2024年新東方初中數(shù)學(xué)初一年級寒假 滿分版 第5節(jié) 整式運(yùn)算的綜合應(yīng)用含答案

2024年新東方初中數(shù)學(xué)初一年級寒假滿分版第5節(jié)

整式運(yùn)算的綜合應(yīng)用含答案第5節(jié)整式運(yùn)算的綜合應(yīng)

用

目標(biāo)層級圖

課前檢測

1.計算：

2，3

⑴一2〃2〃?（一3。）(2)-x2/xyz^(-2x2y)

16

(3)—4)-(x+3乂12-3x+2)-2x(x—2)

2.計算：

(1)a5*(-a)(2)“IP-(-2a3)2-“?屋?〃3

3.計算：

（1）（色產(chǎn)-奈乎）+步）,3(2)(27蘇?151+3。):(-3a)；

4.當(dāng)x=2，），=1時，求代數(shù)式一2y2卜-+2），）一2d（工一〉）的值。

課中講解

一.整式混合運(yùn)算

內(nèi)容講解

混合運(yùn)算順序：從高級到低級，有括號先算括號。

例1.計算：4x)，2(2x-xy)+(-2x)，)2的結(jié)果是.

例2.(1)(—3/)2.4+(_402?〃7T5/尸(2)(x-2)(2x+5)-(x-1)2-(2x-4)(^+2)

I3rl

(3)[-x)^x2+y)(x2-y)+-X2y7+3與力+(一弓心，)

22o

(4)37.2^+(a2尸d+(2/)4+(-41)

過關(guān)檢測

1.計算(加〃)3?(-1〃)+(_〃"?)2的結(jié)果為

2.(1)產(chǎn)+(_/)“(2)(x+3)(x-5)+2x(3x-l)

(3)(2b-a)(2a+b)-2(3a-2b)2(4)(-a4b7--aV+-?2Z?6)-(--f^3)2.

4242

3.先化簡，再求值：(2。-1)2+64(4+1)-(3。+2)(34-2),其中/+2。-2020=0.

4.若實(shí)數(shù)x滿足f-2x-l=0,求代數(shù)式(2x-l)2—x(x+4)+(x-2)(x+2)的值.

三.“不含”與“無關(guān)”問題

內(nèi)容講解

不含X項(xiàng)、與X無關(guān)的解題步驟：

（1）化簡所給代數(shù)式（去括號、合并同類項(xiàng)）；

（2）令含x項(xiàng)系數(shù)為零；

（3）列方程求解.

例1.若（一2工+〃）@一1）中不含x的一次項(xiàng)，則（）

A.a=1B.?=—1C.a=-2D.a=2

例2.已知（x3+mx+〃）（V-3x+4）展開式中不含V和F項(xiàng).

（1）求〃1、n的值；

（2）當(dāng)〃?、〃取第（I）小題的值時，求（〃?+〃）（加-〃加+，/）的值.

例3.已知A=(2x+l)(x-l)-x(l-3y),8=-丁,且3A+64的值與x無關(guān)，則,=

過關(guān)檢測

1.若多項(xiàng)式乘法（x+2y）（2x-妙-1）的結(jié)果中不含邛項(xiàng)，則k的值為（）

A.4B.-4C.2D.-2

2.若多項(xiàng)式5f+2x-2與多項(xiàng)式以+1的乘積中，不含V項(xiàng)，則常數(shù)。=

3.已知（丁+〃氏+〃）（12-3x+l）展開后的結(jié)果中不含V、V項(xiàng).求加+〃的值.

4.若（V+〃x—g）（工2—3x+夕）的積中不含x項(xiàng)與.，項(xiàng),

（1）求〃、夕的值；

（2）求代數(shù)式（-2P24+（3/應(yīng)尸+，刈2產(chǎn)的值

5.若關(guān)于x的多項(xiàng)式（2%-3）一+2加2一3%的值與力的取值無關(guān),求/〃值;

6.已知4=2x（x-l）-Ml-3），），A=+盯一1,且4+24的值與x無關(guān)，求y的值.

四.解方程

內(nèi)容講解

解一元一次方程的一般步驟：

1.去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù).

注意：①不要漏乘不含分母的項(xiàng)；

②分子是一個整體，去分母后對分子整體還原括號.

2.去括號：先去小括號,再去中括號，最后去大括號.

注意：①不要漏乘括號里的項(xiàng)；

②不要弄錯符號.

3.移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他頂都移到方程的另一邊.

注意：①移項(xiàng)耍變號；

②不要丟項(xiàng).

4.合并同類項(xiàng)：把方程化成or二人（。工0）的形式.

注意：字母及其指數(shù)不變.

5.系數(shù)化為1：在方程兩邊都建噠未知數(shù)的系數(shù)“，得到方程的解X=?

注意：不要把分子、分母搞顛倒.

例1.解方程:(x+1)(%-1)-2x=x—2+(x—2)2.

例2.解方程…鴻.

過關(guān)檢測

1.解方程：(2X-5)2+(3X+1)2=13(X2-10)

2.解方程：4(X+1)2-(2,V-5)(2A-+5)=21.

