初三數(shù)學(xué)培優(yōu)之?dāng)?shù)形結(jié)合

初三數(shù)學(xué)培優(yōu)之?dāng)?shù)形結(jié)合閱讀與思考數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，簡(jiǎn)單地說就是“數(shù)”與“形”，對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的事物，我們既可以從“數(shù)”的角度來研究，也可以從“形”的角度來探討，我們?cè)谘芯俊皵?shù)”的性質(zhì)時(shí)，離不開“形”；而在探討“形”的性質(zhì)時(shí)，也可以借助于“數(shù)”．我們把這種由數(shù)量關(guān)系來研究圖形性質(zhì)，或由圖形的性質(zhì)來探討數(shù)量關(guān)系，即這種“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化的解決數(shù)學(xué)問題的思想叫作數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合有下列若干途徑：1．借助于平面直角坐標(biāo)系解代數(shù)問題；2．借助于圖形、圖表解代數(shù)問題；3．借助于方程（組）或不等式（組）解幾何問題；4．借助于函數(shù)解幾何問題.現(xiàn)代心理學(xué)表明：人腦左半球主要具有言語的、分析的、邏輯的、抽象思維的功能；右半球主要具有非言語的、綜合的、直觀的、音樂的、幾何圖形識(shí)別的形象思維的功能．要有效地獲得知識(shí)，則需要兩個(gè)半球的協(xié)同工作，數(shù)形結(jié)合分析問題有利于發(fā)揮左、右大腦半球的協(xié)作功能.代數(shù)表達(dá)及其運(yùn)算，全面、精確、入微，克服了幾何直觀的許多局限性，正因?yàn)槿绱?，笛卡爾?chuàng)立了解析幾何，用代數(shù)方法統(tǒng)一處理幾何問題．從而成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)．幾何問題代數(shù)化乃是數(shù)學(xué)的一大進(jìn)步．例題與求解【例1】設(shè)>-vx2+2x+2+vx2—4x+13,則y的最小值為.（羅馬尼亞競(jìng)賽試題）qQ+11+T-11+4-2}+G-3},解題思路：若想求出被開方式的最小值，則顧此失彼.yqQ+11+T-11+4-2}+G-3},于是問題轉(zhuǎn)化為：在x軸上求一點(diǎn)C（x,0）,使它到兩點(diǎn)A（-1,1）和B（2,3）的距離之和（即CA+CB）最小.【例2】直角三角形的兩條直角邊之長(zhǎng)為整數(shù)，它的周長(zhǎng)是x厘米，面積是x平方厘米，這樣的直角三角形（ ）A.不存在 B.至多1個(gè)C.有4個(gè) D.有2個(gè)（黃岡市競(jìng)賽試題）解題思路：由題意可得若干關(guān)系式,若此關(guān)系式無解,則可推知滿足題設(shè)要求的直角三角形不存在；若此關(guān)系式有解,則可推知這樣的直角三角形存在,且根據(jù)解的個(gè)數(shù),可確定此直角三角形的個(gè)數(shù)．

【例3】如圖，在△ABC中，/A=90。,ZB=2ZC,/B的平分線交AC于D,AE±BC于E,111DF±BC于F.DF±BC于F.求證：BD?DFAE?BFAE?BE（湖北省競(jìng)賽試題）解題思路：圖形中含多個(gè)重要的基本圖形,待證結(jié)論中的代數(shù)跡象十分明顯．可依據(jù)題設(shè)條件,分別計(jì)算出各個(gè)線段,利用代數(shù)法證明．【例4】當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程上2-5x|二a有且只有相異的兩實(shí)數(shù)根？（四川省聯(lián)賽試題）解題思路：從函數(shù)的觀點(diǎn)看，問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=k2-5x|與函數(shù)j=a（a三0）圖象有且只有相異兩個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)圖象，由圖象可直觀地得a的取值范圍.【例5】設(shè)4ABC三邊上的三個(gè)內(nèi)接正方形（有兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形另兩邊上）的面積都相等，證明：△ABC為正三角形. （江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)△ABC三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,對(duì)應(yīng)邊上的高分別為h,h,h,△ABC的面積abc2S2S 2S2S h——,一廠，由題意得a+hab+hc+hbc=b+h=c+hb c,為S,則易得三個(gè)內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)分別為一-a+ha2S2S 2S 2S即a+——=b+——=c+——=L.則Ua,b,c適合方程x+——=L.abc x

