2024年高考數學必刷試卷及答案

2024年高考必刷數學試卷及答案

（滿分：150分時間：120分鐘）

懣號一二三四總分

分被

A.1.702立方米B.1.780立方米

第一部分（選擇題共58分）

C.1.730立方米D.1.822立方米

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給

5.英國著名數學家布魯克?泰勒（TaylorBrook）以微積分學中將函數展

出的四個選項中，只有一項是符合要求的。

開成無窮級數的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數的泰初級

L已知集合川-{"汕7叫，8-"川"-2八（）間?小則AcB的子集個數為

數，泰勒級數用無限連加式來表示一個函數，如

?）.其中加=lx2x3xx?.根據該展開式可知，與2-圣力-奈+的值最接近的

A.2B.3C.4D.I

是（）

2.已知北，為正實數，且一，n,則把滬的最小值為（）

A.“nB.MH24.0-C.CUK24.O,D.CW65.4-

A.24B.25C.6+472D.672-3

6.蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習俗有關.如

3已知定義在R上的函數“M滿足：聞=/?）+/5）,且*＞。時，及）＜0,

圖為某校數學社團用數學軟件制作的“蚊香畫法如下:在水平直線上

則關于?的不等式的解集為（）

取長度為I的線段打，作一個等邊三角形力”，然后以點3為圓心，八8

A.[-2.0]B.[0.2J

為半徑逆時針畫圓弧交線段e的延長線于點/）（第一段網孤），再以

C.（-?.-2）Li[a*x）D.sqqz同

點C為圓心，。。為半徑逆時針畫圓弧交線段￡的延長線于點￡再以

4為努力推進“綠美校園”建設，營造更加優(yōu)美的校園環(huán)境，某校準備開

點4為圓心，楨為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當得到的“蚊杳”

展校園綠化活動.已知栽種某綠色植物的花盆可近似看成圓臺，圓臺

恰好有15段圓弧時，''蚊香''的長度為（）

西底面直徑分別為18厘米，9厘米，母線長約為7.5厘米.現有2（X）0

個該種花盆,假定每一個花盆裝滿營養(yǎng)十.造間共需要營養(yǎng)十約為（）

〔參考數據：Q3J4）

毀行

A.44nB.WC.加D.她從全校抽取夕人，已知從高一抽取了20人，則應從高三抽取2人.

7.已知向量，6滿足14…方與0垂直,則|d-“的最小值為（）第二部分（非選擇題共92分）

A.JiB.4C.1D.3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.球O的半徑與圓錐M的底面半徑相等，且它們的表面積也相等，

8.甲箱中有2個白球和4個黑球.乙箱中有4個白球和2個黑球.先從

則圓錐M的側面盤開圖的碉心角大小為,球O的體積與網錐M

甲箱中隨機取出一球放入乙箱中，以八，4分別表示由甲箱中取出的是

的體積的比值為.

白球和黑球：再從乙箱中隨機取出一球，以6表示從乙箱中取出的是

13.在工業(yè)生產中軸承的直徑服從A*aoco2?,購買者要求田徑為a。"，

白球，則下列結論錯誤的是（）

A.A,4互斥B.C.戶（M=；D,汽8）=/不在這個范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在MS%之內，則，至少

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給為；（若八N仇力，則&X-“〈切卜0.然15）

出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得14.某羽毛球超市朝售4種品牌（品牌A,B,C,D）的羽毛球，該超

部分分，有選錯的得0分.

市品牌A,?,C,〃的羽毛球的個數的比例為432:3,品牌A,B,C,

9.設4為更數，下列命題中正確的是（）

。的羽毛球的優(yōu)品率分別為0.8,0.9,0.7,0.6.若甲不買這4個品牌

A.一4=工?石B.若居A-。，則4與4口至少有—個是0

中的1個品牌的羽毛球，他從其他3個品牌的羽毛球中隨機選取I個

C.若Z/+Z"。，貝l]4-Z?-0D.

購買，已知他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率大于0.8,則可推測他不買的

10.在女中，若八=畫”eN）,則（）

羽毛球的品牌為（填入入，?,。中的1個）.

A.對任意的》?±2,都有

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明'證明過

B.對任意的"22,都布丁?14<“所8程或演算步驟.