五.恒等求值(含參)

內(nèi)容講解

方法解析：

(1)常規(guī)法：利用整式乘法把左邊乘開并合并同類項(xiàng)，然后讓左邊等于右邊。(即相同項(xiàng)前

面的系數(shù)相同)

(2)特殊值法：令讓左右兩邊的未知數(shù)為同一數(shù)字，使左邊等于右邊建立參數(shù)的相關(guān)方程

并求解。

例1.已知。-2)?。+3)=/+〃3一6,則/〃的值是()

A.-1B.1C.5D.-5

例2.如果(x-4)(x+8)=x2+nix+n，那么m+〃的值為(

A.36B.-28C.28D.-36

例3.已知(3x-2)(x+l)=av2+法+c,那么。=,b=

過關(guān)檢測

1.已知。一2)。+1)=/+/比一2,則〃的值為()

A.-3B.1C.-1D.3

2.若f+〃驍-]5=(x+3)(x+〃)，則“1=?n=

3.如果等式f+3x+2=a-l)2+B(x-l)+C恒成立，其中4,。為常數(shù)，B+C=

22

例4.把(x-x+1)，展開后得42y*+?||X"+6o產(chǎn)+…+a2x+平+%,求:

⑴旬的值

(2)&+4+4+4+a\o+《2的值

a

(3)ai2-ayi+《o_%+&_%+%~s+q-6+4+’的值

過關(guān)檢測

554

1.已知(2.r-l)=a5x+G4X+a/'+生/+qx+《)對于任意的x都成立.

求⑴%的值

(2)《14+%—。3+的值

(3)a2+a4的值.

2.若(2x+l)‘=o￥'+—4+<:才3+公2+ex+/,求:

(1)a+Z?+c+d+e+/的值，

(2)〃-h+c-〃+?—/的值，

(3)/的值.

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.下列計算正確的是()

A./+/=24B.(-2/>=4/

C.(a+2)(a-1)=a2+a-2D.(a^b)2=a2+b2

2.已知多項(xiàng)式x-〃與/"..I的乘積中不含小項(xiàng)，貝I,常數(shù)〃的值是()

A.-1B.1C.2D.-2

3.若(犬+2)(工-4)=/+所一8,則〃=.

4.?(x+2)(^-1)=x2+nix-2,貝U.

5.在(f+-+b)(2f-3x-l)的積中，已項(xiàng)的系數(shù)為一5,Y項(xiàng)的系數(shù)為-6,求a,b的值.

6.計算下列各題

(1)(x3)2.(-x4)3(2)

(3)2nin?[(2mn)2-3n(mn+m2n)](4)(2a4-1)2-(2d+1)(2〃-1)

(5)IO2+(—)-2x(^-3.14)0-1-3O21

7.解方程：(X+1)2-(X+2)(X-2)=15.

8.化簡求值：3+1）2-2。（/+。）-1]+（一加）,其中求-a-6=0.

9.先化簡再求值:（4他3-8/。2）+4曲+（2。-1）（。+3）,其中|。+1|+（2匕-4）2=0

10.計算:

(1)(a2+3)(a-2)-a(a2-2a-2)：(2)解方程：(x-1)(x-2)=(x+3)(x-4)+20.

家長簽字:

第5節(jié)整式運(yùn)算的綜合應(yīng)用

目標(biāo)層級圖

課前檢測

1.計算：

2，35

⑴-2。方?（-3。）⑵丁丁正xyz^-2x2y)

-9氏

(3)x(x2-4)-(x+3)(x2-3x+2)-2x{x-2)

=-2X2+7X-6

2.計算：

(1)a5*(-a)2-r?3(2)〃注。3-(-2a3)2-a*a2*a3

=/=-4a6

3.計算：

（1）（沁二春葉）.沁，3(2)(27涼-15/+3。)4-(-3a)；

=2x2y--x=-72Ml2/6

4.當(dāng)x=2，），=］時,求代數(shù)式（J一2）3卜+2”一2町（工一）1）的值。

答案：原式二工3-4）,3=4

課中講解

一.整式混合運(yùn)算

內(nèi)容講解

混合運(yùn)算順序：從高級到低級，有括號先算括號。

例1.計算：4x)，2(2x-xy)+(-2x)，)2的結(jié)果是_2-y_.

【分析】原式利用單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，哥的乘方與積的乘方運(yùn)算法則計算即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=(8/)2—4/),3)?(4/),2)=2-)，，

故答案為：2-y

例2.(1)(-3/)2/+(-44)2./―(5")3(2)(x-2)(2x+5)-(x-1)2-(2x-4)(J4-2)

i3i

(3)[-x)\x2+y)(x2-y)+-x2y7+3A/]+(一F/)，)

22o

24

(4)3/?2/+(a尸6+(2/)+(Ta?)

【解答】解：⑴原式=9/+16，-125/=一100/；

(2)原式—2x~+x—10—x2—1+2.v—2x2+8=—x~+3x—3；

(3)原式=(gVy-:沖a+:個3)=(：/)，)+(_：工4),)=-4x；

222o2o

(4)原式=64°+d。—4d°=34°；

過關(guān)檢測

1.計算(〃，〃)?'?(-/〃)+的結(jié)果為—-nhr—.

