浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省衢州市五校聯(lián)盟2024-2025學年高一上學期期中聯(lián)考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，則集合可用列舉法表示為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因為，則，所以.故選：D.2.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，故x<1是的必要不充分條件.故選：B.3.已知冪函數為偶函數，則（）A. B.C.或 D.不存在【答案】A【解析】由是冪函數，得，解得或，當時，是偶函數，符合題意；當時，是奇函數，不符合題意，所以.故選：A.4.函數的定義域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意得，解得且，所以函數的定義域為.故選：C.5.設函數在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據題意可知是由指數函數和二次函數復合而成的，由復合函數單調性可得只需使函數在區(qū)間上單調遞減即可，易知函數關于對稱，所以可得，即；即的取值范圍是.故選：D.6.若，則函數的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】若，則，則，，且，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立.因此，當時，函數的最小值為.故選：B.7.我們知道，函數的圖象關于直線成軸對稱圖形的充要條件是函數為偶函數．已知函數，則下列函數中，關于對稱的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】若函數關于對稱，則函數為偶函數，即，對于A，令，則，又，因此可得，則的圖象關于對稱，故A正確；對于B，令，則，又，則，故的圖象不關于對稱，故B錯誤；對于C，令，則，又，則，故的圖象不關于對稱，故C錯誤；對于D，令，則，，則，故的圖象不關于對稱，故D錯誤.故選：A.8.若且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由可得，對于A，當，則，故錯誤；對于B，當，則，故錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列選項中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于A選項，因為函數為上的增函數，則，A錯；對于B選項，因為函數為上增函數，則，B對；對于C選項，因為函數為上的增函數，函數為上的減函數，所以，，C對；對于D選項，因為函數在上為增函數，則，D對.故選：BCD.10.若關于的不等式的解集為，則（）A.的解集為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】AC【解析】由題可得是方程的兩個根，，對于A，不等式化為，解得，故A正確；對于B，，令，又，則在單調遞減，則，即，沒有最小值，故B錯誤；對于C，D，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為，沒有最小值，故C正確，D錯誤.故選：AC.11.定義：如果關于一元二次方程有兩個不同的實數根，且其中一個根是另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“和諧方程”．下列命題正確的是（）A.方程是“和諧方程”B.若關于的方程是“和諧方程”，則C.若關于的方程是“和諧方程”，則的函數圖象與軸交點的坐標是和D.若點在反比例函數的圖象上，則關于的方程是“和諧方程”【答案】BCD【解析】由，則方程的兩根為，又，則方程不是“和諧方程”，故A錯誤；若關于的方程是“和諧方程”，設，又，，解得，或，，故B正確；若關于的方程是“和諧方程”，設，又，，，則，即，又，解得方程的兩根為，即的函數圖象與軸交點的坐標是和，故C正確；點在反比例函數的圖象上，，，則關于的方程，解得方程的兩根為，又，即關于的方程是“和諧方程”，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.命題“，”的否定是______．【答案】，【解析】因為全稱量詞命題否定是特稱（存在）量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”，13.______．【答案】【解析】.14.已知函數，關于的方程恰有2個不同的解，則實數的取值范圍是______．【答案】【解析】畫出函數的圖象，如圖，由，即，即或，因為關于的方程恰有2個不同的解，結合圖象可知，時有2個不同的解，所以無解或，則或，即實數的取值范圍是.四、解答題：共77分．解答題寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）判斷是否為集合中的元素，并說明理由；（2）若全集，求，．解：（1）不是集合中的元素，理由如下：由可得，解得或，所以，或，因此，.（2）且，所以，或，又因為，故.16.已知函數．（1）若，求的值；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1），，，．（2）若對任意，恒成立，即對任意，恒成立，即，即，，在上單調遞增，時，，則在上最大值小于，．17.某市為迎接國慶游客，出臺了一系列政策.已知該市最多能容納游客35萬人，每萬名游客平均可創(chuàng)造160萬元的經濟效益.已知該市維持旅游市場的成本分為固定成本和流動成本兩部分，其中固定成本為300萬元/年，每接待萬名游客需要投入的流動成本為（單位：萬元），當游客人數不超過14萬人時，；當游客人數超過14萬人時，．（1）寫出該市旅游凈收入（萬元）關于游客人數（萬人）的函數解析式；（注：旅游凈收入旅游收入固定成本流動成本）；（2）當游客人數達到多少萬人時，該市的旅游凈收入能達到最大？解：（1）根據題意得，當時，，當時，，故.（2）當時，，且當時，在單調遞增，當時，在單調遞減，此時．當時，，當且僅當時，等號成立．因為，故當時，取得最大值1250，即為使該市旅游凈收入達到最大，游客人數應為9萬人．18.已知函數為奇函數．（1）求的值；（2）判斷并證明的單調性；（3）若存在實數，使得成立，求的取值范圍．解：（1）由函數為奇函數，其定義域為，所以，即，解得，此時，滿足，即為奇函數，故的值為．（2）在上單調遞減，證明如下：由（1）知，，且，則，因為，所以，，，所以，即函數在上單調遞減，即為上的減函數．（3）由，則，又因為為奇函數，所以，又由（2）知函數在上單調遞減，所以，因為存在實數，使得成立，所以，解得．所以的取值范圍為．19.設，用x表示不超過的最大整數，則y=x稱為取整函數，例如，，．取整函數是德國數學家高斯最先使用的，所以也稱高斯函數．該函數具有以下性質：①y=x的定義域為，值域為；②任意實數都能表示成整數部分和純小數部分之和，即x=x+x0≤x<1，其中x為（1）若，求關于的方程的解；（2）求關于的不等式的解集；（3）若對于任意的，不等式恒成立，求的取值范圍．解：（1）①，此時，，則方程可化為，解得，符合題意．②，此時，，則方程可化為，解得，符合題意．③，此時，，則方程可化為，解得，符合題意．綜上所述，若，關于的方程的解為或或．（2）①，此時，，，此時不等式恒成立．②，此時，，則不等式可化為，解得，又，．③，此時，，則