C.存在明使-mriaS成立15.（13分）己即函數/3=:-網11：椀+乎圻1?2的x.g。）的最小正周期為

D.存在%使usA>”unB成立.（I）求a的值，并寫出“6的對稱軸方程：

II.關于下列命題中，說法正確的是（）⑵在yWC中角AB.C的對邊分別是“反,滿足伽-c）cg求函數/⑷

A.已知若E（X）=30,D（X）=2O,則戶毛的取值范用.

B.數據%72,75,85,64,92,76,78,86,79的3%分位數為%16（15分）如圖，在三棱錐人-??>中，平面ABC上半血枇HBC=BD=R\,

C.已知SN（ftl）,若唳川”，則&-l840）=g-pNOM=NCBD=120,點P在線段AC」：，點。在線段上.

D.某校三個年級，高一有硒人，高二有的人.現用分層抽樣的方法

&冬”8（共18荻）皎學試強茹4頁《共IX頁）

①求證：直線。過定點；

②求㈤8與,也）面積之和的最小值.

參考答案與試題解析

⑴求證：AD1BC：第一部分（選擇題共58分）

⑵若八八平面W，Q,求器的值：一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給

⑶在（2）的條件下，求平面即與平面”所成角的余弦值.出的四個選項中，只有一項是符合要求的。

17.（15分）設函數/（力Enx-??-x,R（x）=/T-kr+a（e為自然對數的底1.C

數）【分析】根據有線與圓的位置關系求出集合的元素個數，再求解

-1）若函數/⑶存兩個極值點，求。的取值范圍：子集個數即可.

-2）設函數Mx"（x）?r（x）,其中AM為m）的導函數，求證:小）的極【詳解】集合A表示直線m上點的集合，集合“表示圓（x-2"（y+3f=9

小值不大于I.上點的集合.

電《17分）已知首項為正數的等差數列k）的公差為2,前w項和為工，國（x-2）：+（y+3f=9的圓心坐標為（A3）,半徑為3,

滿足品?$?$.點RT）到直線*-尸1的距離為芳上-2五43,

⑴求數列出｝的通項公式;

所以直線*7=1與圓（x-2y+（y+3y?9相交,

Q）令&.=祀網汨三L,求數列間的前"項和Z.

所以MB共有2個元素，所以AcB的子集個數為2:4.

19.（17分）設拋物線〈5?2點人s,過焦點F的直線與拋物線c交于點

故答案為：4.

小.%）,網f方）.當直線AB垂直于X軸時,M-2.

2.B

（分析】把匕誓2變?yōu)?一，然后利用基本不等式中常數代換技巧求解

最值即可.

【詳解】因為K,y為正實數，且門）一，所以

.”?6尸3."6尸3口?力4"力」」

個^xy

⑴求拋物線。的標準方程.

?/（"「）-13+苧等13.2欄.25

⑵已知點內⑼，直線心，即分別與拋物級c交丁點c,/>.

【分析】根據條件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知識，逐一單調性判斷AC.

分析選項，即可得答案.【詳解】在MBC中，當A=3B時，”=3,取34，則A-：,tan4-l,

【詳露】因為每次只取一球，故A,'%是互斥的事件，故A正確，tanB-un為Jiunff-3(2-7Jl,則unA>3tim",B錯，D對：

34l*V3

由題意得叩U=g,P(4)=：，*8閨=：,P(4A)q，

O<A<x0</iff<n

/>網-P(A8HN4B)?衿+樹吟,故B,D均正確；顯然。<8<x,即Ov8Vl.,則0<&<亳，

0<C<x0<K-8-nB<x

因為故C錯誤.

令/■(■O-siam-fninq,04xv-5—22,/*(x)-/ia?nr-n<x?j-J!(c<?nr-ccK.Y)<09

二、多項選擇題：本題共3小題，每小踵6分，共18分.在每小題給ft*I

出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得因此函數在,上單調遞減，則/3"(。>?。，即由的C5B,從而

取分分，有選錯的得。分.

sinA<nsiaS,A對，C錯.

9.ABD

故選：AD

【分析】根據第數運弟對選項進行分析，從而確定正確選項.

11.BCD

【詳解】設4■。?此馬--小，。也c.dwR,

【分析】根據二項分布期望和方差公式可構造方程求得〃=；，知A錯

則4??c"?</)i-a-3?《豆?豆，A選項正確.