【分析】原式第一項(xiàng)利用積的乘方及暴的乘方運(yùn)算法則計算，第三項(xiàng)利用積的乘方運(yùn)算法則

計算，再利用同底數(shù)號的乘、除法法則計算，即可得到結(jié)果.

【解答】解：(〃[2〃)3?(-〃7，)+(-〃"7)2

=(M'〃3)?(一〃?"〃)+(m2n2)

=（一加°〃4）+（〃「〃2）

=-n/n2.

故答案為：

2.(1)(X4)34-(-X2)2+(-X2)3.X2(2)(x+3)(x-5)+2x(3x-l)

(3)(2b-a)(2a+b)-2(3〃-2b)2(4)(-a%7--aV+-a2b6)+(—，ab-)2.

4242

(解答］解：⑴(A-4曠+(-X2)2+(-X2門.X2

=產(chǎn)++(-x6)?x2

=x8+(-x8)

=0；

(2)(X+3)(X-5)+2X(3A-1)

=x2-5x+3.r-15+6x2-lx

=7X2-4X-I5；

(3)(2b-a)(2a+b)~2(3?-2b)2

=4ab+2b1-2a1-ab-2(9,-\2ab+4b2)

=4ab+2/^-2a2-ab-\8c?+24ab-Sb2

=27必-6^-20/；

(4)((-g。紗+；/廬)+(一；加了

472626

=(-ah--〃射+i/7/?nh

4244

=3〃%-2加+1.

二.整式化簡求值問題

內(nèi)容講解

注意：先化簡，然后再求值。

例1.先化簡，再求值：(a2b-lab1+b)(a-h),其中。=4，b=-\.

2

【分析】先算乘法和除法，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出即可；

【解答】解：(a2b—2a/-/)+b—(a+b)(a-b),

=cr-2ab-b1-a1+bi,

=-2cib，

當(dāng)〃=，，b=-1時，原式=-2x,x(-l)=l；

22

例2.先化簡再求值：(4°"-8452)+4他+(2。-1)(。+3),其中|4+1|+(2/?-4)2=0

【分析】首先去括號合并同類項(xiàng)，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得。、〃的值，進(jìn)而可得答案.

【解答】解：JMit=b2-2ab+2ah+6a-b-3

=b2+6a-b-3,

,?M+l|+(2〃―4)2=0,

+1=0?2/?—4=0>

解得：a—1,b=2,

則原式=4-6-2-3=-7.

例3.如果x—2y=2018,求[(3x+2y)(3x-2y)一(x+2>)(5.r-2y)]+2.x的值.

解：①L(3x+2y)(3x-2y)-(x+2y)(5x-2y)]+2x

=r(9x2-4/)-(5x2-4/+8.q))]+2x

=(4/-8盯)+21

=2x-4y

x-2)，=2018,

原式=2(x-2y)=2x2018=4036；

過關(guān)檢測

1.化簡求值：[(a+2b)2-(a+b)(3a-b)-5b2]^a,其中。=一4，b=-.

23

【分析】原式中括號中利用完全平方公式，多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計算，去括號合并后利用

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式法則計算得到最簡結(jié)果，把4與人的值代入計算即可求出值.

【解答】解：原式=(々2+4ab+4b2-3?2-2ab+Z?2-5b2］-i-a=(-2a2+2ab)^-a=-2a4-2b,

1i2

當(dāng)〃=一已，力=上時，原式=14.

233

2.若(2x-y)2+|y+2|=0,求代數(shù)式［(2.r+y)(y—2x)-y(6x+y)］+(-2x)的值.

【分析】利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出“與y的值，原式化簡后代入計算即可求出值.

【解答】解：???(2x-?+|)，+2|=0,

2x->'=0,y+2=0>

解得：x=-l>y=-2,

則原式二()?-4x2-6xy-y2)-s-(-2x)-2x+3y=-2-6=-8.

3.先化簡，再求值：(2a-1)2+6a(a+1)-(3a+2)(3a-2),其中+2。-2020=0.

【分析】先按照完全平方公式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式和多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則將原式化

簡，再將已知條件/+勿-2020=0變形后代入求值即可.

［解答］解：原式=4/-4。+1+6a2+6a-(9a2-4)

=cT+2a+5

+2?-2020=0,

:,a2+2a=2020,

原式=2020+5=2025.

【點(diǎn)評】本題考查了整式的混合運(yùn)算-化簡求值，熟練掌握整式乘法的相關(guān)運(yùn)算法則是解題

的關(guān)鍵.

4.若實(shí)數(shù)x滿足寸-21-1=。，求代數(shù)式(2x-l)2-x(x+4)+(x-2)(x+2)的值.

【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計算，去括號合

并后，將已知等式變形代入計算即可求出值.

【解答】解：原式=4/—4工+1-_?一4%+%2-4=4/一次一3,

由丁一2工一1=0,得到f-2x=l,

則原式=452一2\)-3=4*1-3=1.

三.“不含”與“無關(guān)”問題

內(nèi)容講解

不含X項(xiàng)、與X無關(guān)的解題步驟：

(1)化簡所給代數(shù)式(去括號、合并同類項(xiàng))；

(2)令含x項(xiàng)系數(shù)為零：

(3)列方程求解.

