC=4m.圖28.1－13(1)求滑梯AB的長(精確到0.1m)；(2)若規(guī)定滑梯的傾斜角(∠ABC)不超過45°屬于安全范圍，請通過計算說明這架滑梯的傾斜角是否要求？思路解析：用勾股定理可以計算出AB的長，其傾斜角∠ABC可以用三角函數(shù)定義求出，看是否在45°范圍內.解：(1)在Rt△ABC中，≈4.5.答：滑梯的長約為4.5m.(2)∵tanB=,∴∠ABC≈27°,∠ABC≈27°＜45°.所以這架滑梯的傾斜角符合要求.11.四邊形是不穩(wěn)定的.如圖28.1－14，一矩形的木架變形為平行四邊形，當其面積變?yōu)樵匦蔚囊话霑r，你能求出∠α的值嗎？圖28.1－14思路解析：面積的改變實際上是平行四邊形的高在改變，結合圖形，可以知道h=，再在高所在的直角三角形中由三角函數(shù)求出α的度數(shù).解：設原矩形邊長分別為a，b，則面積為ab，由題意得，平行四邊形的面積S=ab.又因為S=ah=a(bsinα)，所以ab=absinα，即sinα=.所以α=30°.三、回顧?展望達標12.三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖28.3－15所示，則sinα的值是()圖28.1－15A.B.C.D.思路解析：觀察格點中的直角三角形，用三角函數(shù)的定義.答案：C13.如圖28.1－17，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，連接CD，若⊙O的半徑，AC=2，則cosB的值是()圖28.1－17A.B.C.D.思路解析：利用∠BCD=∠A計算.答案：D14.在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，則BC=()A.45B.5C.D.思路解析：根據(jù)定義sinA=，BC=AB·sinA.答案：B15.如圖28.3－16，CD是Rt△ABC斜邊上的高，AC=4，BC=3，則cos∠BCD=()圖28.1－16A.B.C.D.思路解析：直徑所對的圓周角是直角，設法把∠B轉移到Rt△ADC中，由“同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”，得到∠ADC=∠B.答案：B16.課本中，是這樣引入“銳角三角函數(shù)”的：如圖28.1－18，在銳角α的終邊OB上，任意取兩點P和P1，分別過點P和P1做始邊OA的垂線PM和P1M1，M和M1為垂足.我們規(guī)定，比值________叫做角α的正弦，比值________叫做角α的余弦.這是因為，由相似三角形的性質，可推得關于這些比值得兩個等式：________，________.說明這些比值都是由________唯一確定的，而與P點在角的終邊上的位置無關，所以，這些比值都是自變量α的函數(shù).圖28.1－18思路解析：正弦、余弦函數(shù)的定義.答案：，銳角α17.計算：2－1－tan60°+(－1)0+；思路解析：特殊角的三角函數(shù)，零指數(shù)次冪的意義，負指數(shù)次冪的意義.解：2－1－tan60°+(－1)0+||=－+1+=.18.已知：如圖28.1－19，△ABC內接于⊙O，點D在OC的延長線上，sinB=，∠CAD=30°.圖28.1－19(1)求證：AD是⊙O的切線；(2)若OD⊥AB，BC=5，求AD的長.思路解析：圓的切線問題跟過切點的半徑有關，連接OA，證∠OAD=90°.由sinB=可以得到∠B=30°，由此得到圓心角∠AOD=60°，從而得到△ACO是等邊三角形，由此∠OAD=90°.AD是Rt△OAD的邊，有三角函數(shù)可以求出其長度.(1)證明：如圖，連接OA.∵sinB=，∴∠B=30°.∴∠AOD=60°.∵OA=OC，∴△ACO是等邊三角形.∴∠OAD=60°.∴∠OAD=90°.∴AD是⊙O的切線.(2)解：∵OD⊥AB∴OC垂直平分AB.∴AC=BC=5.∴OA=5.在Rt△OAD中，由正切定義，有tan∠AOD=.∴AD=.28．1銳角三角函數(shù)1．三角形在正方形風格紙巾中的位置如圖28-1-3所示，則sinα的值是()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)圖28-1-3圖28-1-42．如圖28-1-4，某商場自動扶梯的長l為10米，該自動扶梯到達的高度h為6米，自動扶梯與地面所成的角為θ，則tanθ＝()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)3．cos30°＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\r(3)4．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，tanC＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C．1D.eq\r(3)5．若0°<A<90°，且4sin2A－2＝0，則∠A＝()A．30°B．45°C．60°D．75°6．