誤：將數據按照從小到大順序排序后，根據百分位數的估計方法直接

若4Z?右曰)(<*+&)="《M-At/+(《S+Ac)i=O,

求解知B正確：由正態(tài)分布曲線的對稱性可求得C正確：根據分層抽

則仁?：，貝5=0或「“-。，所以Z與Z,中至少有一個是0,B選項

樣原則可計算得到高二應抽取學生數，由此可得高三數據，知D正確.

正確.【詳解】對于A，rxB(“)，二微口冷｝4,ep$解得：Y，

若z"z"o,則可能4T/「，，C選項錯誤.

A錯誤：

4Z：二(0千叫伍?⑹二,

對于B,將數據從小到大排序為口，72,75，16,78,79,85,86,91,

|ZZj=+<(”『*(僅f

■如但…)-石E777-D選項正確.

10x4班T5,二4夠分位數為第5個數，即78,B1E確：

抽選：ABD

10.AD

正確：

【分析】根據給定條件，舉例說明判斷BD；構造函數，借助導數探討

對于D,抽樣比為言W，??高二應抽取湖哈F人，則高三應抽取P(|X-10.1)-1-(19545-0.0455,

57-20-18-19人，D正確.則要使拒絕的概組控制在455%之內，則，至少為0L

故選，BCD.故答案為，

14.0

第二部分（非選擇題共92分）【分析】先確定不是品牌叫再利用全概率公式分別計算不買人C。品

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.牌的概率即可求解.

12.爭12006

【詳解】因為他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率大于0.8,110.8,0.9,0.7,

【分析】發(fā)球O的半徑及圓錐M的底面半徑均為R圓錐M的母線長

0.6中只有。.9>俗，所以他不買的羽毛球品牌一定不是品牌九

為1,再根據球與閥錐的表面枳公式求得，=加，即可得圓錐仞的側面展

若他不買品牌A的羽毛球，則他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率為

開圖的圓心角大?。焊鶕垂啥ɡ砬蟮冒?2無R,再結合球與圓錐的體

。'*號寸叱W7+06*j47r*0.E

積公式分析體積比即可

若他不買品牌C的羽毛球,則他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率為

【詳解】設球。的半徑及圓錐M的底面半徑均為R網錐M的母線及

為/,則1所以/=3",圓錐M的側面展開圖的圓心角大小為

若他不買品牌。的羽毛球，則他買到的羽毛球為優(yōu)品的概率為

手考：球。的體積為竽，圓錐M的高G=戶>=2回,圓錐,W的體

a8xJ^72+a9x47572+07x47372-V'0'81?

積為1上2折?.孚，所以球O的體積與圓錐財的體積的比值為5.

故答案為：D

故答案為：手,再

四、解答題：本還共5小題，共77分.解答應寫出文字說明'證明過

13。咻程或演算步驟.

15.（|）<?-^.Ar-y*2fcr.*cZ

【分析】依題意得“=3。/=0.0025,則“005,由P{X-3.qv<M）-0.9M5,得

（2）（P）

網X-3.0|20.l）=1-0.9545=0.0455,即可求解.

【詳解】若X、N（“d）,則PQX-H<2b）?O.9M5）

【分析】（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數〃所54"看，，再根據

因為工業(yè)生產中軸承的直徑服從吊3.MOO25）.

周期求出川的值.利用整體法即可求解對稱軸.

所以“=3.0,4=0.0025,則<T=0L05,

（2）把已知的等式變形并利用正弦定理可得38-，故6彳，故

由修途-3牛01卜0.9545,

&冬流《?11￡（*18頁）取今試通辦12頁（共13頁）

/W…,咱…哼，根據正弦函數的定義域和值域求出f⑷的取值范系的轉化即可結合三角形的邊角關系求解.

困.(3)建立空間直角坐標系，利用法向量的夾隹即可求解.

【詳解】(I)/("-；-dn：zv.1【詳解】＜1)證明，過“乍1I直線”于d連接M.

-^?in2??iI,由題知RA-BD.BO-BO.NABO=NDBO-60,

"得1ASOmJ>BO.NDOB?Z?八。8-90,H|JBC1/X?,

故”工)=**嚏又腕工心心門如?^。⑼二平面“已一改.平面A3,,

令;W.fcUcZ,解得X?1+2XMGZ,又AOu平面AOO,

板對稱軸方程為：x=*%*eZ

12)由(%-c)5nb二方?0?€?得?24mA-”nGocKe-sm/l?MC,

.*.2tin4<tMB-MIIHMMC?ixe?。式”C-*in(H?G■蜻。人.