例1.若(—2x+a)(x—l)中不含x的一次項(xiàng)，則()

A.。=1B.a=—\C.a=-2D.a=2

【分析】原式利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計算，再根據(jù)結(jié)果中不含x的一次項(xiàng)即可確定出。的

值.

【解答】解：(-2.v+a)[x-1)=-2x2+(a+2)x-a,

由結(jié)果中不含％的一次項(xiàng)，得到4+2=0,即a=-2.

故選：C.

例2.已知(x1+rnx+/i)(x2-3x+4)展開式中不含x3和x~項(xiàng).

(1)求〃？、n的值;

(2)當(dāng)切、〃取第(1)小題的值時?求(m+w)(m2-mn+.)的值.

【分析】(1)利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計算得到結(jié)果，根據(jù)展開式中不含/和丁項(xiàng)

列出關(guān)于m與〃的方程組，求出方程組的解即可得到加與〃的值；

(2)先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則將?！?〃)(>-〃"?+〃2)展開，再合并同類項(xiàng)化為

最簡形式，然后將(1)中所求〃?、〃的值代入計算即可.

【解答】解：(1)(?+/nr+n)(v2-3r+4)

=X5-3x4+(in+4)x3+(n-3m)x2+(4〃i-3n)x+4〃，

根據(jù)展開式中不含f和V項(xiàng)得：JW+^=0

n-3in=0

即〃?=-4,〃=—12

(2)(m+〃)(〃/-mn+n1)

=n/-/n2/?+nur2+itTn-〃m2+n

=n/+，>

當(dāng)，〃=-4,〃=—12時，

原式=(-4>+(T2)3=-64-1728=-1792.

例3.已知A=(2x+l)(x-l)-x(l-3)，)，B=-x2-xy-\,且3A+63的值與x無關(guān)，則產(chǎn)

2

【分析】把A與A代入3A+64中，去括號合并后，根據(jù)結(jié)果與x無關(guān)求出)，的值即可.

【解答】解；A=(2x-t-l)(.r-1)—x(l-3y)-2x2—2.r十x—1—x+3x)!—2x2—2x+3人)，-1,

B=-x1-xy-1,

/.3A+68=6x2-6A+9xy-3-6x2-6xy-6=-6.r+3盯一9=(-6+3y)x-9,

由結(jié)果與x無關(guān)，得到-6+3y=0,

解得：y=2.

故答案為：2.

過關(guān)檢測

1.若多項(xiàng)式乘法。+2)，)(2.?6-1)的結(jié)果中不含七項(xiàng)，則Z的值為()

A.4B.-4C.2D.-2

【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計算出結(jié)果，根據(jù)不含個項(xiàng)，即個項(xiàng)攸系數(shù)

為0,求出女的值即可.

【解答】解：(x+2y)(2x-妙一1)

=2x2-kxy-x+4xy-2ky2-2y

=2x2+(4-k)xy-x-Iky2-2y,

.結(jié)果中不含孫，項(xiàng)，

:A-k=O,

解得，&=4,

故選：A.

2.若多項(xiàng)式5/+24-2與多項(xiàng)式分+1的乘積中，不含爐項(xiàng)，則常數(shù)〃=--.

-2-

【分析】根據(jù)題意列出算式，計算后根據(jù)結(jié)果不含二次項(xiàng)確定出。的值即可.

【解答】解：根據(jù)題意得:(5x2+2x-2)(ax+1)=5a/+(54-2a)x1+2A-2ax-2,

由結(jié)果不含一項(xiàng),得到5+2a=0,

解得：?=

2

故答案為：-2

2

3.已知(丁+〃氏+〃)(%2-34+1)展開后的結(jié)果中不含x'、V項(xiàng).求/麓+〃的值.

【分析】原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計算，根據(jù)結(jié)果中不含V和爐項(xiàng)，求出，〃與〃的

值即可.

【解答】解：(1+rnr+mC?-3x+l)

=V—3x4+d+mx"-3twC+nix+nx2-3nx+n

=x5-3x4+(1+〃?)V+(-371+n)x2+(in-3〃)x+n

因?yàn)檎归_后的結(jié)果中不含r'W項(xiàng)

所以1+〃?=0—3m+w=0

所以m=-1n=-3m+〃=-1+(-3)=-4.

4.若(儲+-3x+夕)的積中不含x項(xiàng)與V項(xiàng)，

(1)求〃、夕的值；

(2)求代數(shù)式(一232°)2+(3兇尸+p20M的值

【分析】(1)形開式子，找出X項(xiàng)與/令其系數(shù)等于0求解.

(2)把〃，鄉(xiāng)的值入求解.

【解答】解：(1)(x2+px-^)(x2-3x+q)=x4+(/?-3)X3+(^-3/7-^)x2+(qp+\)x+q,

積中不含x項(xiàng)與丁項(xiàng),

/.P-3=0,qp+\=0

(2)(_2p2療+(3p〃+p2。%劉4

=[-2X32X(-1)]2+[3X3X(-1)]-'+[3X(-1)]20,2X(-1)2

7

=35

9-

5.若關(guān)于x的多項(xiàng)式(2x-3)〃?+2"-3x的值與x的取值無關(guān)，求加值；

(1)(2x-3)m+2rn2-3x

=2nix-3m+2nr-3x

=(2m-3)x+2m2-3m,

.其值與x的取值無關(guān)，

.?.2/〃-3=0，

解得，"7=3，

2

答：當(dāng)機(jī)=3時，多項(xiàng)式(24-3)，〃+24-34的值與工的取值無關(guān)；

2

6.已知A=2x(x-1)-x(l-3y),B=-x2+-1,且4+2A的值與x無關(guān)，求y的值.

