2024年滬科版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)高中所有數(shù)學(xué)公式匯編

高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論

一、集合與常用邏輯用語：

1集合①心,必｝的子集個數(shù)共有2〃個；真子集有2"-1個；非空子集有2〃T

個。

2含有一個量詞的否定：'量詞改變，結(jié)論否定'

命題命題的否定

VxGM,p(x)加eM,/Xx0)

3x0GM,p(%)VAG

3真值表：同真'且‘真，同假'或'假

PqP或qP且q非P

真真真真假

真假真假假

假真真假真

假假假假真

4常見結(jié)論的否定形式:

原結(jié)論否定詞原結(jié)論否定詞

大于不大于至少有〃個至多有（〃-1）

個

都是小都是至多有〃個至少有（〃+1）

個

至少有一個一個也沒有p或q-p且F

至多有一個至少有兩個〃且q「P或F

5四種命題的相互關(guān)系：（原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真

同假.）

逆命題

若qP

互

否

否否

否命題逆否命題

若非P則靠------->

q若非q則非p

充要條件：(1)、p=q，則P是q的充分條件，反之，q是P的必要條件;

(2)、p=q,且q力>p,則P是q的充分不必要條件；

(3)、pW>p,且=則P是q的必耍不充分條件；

(4)、pW>p,且qW>p,則P是q的既不充分又不必要條

件。

(5)、AcB,人是8的充分條件(小范圍=大范圍)

二、函數(shù)：

1二次函數(shù)的解析式的三種形式：

(1)一般式f(x)=ax2+bx+c(a工0)；

(2)頂點(diǎn)式/a)=〃*-4+攵("0)；(當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)仇幻時，設(shè)

為此式)

(3)零點(diǎn)式/(X)=(/(x-x^x-x^aH0);(當(dāng)已知拋物線與入軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為

(%,0),3,0)時)

2函數(shù)單調(diào)性：

增函數(shù)：不〈々"區(qū))</。2)=>f(x)在x^D上是減函數(shù)。(y隨x的增

減函數(shù)：修<々，/5)>/(々)nf(x)在x《D上是減函數(shù)。(y隨x的增大

而減小)

等價關(guān)系：

(1)設(shè)司,多金[4,。],工尸工2那么

(%-占)[/(內(nèi))-/⑺]>0o>0=/(人)在必用上是增函數(shù)；

Xl-*X2

-x,)[f(x})-f(x2)]<()<=>—幾以<0o/(x)在[a，U上是減函數(shù).

X—x2

(2)設(shè)尸/*)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果:。)>0,則/(幻增；如果r@)<o,

則/(X)減.

單調(diào)性性質(zhì)：(1)增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；(兩個函

數(shù)定義域交集)

(2)增函數(shù).減函數(shù)二增函數(shù)；減函數(shù).增函數(shù)=減函數(shù)；

(3)看，-/⑴與/*)單調(diào)性相反，J而與/")單調(diào)性相反。(有

意義的前提)

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：y=f[gW]f由)，=/(〃)和〃=g(x)或合，同真異減。

3函數(shù)的奇偶性：(注：是奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱)

奇函數(shù)：在前提條件下，若有f(-x)=-f(x)^f(-x)+f(x)=0,則f(x)就是奇

函數(shù)。

性質(zhì)：(1)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；

(2)奇函數(shù)在x>0和x<0上具有相同的單調(diào)區(qū)間；

(3)定義在R上的奇函數(shù)，有f(0)=0.

偶函數(shù)：在前提條件下，若有/(-)=/*),則f(x)就是偶函數(shù)。

性質(zhì)：(1)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

(2)偶函數(shù)在x>0和x<0上具有相反的單調(diào)區(qū)間；

奇偶函數(shù)間的關(guān)系：

(1)奇函數(shù)?偶函數(shù)二奇函數(shù)；奇函數(shù)-奇函數(shù)二偶函數(shù)；

(2)偶奇函數(shù)-偶函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)；

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過米，如果

一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖

象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).

