2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率單元質(zhì)量評(píng)估二習(xí)題含解析北師大版必修3

第三章單元質(zhì)量評(píng)估(二)eq\o(\s\up7(時(shí)間：120分鐘滿(mǎn)分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的)1．下列事務(wù)：①任取三條線段，這三條線段恰好組成直角三角形；②從一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)各任畫(huà)一條射線，這三條射線交于一點(diǎn)；③實(shí)數(shù)a，b都不為0，但a2＋b2＝0；④明年12月28日的最高氣溫高于今年12月28日的最高氣溫．其中為隨機(jī)事務(wù)的是(B)A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④解析：任取三條線段，這三條線段可能組成直角三角形，也可能不能組成直角三角形，故①為隨機(jī)事務(wù)；從一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)各任畫(huà)一條射線，三條射線可能不相交、交于一點(diǎn)、交于兩點(diǎn)、交于三點(diǎn)，故②為隨機(jī)事務(wù)；若實(shí)數(shù)a，b都不為0，則a2＋b2肯定不等于0，故③為不行能事務(wù)；由于明年12月28日還未到來(lái)，故明年12月28日的最高氣溫可能高于今年12月28日的最高氣溫，也可能低于或等于今年12月28日的最高氣溫，故④為隨機(jī)事務(wù)．故選B.2．從一批產(chǎn)品(其中正品、次品都多于兩件)中任取兩件，視察正品件數(shù)和次品件數(shù)，下列事務(wù)是互斥事務(wù)的是(B)①恰有一件次品和恰有兩件次品；②至少有一件次品和全是次品；③至少有一件正品和至少有一件次品；④至少有一件次品和全是正品．A．①②B．①④C．③④D．①③解析：因?yàn)閺囊慌a(chǎn)品中任取兩件，視察正品件數(shù)和次品件數(shù)，其中正品、次品都多于兩件，所以恰有一件次品和恰有兩件次品是互斥的，至少有一件次品和全是正品是互斥的，所以①④是互斥事務(wù)，故選B.3．某中學(xué)畢業(yè)生的去向有三種：回家待業(yè)、上高校和復(fù)讀．現(xiàn)取一個(gè)樣本調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如圖所示．若該校每個(gè)學(xué)生上高校的概率為eq\f(4,5)，則每個(gè)學(xué)生不復(fù)讀的概率為(B)A.eq\f(21,25)B.eq\f(22,25)C.eq\f(23,25)D.eq\f(24,25)解析：每個(gè)學(xué)生上高校的概率為eq\f(4,5)，而該樣本中上高校的人數(shù)為80，所以該樣本容量為80÷eq\f(4,5)＝100，于是每個(gè)學(xué)生回家待業(yè)的概率為eq\f(8,100)＝eq\f(2,25)，所以每個(gè)學(xué)生不復(fù)讀的概率為eq\f(4,5)＋eq\f(2,25)＝eq\f(22,25).4．不透亮袋子中放有大小相同的5個(gè)球，球上分別標(biāo)有號(hào)碼1,2,3,4,5，若從袋中任取3個(gè)球，則這3個(gè)球號(hào)碼之和為5的倍數(shù)的概率為(B)A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,9)D.eq\f(1,4)解析：基本領(lǐng)件有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，滿(mǎn)意要求的基本領(lǐng)件有(1,4,5)，(2,3,5)，故所求概率為eq\f(1,5).故選B.5．先后拋擲兩枚骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，則(B)A．P1＝P2<P3B．P1<P2<P3C．P1<P2＝P3D．P3＝P2<P1解析：先后拋擲兩枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)共有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)共36種，其中點(diǎn)數(shù)之和是12的有1種，故P1＝eq\f(1,36)；點(diǎn)數(shù)之和是11的有2種，故P2＝eq\f(2,36)；點(diǎn)數(shù)之和是10的有3種，故P3＝eq\f(3,36)，故P1<P2<P3，故選B.6．一只猴子隨意敲擊電腦鍵盤(pán)上的0到9這十個(gè)數(shù)字鍵，則它敲擊兩次(每次只敲擊一個(gè)數(shù)字鍵)得到的兩個(gè)數(shù)字恰好都是3的倍數(shù)的概率為(A)A.eq\f(9,100)B.eq\f(3,50)C.eq\f(3,100)D.eq\f(2,9)解析：隨意敲擊0到9這十個(gè)數(shù)字鍵兩次，其得到的全部結(jié)果為(0，i)(i＝0,1,2，…，9)；(1，i)(i＝0,1,2，…，9)；(2，i)(i＝0,1,2，…，9)；…；(9，i)(i＝0,1,2，…，9)．故共有100種結(jié)果．兩個(gè)數(shù)字都是3的倍數(shù)的結(jié)果有(3,3)，(3,6)，(3,9)，(6,3)，(6,6)，(6,9)，(9,3)，(9,6)，(9,9)．共有9種，故所求概率為eq\f(9,100).7．如圖是由一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形構(gòu)成的組合圖形，現(xiàn)用紅、藍(lán)兩種顏色為其涂色，每個(gè)圖形只能涂一種顏色，則三個(gè)圖形顏色不全相同的概率為(A)A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,8)解析：用紅、藍(lán)兩種顏色為三個(gè)圖形涂色，則共有2×2×2＝8種不同的結(jié)果，設(shè)事務(wù)“三個(gè)圖形顏色不全相同”為A，則eq\o(A,\s\up6(－))為“三個(gè)圖形顏色全相同”，即事務(wù)eq\o(A,\s\up6(－))包含2個(gè)結(jié)果，故P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，所以P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).8．