按GZ1206型科學計算器中的白鍵eq\x(MODE)，使顯示器左邊出現(xiàn)DEG后，求cos9°的值，以下按鍵順序正確的是()A.eq\x(cos)eq\x(9)B.eq\x(cos)2ndFeq\x(9)C.eq\x(9)eq\x(cos)D.eq\x(9)2ndFeq\x(cos)7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的三角函數(shù)值．8．下列結論中正確的有()①sin30°＋sin30°＝sin60°；②sin45°＝cos45°；③cos25°＝sin65°；④若∠A為銳角，且sinA＝cos28°，則∠A＝62°.A．1個B．2個C．3個D．4個9．如圖28-1-5，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6,8，現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊，使點A與B點重合，折痕為DE，則tan∠CBE＝()圖28-1-5A.eq\f(24,7)B.eq\f(\r(7),3)C.eq\f(7,24)D.eq\f(1,3)10．如圖28-1-6，AD是BC邊上的高，E為AC邊上的中點，BC＝14，AD＝12，sinB＝eq\f(4,5).(1)求線段CD的長；(2)求tan∠EDC的值．圖28-1-6參考答案1．C2.A3.C4.B5.B6.A7．解：由2a＝3b，可得eq\f(a,b)＝eq\f(3,2).設a＝3k，b＝2k(k>0)，由勾股定理，得c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3k2＋2k2)＝eq\r(13)k.∴sinB＝eq\f(b,c)＝eq\f(2k,\r(13)k)＝eq\f(2\r(13),13)，cosB＝eq\f(a,c)＝eq\f(3k,\r(13)k)＝eq\f(3\r(13),13)，tanB＝eq\f(b,a)＝eq\f(2k,3k)＝eq\f(2,3).8．C9．C解析：設CE＝x，則AE＝8－x，由折疊性質知，AE＝BE＝8－x，在Rt△CBE中，由勾股定理，得BE2＝CE2＋BC2，即(8－x)2＝x2＋62，解得x＝eq\f(7,4).∴tan∠CBE＝eq\f(CE,BC)＝eq\f(\f(7,4),6)＝eq\f(7,24).10．解：(1)在Rt△ABD中，sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(4,5)，又AD＝12，∴AB＝15.BD＝eq\r(152－122)＝9.∴CD＝BC－BD＝14－9＝5.(2)在Rt△ADC中，E為AC邊上的中點，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠C.∴tan∠EDC＝tanC＝eq\f(AD,CD)＝eq\f(12,5).練習8銳角三角函數(shù)一、自主學習1.如圖28-1所示，△ABC中，∠C=90°，BC=a、AC=b，AB=c，則sinA=_________，cosB=_________，tanB=_________.圖28-12.sin30°=________，sin45°=________，sin60°=______.cos30°=_________，cos45°=_________，cos60°=_________.tan30°=_________，tan45°=________，tan60°=________.二、基礎鞏固3.Rt△ABC中，∠C=90°、AB=10、AC=8，則sinA=________，cosB=_______.4.Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分別是∠A、∠B的對邊，若sinA∶sinB=1∶2，則a∶b=________5.Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=，則sinA=________.6.Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，S△ABC=，則∠A=________.7.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，兩直角邊之和為14，則它的斜邊長為_________.8.若α為銳角，且tanα=，則∠cosα=__________.9.計算=_______________.10.計算cos245°+tan30°·cos30°=__________.11.Rt△ABC中，∠C=90°，a=，sinB=，則b=__________.12.△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=4，則AB=__________.三、能力提高13.Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，若AB=a，∠B=α，則AD等于()A.asin2αB.acos2αC.asinα·cosαD.atanα14.