4函數(shù)的周期性：

定義：對函數(shù)f(x),若存在TwO,使得f(x+T)=f(x)=T是f(x)的

一個周期。

周期函數(shù)幾種常見的表述形式：

(l)f(x+T)=-f(x),此時周期為2T；

(2)f(x+rn)=f(x+n),此時周期為2,〃一〃|；

(3)f(x+m)=-——,此時周期為2m;

fix)

(4)兩條對稱軸：x=a,x=b,此時周期為丁=2|〃-4;(形如

j=sinx,y=cosx)

(5)兩個對稱點(diǎn)：,此時周期為丁=2|"屈；(形如y=sinx,y=cosx)

(6)一條對稱軸：一個對稱點(diǎn)：x=a,S,0),此時周期為丁=4|〃-母：(形如

y=sinx,y=cosx)

5對稱性：對于函數(shù)y=/(x)(xeR),

①/(T)=/(X)O函數(shù)f(x)關(guān)于y軸對稱

@f(-x)=-f(x)<=>函數(shù)f(x)關(guān)于原點(diǎn)對

③/(x+a)=/(〃-x)<=>函數(shù)/(x)的對稱軸是x=

特別地：/(x)=f(2a-x)o函數(shù)/(x)的對稱軸是工=。

?f(x+a)=-f(b-x)o函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(4,0)對稱

特別地：f(x)=-f(2a-x)<^>函數(shù)/⑶的對稱點(diǎn)3,0)

⑤y=/(幻與y=g(x)互為反函數(shù)。y=/3與y=g(幻關(guān)于)對稱

特別地：(a,b)與SM關(guān)于y=x對稱

6圖像變換：

①平移變換：y三〃的沿卡軸方向平移單位長度y=.f(x+a)左加

右減

)，=/七曲_軸方向平移用單位長度y=f(X+加上加下

減

②對稱變換：y=/。)與y=/D關(guān)于y軸對稱

)，=/(x)與y=-/。)關(guān)于x軸對稱

y=/(x)與y=-/(-x)關(guān)于原點(diǎn)對稱yy=axI

y=/(x)與y=/(2a-x)關(guān)于X=4成軸對稱0a』a"

y=f(x)與y=-/(2a-x)關(guān)于(a,0)成點(diǎn)對稱1

③伸縮變換：、，二心)縱坐標(biāo)伸縮為原來的A倍y=Af(x)o氣

y=/(X)橫坐標(biāo)伸縮為原來的工倍y=/(AA)

-------------------------------------?A

④翻折變換：

v=|/(x)|:作出)，=/(x)的圖像，保留x軸上方圖像，將八軸下方圖像沿著工軸

翻折上去。

y="X):作出)，=/(x)的圖像，保留》軸右方圖像，將其沿著關(guān)于v軸翻折

到左邊，右邊不變。()，="由是偶函數(shù))

7分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的性質(zhì)：

(1)a"=N*,且〃>1).

上］1

(2)an=—=—=(a>0,且〃>l).

/獷

(3)即)"=a.

(4)當(dāng)〃為奇數(shù)時，=當(dāng)〃為偶數(shù)時，仃■止卜"后°八.

-a,a<0

8指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：Iog“N=〃=/=N(O0,"l,N>0).

9指數(shù)與指數(shù)函數(shù)：

指數(shù)性質(zhì)：

(1)1、;(2)、a0=1(〃聲0);(3)、

⑷、arax=ar+s(a>0,r^eQ);⑸、〃?二而；

指數(shù)函數(shù)：(1)、在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、)，=/(0<。<1)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。

注：一指數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(diǎn)(0,1)

10對數(shù)與對數(shù)函數(shù)：

對數(shù)性質(zhì)：若00,4Wl,M>0,N>0,則

⑴、logflM+logrtN=logrt(MA^):(2)、logwM-loguAZ=logu—:

w

⑶、log*"'="10g,〃;⑷、log,,,/?=—logj?;⑸、logw1=0

log。a=?⑺、a'^h=b

對數(shù)的換底公式：logaN=?g""（"0'且"1,〃z>0，且利wl,N>0）.

1%。

對數(shù)函數(shù)：（1）、），=log/（a>l）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù);

（2）、），=log,R0<"l）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)；

注：對數(shù)函數(shù)圖象都恒過點(diǎn)（I,Q）

log,,x>0ow(0,1)或w(l,+oo)

（4）>10g“X<0O4e（0,l）貝卜€(wěn)（1,+8）或〃￡（1,4<0）貝卜￡（0,防

y=logax

11幕函數(shù):嘉函數(shù)在第一象限的情況：f0<a<1

（1）所有的圖形都通過（1,1）這點(diǎn)，a大于0,函數(shù)過（0,0）；

（2）當(dāng)a大于0時，基函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時，基函數(shù)為單調(diào)遞

減函數(shù)。

12平均增長率的問題（負(fù)增長時〃<0）：

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為〃，則對于時間x的總產(chǎn)值門

有）,=N（l+〃）;

三、導(dǎo)數(shù)：

1/⑶在處的導(dǎo)數(shù)（或變化率）：

=lim包=】im/（/+'）一/您）

/'（/）二

Ax-?o八丫21To

瞬時速度：,)=((')=lim竺=limXtS.