設(shè)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和B中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)a和b，確定平面上的一個(gè)點(diǎn)P(a，b)，記“點(diǎn)P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事務(wù)Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事務(wù)Cn的概率最大，則n的全部可能值為(D)A．3B．4C．2和5D．3和4解析：明顯C2：x＋y＝2，滿(mǎn)意條件的點(diǎn)P(1,1)；C3：x＋y＝3，滿(mǎn)意條件的點(diǎn)P(1,2)，P(2,1)；C4：x＋y＝4，滿(mǎn)意條件的點(diǎn)P(1,3)，P(2,2)；C5：x＋y＝5，滿(mǎn)意條件的點(diǎn)P(2,3)．所以n＝3,4時(shí)Cn的概率最大．9．從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中依次取(不放回)兩個(gè)數(shù)字a，b，使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是(C)A.eq\f(1,3)B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2)D.eq\f(7,12)解析：因?yàn)閘g(3a)≥lg(4b)，所以3a≥4b.從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字中依次取兩個(gè)數(shù)字所包含的基本領(lǐng)件有(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(2,4)，(4,2)，(3,4)，(4,3)，共12個(gè)，符合條件3a≥4b的有(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)，(4,3)，共6個(gè)，所以所求概率P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故選C.10．如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚(yú)缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器，圓錐的上底圓周與魚(yú)缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚(yú)缸的缸底上，現(xiàn)在向魚(yú)缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚(yú)食，則“魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到”的概率是(C)A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,12)C．1－eq\f(π,4)D．1－eq\f(π,12)解析：P＝eq\f(正方形面積－圓錐底面積,正方形面積)＝eq\f(4－π,4)＝1－eq\f(π,4).11．節(jié)日前夕，小李在家門(mén)前的樹(shù)上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過(guò)2秒的概率是(C)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D.eq\f(7,8)解析：設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為X、Y，X、Y相互獨(dú)立，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤X≤4,0≤Y≤4,|X－Y|≤2))，如圖所示．∴兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過(guò)2秒的概率為P(|X－Y|≤2)＝eq\f(S正方形－2S△ABC,S正方形)＝eq\f(4×4－2×\f(1,2)×2×2,4×4)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).12．甲、乙兩位同學(xué)各拿出6張嬉戲牌，用作投骰子的獎(jiǎng)品，兩人商定：骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)時(shí)甲得1分，否則乙得1分，先積得3分者獲勝得全部12張嬉戲牌，并結(jié)束嬉戲．競(jìng)賽起先后，甲積2分，乙積1分，這時(shí)因意外事務(wù)中斷嬉戲，以后他們不想再接著這場(chǎng)嬉戲，下面對(duì)這12張嬉戲牌的分協(xié)作理的是(A)A．甲得9張，乙得3張B．甲得6張，乙得6張C．甲得8張，乙得4張D．甲得10張，乙得2張解析：由題意，骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率為eq\f(1,2)，即甲、乙每局得分的概率相等，所以甲獲勝的概率是eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，乙獲勝的概率是eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).所以甲得到的嬉戲牌為12×eq\f(3,4)＝9(張)，乙得到的嬉戲牌為12×eq\f(1,4)＝3(張)，故選A.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)把答案填寫(xiě)在題中橫線上)13．從一副混合后的撲克牌(去掉大、小王，共52張)中隨機(jī)抽取1張，事務(wù)A為“抽得紅桃K”，事務(wù)B為“抽得的為黑桃”，則概率P(A＋B)＝eq\f(7,26).