若cosα≤，則銳角α的取值范圍是()A.0°＜α≤30°B.α≥30°C.α≤60°D.30°≤α＜90°15.Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，若AD=2，BD=8，則tanA=()A.4B.2C.D.16.菱形ABCD中，對角線AC=10，BD=6，則sin=()[來源:Z|xx|k.Com]A.B.C.D.17.Rt△ABC中，∠C=90°，則sin2A+cos2A的值等于()A.1B.2sin2AC.(sinA+cosA)2D.018.計算的值是()A.B.C.1D.019.已知sinα·cosα=,且α為銳角，則cosα-sinα的值為()A.B.C.D.或20.已知α為銳角，且tanα=3,則的值為()A.B.C.D.四、模擬鏈接21.如圖28-2所示，△ABC中，∠B=90°、∠A=15°，試求tan75°的值.圖28-122.計算：sin30°-sin45°·cos45°+sin60°·tan30°-tan45°·cos60°23.觀察：sin30°=cos60°=，且30°+60°=90°sin45°=cos45°=，且45°+45°=90°sin60°=cos30°=，且60°+30°=90°若∠α+∠β=90°，且∠α、∠β為0°—90°范圍內的任意兩銳角，試確定sinα與cosβ之間的大小關系并說明理由.24.△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b，c，且，求sinA、tanB的值.參考答案一、自主學習1.如圖28-1所示，△ABC中，∠C=90°，BC=a、AC=b，AB=c，則sinA=_________，cosB=_________，tanB=_________.圖28-1答案：2.sin30°=________，sin45°=________，sin60°=______.cos30°=_________，cos45°=_________，cos60°=_________.tan30°=_________，tan45°=________，tan60°=________.答案：1二、基礎鞏固3.Rt△ABC中，∠C=90°、AB=10、AC=8，則sinA=________，cosB=_______.答案：4.Rt△ABC中，∠C=90°，a、b分別是∠A、∠B的對邊，若sinA∶sinB=1∶2，則a∶b=________答案：1∶25.Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=，則sinA=________.答案：6.Rt△ABC中，∠C=90°，BC=10，S△ABC=，則∠A=________.答案：60°7.Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，兩直角邊之和為14，則它的斜邊長為_________.答案：-148.若α為銳角，且tanα=，則∠cosα=__________.答案：9.計算=_______________.答案：310.計算cos245°+tan30°·cos30°=__________.答案：111.Rt△ABC中，∠C=90°，a=，sinB=，則b=__________.答案：112.△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=4，則AB=__________.答案：三、能力提高13.Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，若AB=a，∠B=α，則AD等于()A.asin2αB.acos2αC.asinα·cosαD.atanα答案：A14.若cosα≤，則銳角α的取值范圍是()A.0°＜α≤30°B.α≥30°C.α≤60°D.30°≤α＜90°答案：D15.Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，若AD=2，BD=8，則tanA=()A.4B.2C.D.答案：B16.菱形ABCD中，對角線AC=10，BD=6，則sin=()[來源:Z|xx|k.Com]A.B.C.D.答案：C17.Rt△ABC中，∠C=90°，則sin2A+cos2A的值等于()A.1B.2sin2AC.(sinA+cosA)2D.0答案：A18.計算的值是()A.B.C.1D.0答案：B19.已知sinα·cosα=,且α為銳角，則cosα-sinα的值為()A.B.C.D.或答案：D20.已知α為銳角，且tanα=3,則的值為()A.B.C.D.答案：C四、模擬鏈接21.如圖28-2所示，△ABC中，∠B=90°、∠A=15°，試求tan75°的值.圖28-1答案：2+22.計算：sin30°-sin45°·cos45°+sin60°·tan30°-tan45°·cos60°答案：023.觀察：sin30°=cos60°=，且30°+60°=90°sin45°=cos45°=，且45°+45°=90°sin60°=cos30°=，且60°+30°=90°若∠α+∠β=90°，且∠α、∠β為0°—90°