A/->0△/&->0△/

瞬時加速度：〃=M/)=lim^=lim-)—二),

AffOZAr-?0△/

2函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)是曲線)，=/(、)在小。,/(/))處的切線的斜率

f(xQ),相應(yīng)的切線方程是y-%=r(Xo)(x-Xo)?

3幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

(1)C=O(C為常數(shù)).(2)(%")'=W」(〃eQ).⑶(sinx)f=cosx.

(4)(cosA-y=-sinx.(5)(lnx)f=-;(logx)z=-log.

X(iXa

(6)e)'=6；(axy=ax]na.

4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：

(1)(〃土v)=ii±v.(2)(wv)=uv+wv.(3)(―)=-(v工0).

5復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：''

y=f[gM]f由y=/(〃)和〃=g(x)復(fù)合，y=f[g(x)]=f(u)-g(x)o

6導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用：

(1))，=/(?在區(qū)間(a,〃)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：

在(白㈤內(nèi)恒有f(A)>0=>y=f(x)遞增

在(a,b)內(nèi)恒有/(幻<0=>y=/(x)遞減

在(〃力)內(nèi)恒有/,(x)=0=>y=)(幻是常數(shù)函數(shù)

y=/(工)在(a,b)遞增=/(x)>0

y=/(X)在(“〃)遞減=>/(X)?0

(2)判別"%)是極大(小)值的方法：

當(dāng)函數(shù)/(%)在點(diǎn)/處連續(xù)時，

(1)如果在所附近的左側(cè)八工)>0,右側(cè)八幻<(),則/(%)是極大值;

(2)如果在與附近的左側(cè)八幻<0,右側(cè)尸⑶>0,則/(.")是極小值.

7定積分的性質(zhì)：

b

k/(x)4/x=fcjf(x)dx

(1)

f[f(x)±g(x)]dx=rf(x)dx±rg(x)dx

'乙)JaJaJa

b

f(?dx=f/(x)dx+Jf[x)dx

(3)f

(4)如果在區(qū)間［a,b］上，f(xRO,則I"'"""

8微積分基本定理:

如果f(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，并且有F(x)=f(x),那么

9定積分的幾何意義:由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)NO)和尤=a,x=b及"0圍

成的平面圖形相魴稱為曲邊梯形.

1)若/⑴<(),如圖5-8所示，則面積為

S=

圖5-8

2)把由直線片a尸d(“中及兩條連續(xù)曲線尸幺(y),x=g2(y)(^i(y)<g2(y))

所圍成的平面圖形稱為V一型圖形.

/

陰影部分的面積：S=￡[52（x）-5l（x）py

y=（2（x）

陰影部分的面積：S=，l（X）-工（X）依

10定積分在物理上的應(yīng)用。

（1）變速u=0（，20）時間在㈤段，路程S=[v⑺力

（2）變力〃=P（x）,物體沿力的方向從〃移動到b,做功W=fp（x）dx

四、三角函數(shù)：

1三角不等式：

（1）若xw（0,為，jUllsinx<x<tanx.

2

（2）若無€（0,石）,貝!j1<sinx+cosxW夜.

2

（3）|sinx|+|cosx|>1.

2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2e+cos*=l,tan。二包

cos，

3正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）

4和角與差角公式

sin?！朗?sinacos.土cosasinp；cos（a土尸）=cosacos尸丁sinasinp;

,,0、tana±tan/

tan（a±0=---------------.

1TtanatanP

asina+bcos。=\la2+b2sin（?+^）（輔助角0所在象限由點(diǎn)（a,b）的象限決

定,tan^>=—）.

5二倍角’女式及降幕公式

sin2〃=2sina.cosr/=>‘a(chǎn)n。

1+tan'a

一2.2-2,，八?21-tan2a

cos2a=cos^a-sina=2cos*^a-\=\-2sina=-------；—?