【分析】(1)將A與B代入4+25中，去括號合并得到最簡結(jié)果，根據(jù)結(jié)果與x無關(guān)，

即可確定出)，的值；

2

【解答】解：(1),：A=2x(x-\)-x(\-3y)fB--x+xy-1,

/.A+2B=2x(x-l)-x(l-3y)+2(-x2+x)?-l)=2x2-2x-x+3xy-2x2+2xy-2=(5y-3)x-2

9

A+2B的值與x無關(guān)，

.'.5y-3=0,

3

?y=:；

四.解方程

內(nèi)容講解

解一元一次方程的一般步驟：

1.去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù).

注意：①不要漏乘不含分母的項(xiàng)；

②分子是一個整體，去分母后對分子整體還原括號.

2.去括號：先去小括號,再去中括號，最后去大括號.

注意：①不要漏乘括號里的項(xiàng)；

②不要弄錯符號.

3.移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊.

注意：①移項(xiàng)要變號；

②不要丟項(xiàng).

4.合并同類項(xiàng)：把方程化成or二人（。工0）的形式.

注意：字母及其指數(shù)不變.

5.系數(shù)化為1：在方程兩邊都建噠未知數(shù)的系數(shù)4,得到方程的解X=?

注意：不要把分子、分母搞顛倒.

例1.解方程：(X+1)(X-1)-2K=X-2+Q-2)2.

【分析】利用平方差公式和完全平方差公式將原方程化簡，再解即可.

【解答】解：將原方程化簡得，

x2-2,x=X—2%2—4-x+4

解得：x=3.

【點(diǎn)評】本題主要考查了解方程，將原方程利用平方差等公式化簡是解答此題

的關(guān)鍵.

例2.解方程：(x-；)2-(x+g)(x-g)=g.

【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開，再合并同類項(xiàng)，移項(xiàng)，即可得出答案.

【解答】解：(X--)2-(A+-)(%--)=--?

3333

21

—x=-

39

【點(diǎn)評】本題考查了平方差公式，解一元一次方程，完全平方公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)

用公式進(jìn)行推理和計算的能力.

過關(guān)檢測

1.解方程：(2x-5)2+(3x+1)2=13(x2-10)

【分析】方程左邊利用完全平方公式展開，去括號，移項(xiàng)合并，將x系數(shù)化為1即可求出解.

【解答】解：方程整理得：4x2-20x+25+9x2+6,r+1=13x2-130,

移項(xiàng)合并得：-14x=-156,

解得：x=—.

7

【點(diǎn)評】此題考查了解?元?次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

2.解方程:4(X+1)2-(2^-5)(2X+5)=21.

【分析】首先利用完全平方公式和平方差公式把方程化簡，再進(jìn)一步求得未知數(shù)的數(shù)值即可.

【解答】解:4(x+l)2-(2.r-5)(2.r+5)=21

4(/+2x+1)-4/+25=21

4x2+8x+4-4x2+25=21

8x=-8

x=-l.

【點(diǎn)評】此題考查整式的混合運(yùn)算與解方程，利用完全平方公式和平方差公式計算化簡是解

決問題的前提.

五.恒等求值(含參)

內(nèi)容講解

方法解析：

(1)常規(guī)法：利用整式乘法把左邊乘開并合并同類項(xiàng)，然后讓左邊等于右邊。(即相同項(xiàng)前

面的系數(shù)相同)

(2)特殊值法：令讓左右兩邊的未知數(shù)為同一數(shù)字，使左邊等于右邊建立參數(shù)的相關(guān)方程

并求解。

例1.已知(x-2)?(x+3)=f+〃比-6,則」的值是()

A.-1B.IC.5D.-5

【分析】先根據(jù)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，合并后即可得出答案.

【解答】解：(x-2)*(%+3)=x2+3x-2%-6=x2+x-6,

'/(X-2)<x4-3)=x2+nix-6,

：.rn=\,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，能夠靈活運(yùn)用法則進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵.

例2.如果(％-4)(X+8)=/+板++,那么加+〃的值為()

A.36B.-28C.28D.-36

【分析】先將(x-4)(x+8)展開，然后與分+小+〃找準(zhǔn)對應(yīng)的系數(shù),即可得到加、〃

的值.

【解答】解：,/(x-4)(x+8)=x2+4x-32,(x-4)(x+8)=x2+nix+n,

.?./〃=4,〃=-32，

/.m+〃的值為-28,

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，解題的關(guān)鍵是明確多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的方法，找

準(zhǔn)對應(yīng)的系數(shù).

例3.已知(3x—2)(x+1)=av2+bx+c,那么a=，b=,c=.

【分析】先把等式的左邊化為aP+lK+c的形式，再令兩邊的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及

常數(shù)項(xiàng)分別相等，求出。、匕、c的值即可.

【解答】解:v(3x-2)(x+1)=3.r2+3x-2.r-2=3x2+x-2,

「.々=3,b=\fc=-2.