?in4*0,.COK8;:，8e(0.x)j8?；?

..?W八。?一八?一,..--

2ft3G262

水〃比.《＞＜2平面4?、.人0工平面MD,

以。為原點，以。8的長度為單位長度，以費發(fā)品的方向分別為，軸，y軸，

:的正

15.(1)證明見解析

方向建立空間直角坐標系。-6,如圖,則則.30?48(OJ.O),C(O30).

(嘀邛

AC1平面BPQ...ACBP.AC2.BQ,

⑶孚出-*.a為AC中點，由題知旅■(技TO),前=陽3.-/)

設《＜?=AC+4CD-(0.20)+?J1-&0)=(02-340),

【分析】(1)根據三角形全等，可證明線線垂直，進而可得線面垂直,二配取=3(2-乂)=a.?/=；,

進而可求證，二吟(￥。4?㈣.苧，

-2)建立空間門角坐標系，利用向量即可求解.或者利用空間垂自.?關

又在“《?中，BC-ai^XZABC-120,

所以I研f哈?乎.因為/(X)=W/T有兩個極值點，

即方程lnK-2c?-0在<。")有兩個不同的解，

方法二：平面BPQ，AC1耽AC_LB(?.設/M=flC=2,由4BC=I2O知，8PT.

即、?3與小”學的圖象的交點有兩個.

,平面Aflf1平面BC”，平面ABCc平面整"=玳：八。X8CAOu平面ASC,

由當，€<(!")時，m(x)>G,MO單調遞增:

.?MO1平面BCD,又HQu平面WTV.AOIAQ,又ACl_8Q,“cAO-A,

當*cyy)時、"*■?)單調遞減，m加有極大值"

底?J■平面AKHQLBC,

又因為"€?n時,心)￡0：xc(L*?)時,0Vme?)/,

BC?Z/fiC<?-M>".?(?-2x苧?竽“??晟?夸

當0<2引時，即5時有兩個解，所以“(七)

(3)由(2)知，平面P&Q的一個法向量為北，(2)由函數力=/'-Ex-a1*-lXx>°)

設平面皿的?個法向星：為AB=(O.一母刀8=(-氐1.0),可得他幻”，則3……T>。，所以*⑴在3.E單調遞增.

則匕：啜“二令「3則"時，若"0時，伍II。

|/|?DB=73J+>>=0.

當“31時，在61)上單調遞減：

+ACn2。召

00M

J-際-汨r??當au?1?2)時，"3」。,陽4在。,_L單調遞增：

?平面由與平面他所成角的余弦值為冬所以3在X?l處取得極小值MM/Tnl.l

若a>0,令x=l,則l-l-avO：

令"73+”“，則—，，-嬴不--島幣>。

17.(I)T弓):(2)證明見解析.所以在*“IMa+D+D,"3=0有唯一解：

【分析】(D求得人少13口，根據詢=/3”-*有兩個極值點,轉若令”=7^，則六?LvO，

化為,=%與心).手的圖象的交點有兩個，利用導數求得函數磯”的單調令x=l,則所以在匕/；，魚*)=。有唯一解：

性與極值，即可求解.所以他?-。在@田)有唯一解心,

(2)根據題意得到MA，"'Mxrt*-IXj>0),求得標i----a,得到當xe也幻時，蟲)<。，依)在0U)單調遞減：

**)>，、最>J,進而求得“*>的單調性與極d，再分“>。和”<。兩種情況，當時，吐>>0,"3在(公田)隼調遞增：

結合函數的單調性和極值的運算，即可求解.所以Ma)=L3a伉叫=仁-引J"Tn.i?+l-',

【詳解】(1)由題意,函數/⑺n-ad-x,可得=

JMsfi<*i8頁)ift16頁(?>??)

令，則的藺=上小二_21,（ii）利用面枳分割法求出兩個三角形面枳表達式，然后利用二次函數

*X-

求最值即可.

由=可得*=1,

【洋角紇<1）由題意.當百戲仙垂直于，軸時,，./,代入拋物戰(zhàn)方

當*e?Ul時，/“）>（!,在@D單調遞增：