1+tan-a

2tan

tanla=*I9a

I-tan'a

1-cos2a21+cosla

sin2a-------------,cosa

22

6三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)y=sin（ox+0）及函數(shù)y=cos（ox+9）（A,3,°為常數(shù)，且AR0）的周期

T24

函數(shù)y=tan（3x+*）,x/k兀+三,kwZ（A,3,夕為常數(shù)，且AW0）的周期丁=二.

2|。|

三角函數(shù)的圖像:

尸沁\(yùn)___________y=cosxV、

/I、深3干/丁丁\,/\?TTj

2-3S5、/0S"|/ANXJ*-3入習(xí)/s?'//x/2匕取

7正弦定理：上-=_±-=三=2R(R為AA8C外接圓的半徑).

sinAsinBsinC

<=>?=2/?sinA,b=27?sinB,c=2/?sinC

<=>a:b:c=sinA:sin8:sinC

(a>Z?u*A>8osinA>sin8)

8余弦定理：

a2=b2+c2-2Z?ccosA；

b2=c2+a2-2cacosB；

c2=a2+h2-2abeosC.

9面積定理；

(1)S=-ah=—bh=ch.(兒、4、也分別表75a、b、C邊上的高).

2a2h2(

(2)S=—ahsinC=—hesinA=\asin8.

222

10三角形內(nèi)角和定理：

在△ABC中,有A+4+C=;roC=九一(A+3)

C714+8ccc4rv、

—=------------u>2c=2萬一2(>4+R)?

222

五、平面向量：

1實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)入、u為實(shí)數(shù)，那么:

（1）結(jié)合律：入（口々）=（入U）a；

（2）第一分配律：（入+U）a=入a+Ua；

（3）第二分配律：入（a+6）=入白+入。.

2a與人的數(shù)量積（或內(nèi)積）:a*b=\a\b\cos6^o

3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

⑴設(shè)a=（$,M）,〃二（乙,丫2），則〃+白=（$+S，0+必）.

（2）設(shè)d=（%,%），1二（七,丫?），則〃一。二（％-々，y?-y2）?

（3）設(shè)A（4j）,B（x2,y2）,則48=08_3=（毛—內(nèi)，3，2_）1）?

（4）設(shè)行二（即），）,4wR,則九a二（Ax,Ay）.

（5）設(shè)d=a，x）,h=（x2,y2）,則。?b=xlx2+yiy2.

4求夾角：cosd=：，=/J"?：）［,（a=（*，X），。="2，%））?

求長度：同=4^=—?+W

5平面兩點(diǎn)間的距離公式：_______________

22

dAR=\AB\=\IABAB=yl（x2-xy）+（y2-y\）（A（$,y）,B（x2,y2））.

6共線向量定理：空間任意兩個向量3B（坂W6）,不〃B存在實(shí)數(shù)2,使a=

kbo

（1）三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線<=>蒜=4就<=>OC=xOA^-yVB（其

中x+y=1）

（2）與5共線的單位向量為土3

7共面向量

（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空

間任意的兩向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果兩個向量不共線，〃與向量&。共面的條件是存

在實(shí)數(shù)X，）'使力=xa+yb。

（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面v=>Q=x前

<=>麗=疝+），而+2沅（其中工+）,+2=1）

8向量的平行與垂直：設(shè)。=（公,），〃二（々，為），且〃工0，則:

a\\b<=>b=^a<=>xiy2-x2yi=0.（交叉相乘差為零）

aLb（〃。0）=a?Z?=0<=>x（x2+y\y2=0.（對應(yīng)相乘和為零）

9線段的定比分公式：設(shè)6（x，y）,旦（再,必），P（%,y）是線段口巴的分點(diǎn)，?是

_A)+也

實(shí)數(shù)，且［。=%所，則.1+4<=>"=。1竽<z>op=topx+(\-t}or\

}[+丸為1-A

l+A

1+L2).

10三角形的重心坐標(biāo)公式：^ABC三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（X1,%）、B（X2，y2）、

c（x3,丫3）,則AABC的重心的坐標(biāo)是G盧+；+"%+/+M）.

11三角形叫“心”向量形式的充要條件：、

設(shè)。為AA8C所在平面上一點(diǎn)，角A8,C所對邊長分別為a,4c,則

（1）。為的外心（外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)）^>OA2=OB2=OC.

（2）。為2MAe的重心（中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比））

oOA+08+OC=0.

（3）。為A48C的垂心（高的交點(diǎn)）=OAOB=OBOC=OCOA.

（4）O為的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)）

<^aOA+bOB+cOC=0.