故答案為：3,1,-2.

【點(diǎn)評】本題考查的是多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，根據(jù)多項(xiàng)式的乘法法則把等式左邊化為

3/+X-2的形式是解答此題的關(guān)鍵.

過關(guān)檢測

1.已知(％—2)。+1)=八+內(nèi)一2,則〃的值為()

A.-3B.1C.-1D.3

【分析】直接利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則計算進(jìn)血得出〃的值.

【解答】解：-2)(%+1)=/+城一2,

.,.x2-x-2=x2+tvc-2，

1.

故選：C.

2.若x2+-15=(x+3Xx+〃)，則w=,n=.

【分析】把己知等式中的右邊，利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則展開，合并，再利用等式的性質(zhì)

可得利=3+〃，3/7=—15＞解即可.

【解答】解：:(x+3)(x+〃)=/+(3+n)x+3〃,

/.x2+//LV-15=x2+(3+〃)工+3〃，

m=3+??,3H=—15,

解得〃?=—2,n=—5.

故答案是-2,-5.

【點(diǎn)評】本題考查J'多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.解題的關(guān)鍵是靈活掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則.

3.如果等式V+3x+2=a-l)2+8(x-l)+C恒成立，其中5,C為常數(shù)，B+C=11.

【分析】因?yàn)閄2+3X+2=(X-1)2+8(X-1)+C=X2+(8-2)X+1+C恒成立，根據(jù)對應(yīng)相等

即可得出答案.

【解答】解:,??f+31+2=。-1)2+8()-1)+。=/+(8一2)%+1+。恒成立,

8-2=3,1+0=2,

:.B=5,C=6,

故8+C=lI.

故答案為：11.

6i22

例3.把(V-x+1)展開后得cil2x+aHx"++...+a2x+a{x+%,

求：(1)%

(2)〃，+%+4+4+4。+4，

a4

(3).2%I卜，4o-%I/i4%+a4-a3I%%i%

102

[分析]由，一x+1)，=+4+?10x+…+a2x+-a}x+%,

取x=T可得所求代數(shù)式的值.

【解答】解(1)1=1,《)=1

36-3

(2)原式--

2

(3)當(dāng)x=—1時得

a66

〃12-41+4。―%+仆―%―6+4-+a2-a}+a0=[(-1)~-(-1)+1]=3>

故答案為：3、

過關(guān)檢測

5

1.已知(2x-1)5=a5X+包工4++4/+/對于任意的X都成立

求⑴詢的值

(2)。0-。1+。2~a3+a4一。5的值

(3)]+々4的值?

【分析】(1)令x=0,求出g的值是多少即可.

(2)令X=-l,求出為_4+%-。3+%-。5的值是多少即可.

(3)令X=l,求出/+4+勺+〃3+〃4+〃5的值，即可求出〃2+&的值是多少.

【解答】解：(I)令x=0,

(2)令X=-1,

貝(J+a2一%+%一%

=[2x(-l)-l]5

=(-3)5

=-243

(3)令x=1,

貝lja0+%+a2+%++%

=(2x1-1)5

=1

由(1),可得

%=-1，

由(2),可得

a0_at+a2-a3+a4-a5=-243,

/.a2+a4

=[(《)+6+%+/+%+/)+(/_“+a2-%+%-%)]+2-%

=[l-243]^-2-(-l)

=-242+2+1

=-121+1

=-120

2.若(2x+l)'=ox'+Z?/+1+加+ex+f,求：

(1)〃+Z?+c+d+e+/的值，

(2)4-〃+c-d+e-/的值，

(3)/的值.

【分析】(1)令x=l求出所求式子的值即可；

(2)令x=-l求出所求式子的值即可；

(3)根據(jù)(1)與(2)求出〃與/的值即可.

【解答】解：(1)令x=l,得至lja+〃+c+d+e+、f=243；

(2)令x=-l,得至lja-〃+c-d+e-f=1；

(3)令x=0,得至llf=1.

【點(diǎn)評】此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

學(xué)習(xí)任務(wù)

1.下列計算正確的是()

A./+片=2/B.(-2/)2=-4/

C.(〃+2)(〃-1)=/+〃一2D.(a-i-b)2=a2+b2

【分析】各式計算得到結(jié)果，即可作出判斷.

【解答】解：A、原式=2/,不符合題意；

B、原式=4/,不符合題意；

C＞原式=/_々+加一2=4?+〃_2,符合題意：

。、原式="+2ab+b2,不符合題意，

故選：C.

2.已知多項(xiàng)式x-a與丁+21-1的乘積中不含/項(xiàng)，則常數(shù)〃的值是()

A.-1B.1C.2D.-2

【分析】先計算。-4)(/+2工-1),然后將含/的項(xiàng)進(jìn)行合并，最后令其系數(shù)為。母可求

出”的值.

【解答】解：(x-a)(x2+2x-l)

=V+2x2-x-ax2-2ax+a

=d+2x2-ax2-x-2ar+a

=x3+(2-a)x2-x-lax+a

令2-。=0,

a=2

故選：C.

3.若(x+2)(x-4)=9+幾丫-8,則〃=_-2_.

