2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測專題05 冪函數(shù)與二次函數(shù)4題型分類-備2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測（原卷版）

專題05冪函數(shù)與二次函數(shù)4題型分類1、冪函數(shù)的定義一般地，（為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)①的系數(shù)為1；

②的底數(shù)是自變量；

③指數(shù)為常數(shù).（3）冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)4、二次函數(shù)解析式的三種形式（1）一般式：；（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對稱軸方程.（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).5、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）單調(diào)性與最值①當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；②當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，（2）與軸相交的弦長當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點(diǎn)和，.6、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.對二次函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則.（一）冪函數(shù)的定義及其圖像1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：①當(dāng)時，其圖象可類似畫出；②當(dāng)時，其圖象可類似畫出；③當(dāng)時，其圖象可類似畫出．題型1：冪函數(shù)的定義及其圖像1-1．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A．0 B．2 C．4 D．51-2．（2024高三·河北·學(xué)業(yè)考試）已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．91-3．（2024高一下·湖北宜昌·期中）已知函數(shù)且的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，若冪函數(shù)的圖象也經(jīng)過該點(diǎn)，則．1-4．（2024高一·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（

）A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且1-5．（2024高一上·陜西西安·期中）冪函數(shù)中a的取值集合C是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合C為（

）A． B． C． D．（二）冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點(diǎn)題型2：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用2-1．（2024高一上·上海楊浦·期末）已知，若冪函數(shù)奇函數(shù)，且在上為嚴(yán)格減函數(shù)，則.2-2．（2024高三上·寧夏固原·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞減，則實(shí)數(shù)（

）A． B．或 C． D．2-3．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知為冪函數(shù)，則（

）．A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞減C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減2-4．（2024·江蘇）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則f(-8)的值是.2-5．（2024高三·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)（m為正整數(shù)）的圖像關(guān)于y軸對稱，且在上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足的實(shí)數(shù)a的取值范圍．（三）二次方程的實(shí)根分布及條件一般情況下需要從以下4個方面考慮：（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).題型3：二次方程的實(shí)根分布及條件3-1．（2024高三·全國·階段練習(xí)）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，且，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．3-3．（2024高一·江蘇·課后作業(yè)）設(shè)a為實(shí)數(shù)，若方程在區(qū)間上有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（

）.A． B．C． D．（四）二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.（2）對于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).題型4：二次函數(shù)“動軸定區(qū)間”、“定軸動區(qū)間”問題4-1．（2024高一上·海南·期中）已知在區(qū)間上的值域?yàn)?(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若不等式

當(dāng)上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.4-2．（2024·浙江）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值的表達(dá)式；（2）已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，，求的取值范圍.4-3．（2024高一上·海南·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值2和最小值1.(1)求的值；(2)不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若且方程有三個不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.4-4．（2024·浙江）已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值.（1）證明：當(dāng)時，；（2）當(dāng)，滿足，求的最大值.4-5．（2024高一上·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解方程；(2)當(dāng)時，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．一、單選題1．（2024高一·全國·假期作業(yè)）關(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)根，，且，那么m的值為（

）A． B． C．或1 D．或42．（2024·山東）關(guān)于函數(shù)，以下表達(dá)錯誤的選項(xiàng)是（

）A．函數(shù)的最大值是1 B．函數(shù)圖象的對稱軸是直線C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是 D．函數(shù)圖象過點(diǎn)3．（2024·浙江）若函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則的值A(chǔ)．與a有關(guān)，且與b有關(guān) B．與a有關(guān)，但與b無關(guān)C．與a無關(guān)，且與b無關(guān) D．與a無關(guān)，但與b有關(guān)4．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函數(shù)則函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．5．（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（

）A． B．C． D．7．（2024高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．B． C． D．8．（2024高三·河北·專題練習(xí)）設(shè)，二次函數(shù)的圖象為下列之一，則的值為（）A． B． C． D．9．（2024高三下·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）已知函數(shù)若的最小值為6，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知x，，滿足，，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．211．（2024·貴州畢節(jié)·二模）已知，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．12．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f（4）>f（1），則（