六、數(shù)列：

1等差數(shù)列：

（1）通項(xiàng)公式：（1）4=q+（〃-l）d,其中q為首項(xiàng)，d為公差，n為項(xiàng)

數(shù)

（2）%和S,,之間的關(guān)系:4=］怨”D（注：該公式對任意數(shù)

列都適用）

（2）前n項(xiàng)和：（1）5.=皿答=〃4+及/4；其中々為首項(xiàng)，n為

項(xiàng)數(shù)，。“為末項(xiàng)。

（2）S“=Sz+%（〃之2）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

（3）常用性質(zhì)：（1）、若m+n=p+q,則有am+an=ap+aq；

注：若％是勺，。戶的等差中項(xiàng)，則有2am=4+。0011、m、p

成等差。

（2）、若｛%｝、也｝為等差數(shù)列，則包土d｝為等差數(shù)列。

（3）、｛叫為等差數(shù)列，則黑工-S,“風(fēng)Y”,也成等差數(shù)列。

（4）、程二4,羯=〃,則，2=0；

（4）等差數(shù)列的判定方法：

①定義法：?！?%=?；?-4_1=以〃22）（〃為常數(shù)）0｛4｝是等差數(shù)列

②中項(xiàng)公式法：2aa=%+%”=?。堑炔顢?shù)列

③通項(xiàng)公式法：4”=〃〃+4（〃,4為常數(shù)）=｛%）是等差數(shù)列

④前〃項(xiàng)和公式法：S.=A〃2+8〃（A,B為常數(shù)）。｛%｝是等差數(shù)列

注意鼠①②是用來證明&｝是等差數(shù)列的理論依據(jù)。

2等比數(shù)列：

（1）通項(xiàng)公式：（1）%,其中q為首項(xiàng)，n為項(xiàng)數(shù),

q

q為公比。

（2）?！焙蚐“之間的關(guān)系：q=LSy：。（注：該公式對任意數(shù)

列都適用）

（2）前n項(xiàng)和：（1）S.=Sj+a“（〃22）（注：該公式對任意數(shù)列都適用）

叫（。=1）

（2）S='a.（\-c/n）

n~"（#1）

1-鄉(xiāng)

（3）常用性質(zhì)：（1）、若m+n=p+q,則有aman=apaq;

注：若％是的等比中項(xiàng),則有a；=a“qon、m、p

成等比。

（2）、若｛〃"｝、也｝為等比數(shù)列，貝I」風(fēng)也｝為等比數(shù)歹此

(3)、｛q｝為等比數(shù)列，貝g,也成等比數(shù)歹

(4)等比數(shù)列的判定方法:

①定義法：位「或出=4522)”是不為零的常數(shù))。口J是等比數(shù)

%一

列

②中項(xiàng)公式法：*2=4y+2(a/”+4+2*0)。｛?！ǎ堑炔顢?shù)列

③通項(xiàng)公式法：/="，(CM是不為零常數(shù))=｛/｝是等差數(shù)列

④前〃項(xiàng)和公式法：S^kcf-k(k=」1是常數(shù))=&｝是等差數(shù)列

q-i

注意：①②是用來證明｛見,｝是等比數(shù)列的理論依據(jù)。

3分期付款(按揭貸款)：每次還款工=當(dāng)筌元(貸款。元，〃次還清,每期利

(1+/?)-1

率為。).

七、號式：

1一元二次不等式以2+法+c>0(或<0)(〃￥(),△=/一4加、>0),如果4與ax2+bx+c

同號，則其解集在兩根之外；如果〃與<1+加+c異號，則其解集在兩根之

間,簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.即：

X)<x<x2=(x-％)(x-x2)<0(X)<x2);

X<X),Wtv>x2<=>(X-Xj)(A-x2)>0(x(<x2).

2含有絕對值的不等式：當(dāng)a>0時，有

Mva<=>f<a2<=>-uva?

a<^>x2>a2<^x>a^x<—a.

3常用不等式：

(1)a,0eR="+從之2"(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“二”號).

(2)a/e/T="^點(diǎn)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"=”號).

2

(3)ay+Z?3+?>3abc[a>0,Z?>0,c>0).