【分析】已知等式左邊利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計算，再利用多項(xiàng)式相等的條件求出〃的值

即可.

【解答】解：已知等式整理得：jr-2x-8=jr2+m-8.

則〃=-2,

故答案為：-2

【點(diǎn)評】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

4.若(x+2)(x—l)=X2+/wx—2,貝I」m=1.

【分析】利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則展開，再根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等列式求解即可.

【解答】解：(x+2)(x-1)=X2+x-2=x2+nix-2,

：.m=\.

故答案為：1.

【點(diǎn)評】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等列式是求解的關(guān)鋌，明

白乘法運(yùn)算和分解因式是互逆運(yùn)算.

5.在，+然+㈤(2f-3x-l)的積中，V項(xiàng)的系數(shù)為_5,V項(xiàng)的系數(shù)為-6,求a,b的值.

【分析】原式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計算得到結(jié)果，根據(jù)1項(xiàng)的系數(shù)為—5,V項(xiàng)的系

數(shù)為-6即可求出。與〃的值.

[解答]解：(x2+ax+b\2x2-3x-l)

4232

=2.r-3x‘-x+2ax-3ad_av+?J)x-3bx-b

=2x4+(2a-3)Y+(2b-3a-l)x2-(a+3b)x-b,

根據(jù)題意得：2。-3=-5,2b-3a-l=-6,

解得：?=—1,b=-A.

6.計算下列各題

(1)(x3)2.(-x4)3(2)(9xV)+3V

51C)5

(3)2nuh[(2mn)2一3n(mn+m2n)](4)(2a+1)2-(2a+1)(2。-1)

(5)IO2+(j-)-2x(^-3.14)°-1-3O21

【解答】解：⑴(x3)2.(-x4)3

=收產(chǎn))

=-x18;

⑵(2Y")子沁3

=2x2y——x：

-2

(3)2nin?[(2mn)2-3n(mn+nrn)]

=2mn*[4m2n2-3mn2-3nrn21

=2mn?(/!!'n2-3mn2)

=2inn3-；

(4)(2a+l)2-(2a+l)(2a-1)

=4a2+4a+1-4a2+1

=4a+2；

(5)IO?+(焉)1x(乃—3.14)°—1—30」

=100+9(X)x1—900

=1(X)+9(X)-9(X)

=1(X).

7.解方程：(X+1)2-(X+2)(X-2)=15.

【分析】方程左邊利用完全平方公式及平方差公式化簡，整理后移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，

即可求出解.

【解答】解：方程整理得：幺+21+1-/+4=15,

移項(xiàng)合并得：2x=10,

解得：x=5.

【點(diǎn)評】此題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

8.化簡求值：[(2。+1)2—2。(/+。)_]]+(—2。)，其中儲—4—6=0.

【分析】先化簡，然后將。2一〃=6代入求值即可.

【解答】解：原式=(4/+44+1-24-2/_])+(_2〃)

=(2a2-2/+4。)+(-2。)

=-a+a2—2

;a?一。-6=(),

/.-a+a2=6,

原式=6—2=4.

【點(diǎn)評】本題考查了整式的化簡求值，熟練運(yùn)用整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

9.先化簡再求值:(4加-8。26)+4"+(2。-1)(6+3),其中|a+l|+(2b-4)2=0

【分析】首先去括號合并同類項(xiàng)，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得〃、〃的值，進(jìn)而可得答案.

【解答】解：原式=〃-2他+勿〃+6。-〃-3,

=b~+6a—b—3，

”a+l|+(2b-4)2=0,

:.a+\=O,勿一4=0,

解得：a=—\?b=2,

則原丁弋=4一6—2—3=—7.

【點(diǎn)評】此題主要考查了整式的化簡求值，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，關(guān)健是正確化簡整式.

10.計算：

(1)(6+3)(。-2)-4(/-2。-2)；

(2)解方程：(x-l)(x-2)=(x+3)(x-4)+20.

【分析】(1)原式第?項(xiàng)利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計算，第二項(xiàng)利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計

算，去括號合并得到最簡結(jié)果；

(2)方程兩邊去括號后，移項(xiàng)合并，將x系數(shù)化為1,即可求出解.

【解答】解：(1)原式=/-2c『+3a-+2〃+2a=5a-6；

(2)方程去括號得：X2-3X+2=X2-X-12+20,

移項(xiàng)合并得：-2.r=6,

解得：x=-3.

【點(diǎn)評】此題考查了整式的混合運(yùn)算，以及解?元?次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的

關(guān)鍵.

家長簽字：____________

第6講兩個乘法公式

目標(biāo)層級圖

公式的直

接運(yùn)用

課前檢測

1.若M(5x-)，2)=y4-25f,那么代數(shù)式M應(yīng)為()

A.-5x-y2B.-y2+5xC.5x+y2D.5x2-y2

2.已知將(V+nix+一3工+4)乘開的結(jié)果不含x?項(xiàng)，并且/的系數(shù)為2.則/〃+n

3.比較大小：一2(工尸(填“〉”或“<”)?

2

4.已知V+x=3,則代數(shù)式(x+4)(x—3)的值為.

5.(2a+b)2\(a-b)2+2a(a-b)+a2].

一.平方差公式

內(nèi)容講解

（一）平方差公式

1.平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘，等于這兩個數(shù)的平方差.