(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)解析：本題考查古典概型和互斥事務(wù)．∵事務(wù)A為“抽得紅桃K”，∴事務(wù)A的概率P(A)＝eq\f(1,52).∵事務(wù)B為“抽得的為黑桃”，∴事務(wù)B的概率是P(B)＝eq\f(13,52)＝eq\f(1,4)，∴由互斥事務(wù)的概率公式得P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,52)＋eq\f(1,4)＝eq\f(7,26).14．在一次老師聯(lián)歡會(huì)上，到會(huì)的女老師比男老師多12人，從這些老師中隨機(jī)選擇一人表演節(jié)目，若選到男老師的概率為eq\f(9,20)，則參與聯(lián)歡會(huì)的老師共有120人．解析：設(shè)男老師為n人，則女老師為(n＋12)人，∴eq\f(n,2n＋12)＝eq\f(9,20).∴n＝54，∴參與聯(lián)歡會(huì)的老師共有120人．15．將一枚質(zhì)地勻稱(chēng)的骰子先后拋擲兩次，若第一次朝上一面的點(diǎn)數(shù)為a，其次次朝上一面的點(diǎn)數(shù)為b，則函數(shù)y＝ax2－2bx＋1在(－∞，2]上為減函數(shù)的概率是eq\f(1,4).解析：由題意可知，函數(shù)y＝ax2－2bx＋1在(－∞，2]上為減函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(b,a)≥2.))當(dāng)a取1時(shí)，b可取2,3,4,5,6；當(dāng)a取2時(shí)，b可取4,5,6；當(dāng)a取3時(shí)，b可取6，共9種．∵(a，b)的取值共36種狀況，∴所求概率為P＝eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).16．如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝eq\r(3)，BC＝1，以A為圓心，1為半徑畫(huà)圓，交線段AB于E，在圓弧DE上任取一點(diǎn)P，則直線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為eq\f(1,3).解析：連接AC交圓弧DE于點(diǎn)F，則點(diǎn)P在EF上時(shí)直線AP與線段BC有公共點(diǎn)．因?yàn)锳B＝eq\r(3)，BC＝1，所以∠BAC＝30°.直線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率P＝eq\f(30°,90°)＝eq\f(1,3).三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17．(本題滿(mǎn)分10分)將一枚質(zhì)地勻稱(chēng)的正方體骰子(六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，記第一次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為x，其次次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為y.(1)求事務(wù)“x＋y≤3”的概率；(2)求事務(wù)“|x－y|＝2”的概率．解：設(shè)(x，y)表示一個(gè)基本領(lǐng)件，則擲兩次骰子包括：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36個(gè)基本領(lǐng)件．(1)用A表示事務(wù)“x＋y≤3”，則A包含的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3個(gè)基本領(lǐng)件．所以P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，即事務(wù)“x＋y≤3”的概率為eq\f(1,12).(2)用B表示事務(wù)“|x－y|＝2”，則B包含的結(jié)果有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(6,4)，(5,3)，(4,2)，(3,1)，共8個(gè)基本領(lǐng)件．則P(B)＝eq\f(8,36)＝eq\f(2,9)，即事務(wù)“|x－y|＝2”的概率為eq\f(2,9).18.(本題滿(mǎn)分12分)M公司從某高校招收畢業(yè)生，經(jīng)過(guò)綜合測(cè)試，錄用了14名男生和6名女生，這20名畢業(yè)生的測(cè)試成果如莖葉圖所示(單位：分)，公司規(guī)定：成果在180分以上者到“甲部門(mén)”工作；180分以下者到“乙部門(mén)”工作．(1)求男生成果的中位數(shù)及女生成果的平均數(shù)；(2)假如用分層抽樣的方法從“甲部門(mén)”人選和“乙部門(mén)”人選中共選取5人，再?gòu)倪@5人中選2人，那么至少有一人是“甲部門(mén)”人選的概率是多少？解：(1)男生共有14人，中間兩個(gè)成果是175和176，因此男生成果的中位數(shù)是175.5.女生成果的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(168＋177＋178＋185＋186＋192,6)＝181.(2)用分層抽樣的方法從“甲部門(mén)”人選和“乙部門(mén)”人選20人中抽取5人，每個(gè)人被抽中的概率是eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).依據(jù)莖葉圖，“甲部門(mén)”人選有8人，“乙部門(mén)”人選有12人．所以選中的“甲部門(mén)”的人選有8×eq\f(1,4)＝2(人)，“乙部門(mén)”的人選有12×eq\f(1,4)＝3(人)．記選中的“甲部門(mén)”的人選為A1，A2，選中的“乙部門(mén)”的人選為B，C，D.從這5人中選2人的全部可能狀況為：(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共10種；其中至少有一人是“甲部門(mén)”人選的結(jié)果有7種．