(4)同_|44|々+闿〈同+|小

(5)*《疝<竺^、但五(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取"=”號)。

a+b2Y2

4不等式定理：已知x)嘟是正數(shù)，則有

(1)求和的最小值：x+y>2y[xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=>取等號；

x+y+z>3^[xyz9當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z取等號。

6T1+a2+...+an>闔q/….當(dāng)且僅當(dāng)q=生…取

等號。

(2)求積的最大值：沖4妥j，當(dāng)且僅當(dāng)X=>取等號；

xyz'+廣-Y,當(dāng)且僅當(dāng)X=),=Z取等號。

(3)已知a,b,x,ywR+,若ca+〃y=l則有

—+—=(ax+by)(—+—)=a+b+—+—>a+b+2y[ab-{-fa+yfb)2

xyxyxyw

(4)已知，若0+2=|則有

xy

x+y=(x+y)(—+—)=(i+b+—+—>a+b+2\[ab=(\fa+\/b)2

xyxy

5柯西不等式：年+/)(/+/)“比+8)2當(dāng)且僅當(dāng),以=僅、時，(刊=2)等號成

cd

立。

Qj++a；L2+包2+42)2+aj?+a也)2當(dāng)且僅當(dāng):=*=，.等

々

號成立。

柯西不等式的一般形式：

2222

(?1+/2+...+?w)(^1+b；+…+22)之(4自+a2b2+...+allbn)

當(dāng)且僅當(dāng)月=0(i=l,2...〃)或存在一個數(shù)A,使q=他("1,2...〃)時，等號成立。

八、立體幾何：

1線線平行的判斷：

①如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，

那么這條直線和交線平行。

②如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

③垂直于同一平面的兩直線平行。

2線線垂直的判斷：

①在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它

也和這條斜線垂直。

②在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條

斜線的射影垂直。

③若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內(nèi)所有直線。

補(bǔ)充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另

一條。

3線面平行的判斷：

①如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個

平面平行。

②兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。

4面面平行的判斷：

①一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)兩相交直線，這兩

個平面平行。

②垂直于同一條直線的兩個平面平行。

5線面垂直的判斷：

①如果一直線和平面內(nèi)的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。

②如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平

面。

③一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

④如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一

個平面。

6面面垂直的判斷：

一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。

7空間角的求法：（所有角的問題最后都要轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，尤其是

直角三角形）

（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面

內(nèi)相交直線所成的角。異面直線所成角的范圍：

0°va?90";

注意：若異面直線中一條直線是三角形的一邊，則平移時可找三角形的中

位線。有的還可以通過補(bǔ)形，如：將三棱柱補(bǔ)成四棱柱；將正方體

再加上三個同樣的正方體，補(bǔ)成一個底面是正方形的長方體。

（2）線面所成的角：斜線與平面所成的角：斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的

角。范圍0〃<”90”

（3）二面角：關(guān)鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定

理法；③垂面法；

定義法：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱

的兩條射線民主兩條射線所成的叫叫做二面角的壬面加。

注意：還可以用射影法：cos9=1；其中。為二面角2-/-尸的大小，S為a

內(nèi)的一個封閉幾

何圖形的面積；S，為。內(nèi)的一個封閉幾何圖形在夕內(nèi)射影圖形的面積。一

般用于解選擇、填空題。

8夾角公式：

設(shè)a=（q,d,%）,b=也力”仄）,貝！Jcos<a/>=岫+竺2+

,q-+/+/收+與+與

（1）線線夾角。（共面與異面）［0”,90勺。兩線的方向向量二不的夾角或夾

角的補(bǔ)角，cos。=cos<〃1,〃2>

（2）線面夾角見0。刈。］：求線面夾角的步喋：先求線的方向向量而與面的

法向量;;的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角,

即是線面的夾角.sin，=cos<AP,n>

（3）面面夾角（二面角）若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角

等于兩法向量鼠工的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾

角的補(bǔ)角.cos6=±cosv/,4>

9求點(diǎn)到面的距離的方法：

①直接法：直接確定點(diǎn)到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平

面上）；

②轉(zhuǎn)移法：轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到該平面的距離（利用線面平行的性質(zhì)）；

③體積法：利用三棱錐體積公式。

④向量法：A到平面a的距離：4=膽名（〃為平面a的法向量，Aea,AB

l〃l

是a的斜線段）.

10空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=（知生必），b=（4也也）則：

z\

(11

y7a+〃=（%+乙,〃2+&）；

/2\

(1

\7

d-b—（at-blfa2-b29a3-b3）;

/\

(3

\7入a=（"小義生，2a3）（入￡R）；

/\

4J

VZ

a?b=afy+a2b2+a3b3;

11球的半徑是R,則其體積心:內(nèi)，其表面積§=4乃川.