：(a+b)(a-b)==-

2.應(yīng)用平方差公式計算時，應(yīng)注意以下幾個問題：

（1）左邊是兩個二項(xiàng)式相乘，并且這兩個二項(xiàng)式中有一項(xiàng),另一

項(xiàng)：

（2）右邊是的平方減去的平方；

（3）公式中的。和匕可以是具體數(shù)，也可以是或;

（4）對形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的算式，都可以運(yùn)用這個公式計算，且

會比用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則簡便.

（二）平方差公式的證明

證明方式一：如圖，從邊長為4的正方形內(nèi)去掉一個邊長為〃的小正方形（如

圖甲），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖乙），上述操作所能驗(yàn)證的公式

是.

aab

b

圖甲圖乙

證明方式二：如圖，從邊長為。的正方形內(nèi)去掉一個邊長為〃的小正方形（如圖1）,

然后將剩余部分剪拼成?個矩形（如圖2）,請用上述操作所能驗(yàn)證的平方差公

式.

圖1圖2

1.利用平方差公式進(jìn)行計算

例1.計算：

(1)(a+b)(a-〃)=;(2)(。+b)(b-a)=；

(3)(-a-b)(-a+b)=；(4)(-a-b)(a-b)-

例2.(I)若a+Z?=5,a-b=3>則/一；

(2)已知2x+)，=2,2x-y=-4,M4x2-y2=.

例3.下列各題中，不能用平方差公式進(jìn)行計算的是()

A.(a+b)(ci-b)B.(2x+1)(2%-1)

C.(-a-b)(-a+b)D.(2a+3b)(3a-2b)

過關(guān)檢測

1.計算：(1)(3-x)(3+x)=；(2)(3x+2y)(3x-2y)=

22

(3)(一針7+〃乂-5〃?_〃)=.

2.(1)已知a+〃=4,a—b=3>則/-〃二；

(2)已知〃?+2〃=2,m—2n=2,貝卜/一齒「二.

3.下列算式中能用平方差公式計算的是()

A.(2x+y)(2y-x)B.(x-+(y-x)

C.(3a-b)(-3a+b)D.(T〃+〃)(一〃?一〃)

2.平方差公式的逆用

例1.(1)若〃產(chǎn)一〃2=15,〃[-〃=3,〃?+〃=：

(2)若/-4+。=一1,則。-力=.

2

例2.(I)如果(3〃?+〃+3)(36+〃-3)=40,貝1」3/〃+〃的值為；

(2)如果(3。+3。+1)(3。+3)—1)=899,則a+A=.

例3.利用乘法公式計算：

(1)982-22；(2)199.5x200.5;

(3)5402—543x537.

過關(guān)檢測

1.(1)若a+b=2,a2-h2=6,則白-〃=：

(2)若42一)，2=20,且x+)，=-2,則x-y的值是.

2.(1)如果(2a+2"l)(2a+2,.1)=63,那么。+力的值是

(2)如果(3/w+〃+3)(3〃?+〃-3)=4(),則3〃?+”的值為.

3.利用乘法公式進(jìn)行計算：

(1)2003x1997；(2)201()2—2009x2()11；(3)20122-2013x2011-1.

3.平方差公式的連用

例I.計算：(1)*+y)(x-y)(x2+y2)(/+/)；

例2.小明在做一道計算題目(2+1)(22+1)04+1X28+1)⑵6+1)的時候是這樣分析的:這個

算式里面每個括號內(nèi)都是兩數(shù)和的形式，跟最近學(xué)的兩天公式作對比，發(fā)現(xiàn)跟平方差公式很

類似，但是需要添加兩數(shù)的差，于是添了(2-1),并做了如下的計算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)

=(22-1)(22+1)(24+1)(2*+1)(216+1)

=232-1

請按照小明的方法,計算(3+1)(3?+1)(34+1)(38+1)(3帕+1)

過關(guān)檢測

1.計算：(1)(l-?)(a+l)(a2+l)(?4+l)；

(2)(a-：)(4+：)(/-+《)(/+：〃+：)

2.（1）若工-），=1,化簡：（X+），），+），2）（f+）,4），+）,8）（*+.6）；

(2)計算(2+1)(2?+1)(24+1)(28+1)(28+1).

4.平方差公式的證明

例1.在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為。的小正方形（〃>〃）（如圖甲），把余下的部

分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（）

A.(a+b)2=a2+2ab4-b2B.(a-b)2=a2-lab+b2

C.a2-lr=(a+b)(a-b)D.(。+2b)(a-b)=a2+ab-2b

例2.從邊長為。的正方形內(nèi)去掉一個邊長為。的小正方形（如圖1）,然后將剩余部分剪拼

成一個矩形（如圖2）,上述操作所能驗(yàn)證的等式是（）

圖2

A.(a-b)2=a2-2ab^-b2B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.(a+b)2=a1+2ab-lrD.a2-ab=a(a+h)

過關(guān)檢測

1.如圖，在邊長為a的正方形中，剪去一個邊長為〃的小正方形m＞。），將余下部分拼成

一個梯形，根據(jù)兩個圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以得到一個關(guān)于〃、〃的恒等式為（）

A.(a-b)1=a2-2