X2+xy+—=25,3【例6】設(shè)正數(shù)X,y,z滿足方程組一二+z2=9 ，求xy+2yz+3z的值.3z2+zx+X2=16（俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）能力訓(xùn)練.不查表可求得tan150的值為 .3</3 一.如圖，點(diǎn)A,C都在函數(shù)y=——（X>0）的圖象上，點(diǎn)B,D都在X軸上，且使得^OAB,△xBCD都是等邊三角形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為. （全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)P（—1,—2）和點(diǎn)Q（4,2）,取點(diǎn)R（1,m），當(dāng)m=時(shí)，PR+RQ有最小值..若a>0,b<0,要使|X—a|+|x—b|=a—b成立，x的取值范圍是 ..已知AB是半徑為1的。O的弦，AB的長(zhǎng)為方程X2+X—1=0的正根，則NAOB的度數(shù)是 . （太原市競(jìng)賽試題）.如圖，所在正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與X軸或y軸平行，從內(nèi)到外，它們的邊長(zhǎng)依次為2,4,6,8,…頂點(diǎn)依次用A1 , A2 , A3 , 次為2,4,6,8,…A.(13,13) B．(—A.(13,13) B．(—13,—13)D.(—14,一14)第2題圖C.(14,14)第6題圖.在△ABC中，/C=900,AC=3,BC=4.在△ABD中，/A=90。,AD=12.點(diǎn)C和點(diǎn)D分居ABDEm兩側(cè)，過點(diǎn)D且平行于AC的直線交CB的延長(zhǎng)線于E.如果=—,其中，m,n是互質(zhì)的正整數(shù)，DBn那么m+那么m+n=( )A.25 B.128C.153D.243E.256(美國(guó)數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試題)a a+b.設(shè)a,b,c分別是△ABC的三邊的長(zhǎng)，且了=--——，則它的內(nèi)角NA，/B的關(guān)系是( )ba+b+cA.NBA.NB>2NAB.NB=2NA C.NBV2NAD.不確定9.如圖,9.如圖,S“fg=5a，S^acg=4a,S=7a，則S=(ABFG AAEG27A.五aB.28—27A.五aB.28—a11C.29—a11D.30—a11.滿足兩條直角邊邊長(zhǎng)均為整數(shù),且周長(zhǎng)恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個(gè)數(shù)有( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.無窮多個(gè).如圖，關(guān)于X的二次函數(shù)y=X2-2mx-m的圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn)(x2>0>x1),與y軸交于C點(diǎn)，且NBAC=NBCO.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)以點(diǎn)D(、Q，0)為圓心。D,與y軸相切于點(diǎn)0,過=拋物線上一點(diǎn)E(x3,t)(t>0,x3<0)作x軸的平行線與。D交于F,G兩點(diǎn)，與拋物線交于另一點(diǎn)H.問是否存在實(shí)數(shù)t，使得EF+GH=CF?如果存在，求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由. (武漢市中考題)

.已知正數(shù)a,b,c,A,B,C滿足a+A=b+B=c+C=k.求證：aB十bC+cA<k2..如圖，一個(gè)圓與一個(gè)正三角形的三邊交于六點(diǎn)，已知AG=2,GF=13,FC=1,HI=7,求DE.（美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）第13題圖.射線QN與等邊△ABC的兩邊AB,BC分別交于點(diǎn)M,N,且AC.//QN,AM=MB=2cm,QM=4cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過t秒，以點(diǎn)P為圓心，.3cm為半徑的圓與^ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上）.請(qǐng)寫出t可以取的一切值：（單位：秒）.第14題圖.如圖，已知D是^ABC邊AC上的一點(diǎn)，AD：DC=2：1,ZC=450，/ADB=60。.求證：AB是^BCD的外接圓的切線.（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）AA第15題圖.如圖，在△ABC中，作