12球的組合體：

（1）球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線

長.

（2）球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長，

正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，

正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.

（3）球與正四面體的組合體：棱長為。的正四面體的內(nèi)切球的半徑為當(dāng)。

（正四面體高與的J），外接球的半徑為鼻（正四面體高當(dāng)?shù)牧?/p>

34434

13多面體:

(1)棱柱：兩底面互相平行，側(cè)面都是平行四邊形，側(cè)棱平行且相等

在斗斗惻棱不垂直于底面?zhèn)壤獯怪庇诘酌婵喙ね痢感牡酌媸钦噙呅蜗碌膿?/p>

棱柱-----------?斜棱柱----------?直棱柱----------?正棱柱;

底而是平行四邊形丁，一、側(cè)棱垂直于底面土十,一、底而是矩形

四棱柱----------->平行六面體---------?直平行六面體-------?

..、..底面是正方形十E4_kj棱長都相等

長萬體----------?正四極柱-------?正方體。

(2)正棱錐：底面是正多邊形，側(cè)面是等腰三角形，頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是

底面中心

性質(zhì):

I、平行于底面的截面和底面相似,

截面的邊長和底面的對應(yīng)邊邊長的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的

高的比；

它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；

截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐

的高的立方比；

II、正棱錐性質(zhì)：各側(cè)面都是全等的等腰三角形；通過四個直角三角形

RtAPOH,RMOB,Rt\PBH,RtABOH實(shí)現(xiàn)邊,高，斜高間的換算

③面積:S」E極雄=；源(。為底周長，

④體積:%惟二；S/z(S為底面積，

(3)正四面體:

對于棱長為〃正四面體的問題可將它補(bǔ)成一個邊長為辛〃的正方體問題。

對棱間的距離為去(正方體的

[7?

正四面體的高手。（=鼻/正方體體對他）

JJ

正四面體的體積為存3（%方體-W小三極雄=/方*）

正四面體的中心到底面與頂點(diǎn)的距離之比為二2（=]/正方體體對體:，正方體體對疲）

外接球的半徑為半。

（是正方體的外接球，則半徑=；/正方體體對角線）

4

內(nèi)切球的半徑為杏"（是正四面體中心到四個面的距離，則半徑

1/）

《‘正方體體對角紋）

九、平面解析幾何：

1斜率公式：/：=―—―（4（X]，x）、8（元,），,））.y=tan?

工2一內(nèi)

2直線的五種方程：

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)-y\=k（x-xi）（直線/過點(diǎn)4（x，y）,且斜率為&）.

（2）斜截式），=履+h（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點(diǎn)式X（yH為）（4區(qū),?。?、R（"K）（X]尸％））.

%-K-v2-x,"

兩點(diǎn)式的推廣：（"王）（），-y）-（），2-X）（xf）=。（無任何限制條件?。?/p>

（4）截距式—2=1（%b分別為直線的橫、縱截距，叱0、府0）

ab

（5）一般式/U十為十C=0（其中A、B不同時為0）.

3點(diǎn)到直線的距離：dM與+/+。（點(diǎn)Pao%）,直線幾加+小+。=0）.

\JA2+B2

4兩平行線間距離：4=：y

y/A2+B2

5圓的四種方程：

（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2.

（2）圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0）.

（3）圓的參數(shù)方程『丁"

y=b+rs\nO

（4）圓的直徑式方程（『1|）。72）+（廣）口（.￥-兌）=0（圓的直徑的端點(diǎn)是A（x”yJ、

B（5M）.

6點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)PC%,%）與圓）2+（），i）2=r的位置關(guān)系有三種;

(直接代點(diǎn)簡單)若J"">—",則4>廠=點(diǎn)。在圓外；

d=〃o點(diǎn)P在圓上；

“<廣。點(diǎn)2在圓內(nèi).

7直線與圓的位置關(guān)系：直線Ax+8y+C=0與圓&-a)?+(y-b)2=/的位置關(guān)

系有三種：(“=?彗竺自)

2

在+B

d>廠。相離o△<();d=ro相切=>△=()；相交=△>().

8兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為01，02,半徑分別為n,r2,

\OiO2\=df則：

d>/+Go外離=4條公切線；

"=八+々u>外切u>3條公切線；

M-引<"<6+與=相交=2條公切線；內(nèi)含呷］相交外？槐

d=,一胃。內(nèi)切<=>］條公切線；e---------?-------?--------皆

()<〃<,一弓|=內(nèi)含=無公切線.d-岫-，出2-d-d

仍吊|+|叫|=2。人|產(chǎn)產(chǎn),|方程為橢圓，

9橢圓方程的定義：篇+篇=2”"拗跡

=忸同以卜尸?為端點(diǎn)的線段

|PF,|+|PF7|=2aF

①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上：5+=1(。A〃A0)?

?■b-

ii.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上:rr=i(>/?0).

a2+b2o

②一般方程：Ax-2+Z?y2=l(A>().?>()).

③橢圓上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大值和最小值在長軸端點(diǎn)取得(近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日

點(diǎn))

焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離(焦準(zhǔn)距)〃=忙。

C

過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：2忙.

a

10若P是橢圓：￡+￡=1上的點(diǎn).產(chǎn)產(chǎn)2為焦點(diǎn)，若/片/平2=。，則APF/2的面積

a~b~

為人？lan?

(用余弦定理與|/V||+|〃”2|=2〃可得).若是雙曲線，則面積為/戶cot?.

11橢圓的的內(nèi)外部：

(1)點(diǎn)P(J20)在橢圓。卷=1(八〃>0)的內(nèi)部o「+g<l.

（2）點(diǎn)尸（如>0）在橢圓3■+方=1（々>〃>0）的外部o今+患.

、忸/卜|“2[=2〈"舊F2|方程為雙曲線

12雙曲線的第一定乂：作卜仍尸2|=2"〉|尸尸2|無軌跡

I附1TP/I=2〃=歸八|以%,修的一個端點(diǎn)的一條射線

①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：4-4=^^0）X-4=^/，>0）.

a-b-erb~

②一般方程：AT2+Q，2=1（ACYO）.

③準(zhǔn)線到中心的距離為C,焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離（焦準(zhǔn)距）〃=以。

CC

④過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通經(jīng)，其長度為：29.

13雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系：’

（1）若雙曲線方程為￡-[=1=漸近線方程：E-1=0Oy=±2x.

a~b~crb-a

（2）若漸近線方程為產(chǎn)±"=%g=0=雙曲線可設(shè)為￡一=="

aaba~b~

⑶若雙曲線與馬-1=|有公共漸近線，可設(shè)為

ab~a~b~

（X>0,焦點(diǎn)在X軸上，Z<0,焦點(diǎn)在y軸上）.

（4）焦點(diǎn)到漸近線的距離總是。。（會推，可以不記）

14拋物線方程：設(shè)“0,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：

y2=2內(nèi)y2=-2pxx2=2pyx2=-2py

圖形X..

寸

TK7K

隹占嗚,0)尸（《,0）F(0苧

準(zhǔn)線x=-fy=-f>,=f

x>0,yeRx<O,yeRxeR,y>0xeR,y<0

范圍

對稱軸.'軸y軸

頂點(diǎn)(0,0)

e=\

離心率

焦點(diǎn)附行+即冏=勺悶陽=導(dǎo)回1

注：①通徑為2p,這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的.

②聲2"(或/=2外)的參數(shù)方程為卜=2"(或[=2〃)3為參數(shù))

y=2pt[y=2pr

15直線與圓錐曲線相交的弦長公式

222

|A8|=\l^-x2)+(yi-y2)=++x2)-4xix2

16圓錐曲線的統(tǒng)一定義??

注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

橢圓雙曲線拋物線

1.到兩定點(diǎn)B,F2的距離1.到兩定點(diǎn)Fi,F2的距

之和為定值2a(2a>|FiF2|)離之差的絕對值為定值

定義的點(diǎn)的軌跡2a(0<2a<|BF2|)的點(diǎn)的軌

跡

2.與定點(diǎn)和直線的距離之2.與定點(diǎn)和直線的距離與定點(diǎn)和直線

比為定值e的點(diǎn)的軌跡.之比為定值e的點(diǎn)的軌的距離相等的

(0<e<l)跡.(e>l)點(diǎn)的軌跡.

標(biāo)

方準(zhǔn)

4-21=l(a>0,b>0)

=+*=1(">6>0)y2=2px

方ab~a"b~

程

程參x-acosOix=asecO卜二”廣參

y=bsinO(>%=Z?tan^

]y=2p/

(參數(shù)媯離心角)(參數(shù)。為離心角)

數(shù)

數(shù))

方

程

范圍-a<x<a,—b<y<b|