因此，至少有一人是“甲部門(mén)”人選的概率是eq\f(7,10).19．(本題滿(mǎn)分12分)編號(hào)分別為A1，A2，…，A16的16名籃球運(yùn)動(dòng)員在某次訓(xùn)練競(jìng)賽中的得分記錄如下：運(yùn)動(dòng)員編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12A13A14A15A16得分15352128253618341726253322123138(1)將得分在對(duì)應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格；區(qū)間[10,20)[20,30)[30,40)人數(shù)(2)從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，①用運(yùn)動(dòng)員編號(hào)列出全部可能的抽取結(jié)果；②求這2人得分之和大于50的概率．解：(1)466(2)①得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員編號(hào)為A3，A4，A5，A10，A11，A13，從中隨機(jī)抽取2人，全部可能的抽取結(jié)果有：{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A10}，{A3，A11}，{A3，A13}，{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A4，A13}，{A5，A10}，{A5，A11}，{A5，A13}，{A10，A11}，{A10，A13}，{A11，A13}，共15種．②“從得分在區(qū)間[20,30)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取2人，這2人得分之和大于50”(記為事務(wù)B)的全部可能結(jié)果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5種．所以P(B)＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).20．(本題滿(mǎn)分12分)已知關(guān)于x的一次函數(shù)y＝mx＋n.(1)設(shè)集合P＝{－2，－1,1,2,3}和Q＝{－2,3}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為m和n，求函數(shù)y＝mx＋n是增函數(shù)的概率；(2)實(shí)數(shù)m，n滿(mǎn)意條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0,－1≤m≤1,－1≤n≤1))，求函數(shù)y＝mx＋n的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限的概率．解：(1)抽取的全部結(jié)果的基本領(lǐng)件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10個(gè)基本領(lǐng)件，設(shè)使函數(shù)為增函數(shù)的事務(wù)為A，則A包含的基本領(lǐng)件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6個(gè)基本領(lǐng)件．所以，P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)m、n滿(mǎn)意條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n－1≤0，,－1≤m≤1，,－1≤n≤1))的區(qū)域如圖所示．要使函數(shù)的圖象過(guò)第一、二、三象限，則m>0，n>0，故使函數(shù)圖象過(guò)第一、二、三象限的(m，n)的區(qū)域?yàn)榈谝幌笙薜年幱安糠?，∴所求事?wù)的概率為P＝eq\f(\f(1,2),\f(7,2))＝eq\f(1,7).21．(本題滿(mǎn)分12分)某單位從一所學(xué)校招收某類(lèi)特別人才．對(duì)20位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)實(shí)力和邏輯思維實(shí)力的測(cè)試，其測(cè)試結(jié)果如下表：邏輯思維實(shí)力運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)實(shí)力一般良好優(yōu)秀一般221良好4b1優(yōu)秀13a例如表中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)實(shí)力良好且邏輯思維實(shí)力一般的學(xué)生是4人．由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20位參與測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到邏輯思維實(shí)力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為eq\f(1,5).(1)求a，b的值；(2)從運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)實(shí)力為優(yōu)秀的學(xué)生中隨意抽取2位，求其中至少有一位邏輯思維實(shí)力優(yōu)秀的學(xué)生的概率．解：(1)由題意可知，邏輯思維實(shí)力優(yōu)秀的學(xué)生共有(2＋a)人．設(shè)事務(wù)A：從20位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到邏輯思維實(shí)力優(yōu)秀的學(xué)生，則P(A)＝eq\f(2＋a,20)＝eq\f(1,5).解得a＝2.所以b＝4.(2)由題意可知，運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)實(shí)力為優(yōu)秀的學(xué)生共有6位，分別為M1，M2，M