）A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0，4a＋b＝0C．a(chǎn)>0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0，2a＋b＝013．（2024·浙江）已知函數(shù)f(x)=x2+bx，則“b＜0”是“f(f(x))的最小值與f(x)的最小值相等”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件14．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如果函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的最大值為（

）A．16 B．18 C．25 D．15．（2024·陜西）對二次函數(shù)（為非零整數(shù)），四位同學(xué)分別給出下列結(jié)論，其中有且僅有一個結(jié)論是錯誤的，則錯誤的結(jié)論是A．是的零點(diǎn) B．1是的極值點(diǎn)C．3是的極值 D．點(diǎn)在曲線上16．（2024·四川樂山·一模）已知冪函數(shù)和，其中，則有下列說法：①和圖象都過點(diǎn)；②和圖象都過點(diǎn)；③在區(qū)間上，增長速度更快的是；④在區(qū)間上，增長速度更快的是.則其中正確命題的序號是（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④17．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則（

）A．8 B．4 C．2 D．118．（2024·北京東城·一模）下列函數(shù)中，定義域與值域均為R的是（

）A． B． C． D．二、多選題19．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）若函數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．20．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)，則下列命題正確的有（

）A．函數(shù)為增函數(shù) B．函數(shù)為偶函數(shù)C．若，則 D．若，則21．（2024高一上·重慶·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的方程x2＋(m－3)x＋m＝0，下列結(jié)論正確的是（

）A．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有實(shí)數(shù)根的充要條件是m∈{m|m<1或m>9}B．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有一正一負(fù)根的充要條件是m∈{m|m<0}C．方程x2＋(m－3)x＋m＝0有兩正實(shí)數(shù)根的充要條件是m∈{m|0<m≤1}D．方程x2＋(m－3)x＋m＝0無實(shí)數(shù)根的必要條件是m∈{m|m>1}22．（2024高一上·湖南長沙·期中）設(shè)二次函數(shù)的值域?yàn)?，下列各值（或式子）中一定大于的有?/p>

）A． B．C． D．三、填空題23．（2024高一上·全國·期末）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則滿足成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為.24．（2024高一上·四川眉山·期中）下面命題：①冪函數(shù)圖象不過第四象限；②圖象是一條直線；③若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；④若函數(shù)的定義域是，則它的值域是；⑤若函數(shù)的值域是，則它的定義域一定是．其中不正確命題的序號是．25．（2024高三上·河北衡水·周測）已知，，若對，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.26．（2024高三上·福建三明·期中）已知，則實(shí)數(shù)的取值范圍是27．（2024高三下·上海嘉定·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．28．（2024高三·全國·專題練習(xí)）不等式的解集為：．29．（2024高一上·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是.30．（2024·上海閔行·一模）已知二次函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)的值域?yàn)椋?1．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的非常值函數(shù).①在上恒成立；②是偶函數(shù)；③.32．（2024·新疆阿勒泰·一模）已知二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為.33．（2024·湖北）為實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值記為.當(dāng)時，的值最小.四、解答題34．（2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知.(1)若，，解關(guān)于的不等式；(2)若，在上的最大值為，最小值為，求證：.35．（2024高一下·貴州黔東南·開學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時，，.(1)求在區(qū)間上的解析式；(2)若對，則，使得成立，求的取值范圍.36．（2024高一上·河南平頂山·期末）已知函數(shù)．(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明是單調(diào)遞增函數(shù)；(2)若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．37．（2024高一上·貴州畢節(jié)·期末）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．38．（2024高一上·遼寧大連·期中）已知值域?yàn)榈亩魏瘮?shù)滿足，且方程的兩個實(shí)根滿足．(1)求的表達(dá)式；(2)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．39．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上的最小值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.40．（2024高一上·湖南衡陽·期末）二次函數(shù)為偶函數(shù)，，且恒成立．(1)求的解析式；(2)，記函數(shù)在上的最大值為，求的最小值．41．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，設(shè)的最大值為，求的最小值．42．（2024高一上·廣東·期中）已知函數(shù)，(1)當(dāng)時，①求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；②求函數(shù)在區(qū)間的值域；(2)當(dāng)時