5.3.1.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（知識梳理+例題+變式+練習(xí)）（解析版）

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(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上單調(diào)遞減．【變式訓(xùn)練】本例中的條件“a>0”改為“a∈R”，結(jié)果如何？【解析】a>0時，討論同上；當(dāng)a≤0時，ax－1<0，∴x∈(0,1)時，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)時，f′(x)<0，∴函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)f(x)在(0,1)和(eq\f(1,a)，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,a)))上單調(diào)遞減；當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))和(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，1))上單調(diào)遞減．【方法歸納】在討論含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性時，若f′(x)中的參數(shù)不容易判斷其正負(fù)時，需要對參數(shù)進行分類，分類的標(biāo)準(zhǔn)：(1)按導(dǎo)函數(shù)是否有零點分大類；(2)在大類中再按導(dǎo)數(shù)零點的大小分小類；(3)在小類中再按零點是否在定義域中分類．【跟蹤訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝ex(ex－a)－a2x，討論f(x)的單調(diào)性．【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex(ex－a)＋ex·ex－a2＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a)．①若a＝0，則f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．②若a>0，則由f′(x)＝0得x＝lna.當(dāng)x∈(－∞，lna)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．③若a<0，則由f′(x)＝0得x＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2))).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))))時，f′(x)<0；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))，＋∞))時，f′(x)>0.故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))，＋∞))上單調(diào)遞增．【易錯辨析】討論函數(shù)單調(diào)性時忽略定義域致錯【例4】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x,lnx)，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性．【解析】函數(shù)f(x)的定義域為(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝eq\f(lnx－1,lnx2).由f′(x)＝0，可得x＝e.則當(dāng)0<x<1或1<x<e時，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>e時，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)．一、單選題1．已知是定義在上的函數(shù)，那么“在上單調(diào)遞減”是“存在，使得”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可判斷充分條件成立，通過舉反例可以證明必要條件不成立，由此即可得到結(jié)果.【解析】因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，故存在，使得成立；反之，若，則，存在，使得，而在上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)；所以是定義在上的函數(shù)，那么“在上單調(diào)遞減”是“存在，使得”的充分不必要條件.故選：A.2．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，容易判斷在上恒成立，進而分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題，最后求出答案.【解析】由題意，在上恒成立，則在上恒成立，因為，所以.故選：B.3．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對任意的有，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，可得在上單調(diào)遞增，進而求解不等式即可.【解析】由題意，，構(gòu)造函數(shù)，則，得在上單調(diào)遞增，由，得，即，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，解得.所以的取值范圍是故選：B4．函數(shù)的圖象大致為（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性后可得正確的選項.【解析】的定義域為，而，故為偶函數(shù)，故排除AC，當(dāng)時，，則，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，而，故在上存在一個零點，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故選：D.5．函數(shù)，若滿足恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，且，∴函數(shù)為單調(diào)遞增的奇函數(shù)．于是，可以變?yōu)?，即，∴，而，可知實?shù)，故實數(shù)的取值范圍為．故選：C.6．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，對任意的實數(shù)x，都有，且當(dāng)時，恒成立，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，令，根據(jù)奇偶性的定義，可得為偶函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得的單調(diào)性，將題干條件化簡可得，即，根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，計算求解，即可得答案.【解析】由，得，記，則有，即為偶函數(shù)，又當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以由，得，即，所以，即，解得，故選：D.7．下列函數(shù)中，既滿足圖象關(guān)于原點對稱，又在上單調(diào)遞增的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和導(dǎo)函數(shù)，逐項分析各函數(shù)即可得出答案.【解析】選項A中，在上不恒非負(fù)，選項A錯誤；選項B中，，所以的圖像不關(guān)于原點對稱，選項B錯誤；選項C中，，即為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱又，時，恒成立所以在上單調(diào)遞增，選項C正確；選項D中，當(dāng)時，在上為單調(diào)增函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，選項D錯誤.故選：C.8．已知函數(shù)若存在三個不相等的實數(shù)，，，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后判斷其在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而做出圖像分析交點情況可得出答案.【解析】解：當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；故當(dāng)時，函數(shù)取得最大值1，由此可作出的圖像.存在三個不相等的實數(shù)，，，使得等價于一條垂直于軸的直線，與的圖像有三個不同的交點.當(dāng)時，如圖，最多有兩個交點，不符合題意；當(dāng)時，如圖，存在三個交點，符合題意；當(dāng)時，如圖，最多有兩個交點，不符合題意.所以的取值范圍.故選：B二、多選題9．若，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】對選項A，利用作差法比較即可判斷A錯誤，對選項B，首先構(gòu)造，再根據(jù)的單調(diào)性即可判斷B正確，對選項C，根據(jù)，，即可判斷C正確，對選項D，利用特殊值即可判斷D錯誤.【解析】因為，所以，即.對選項A，，因為，所以，即，故A錯誤.對選項B，設(shè)，，因為時，，所以為增函數(shù)，因為，所以，即，故B正確.對選項C，因為，所以，又因為，所以，故C正確.對選項D，因為，當(dāng)，時，，故D錯誤.故選：BC10．如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且在區(qū)間是減函數(shù)，那么稱函數(shù)是區(qū)間上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間叫做“緩增區(qū)間”.則下列函數(shù)是區(qū)間上的“緩增函數(shù)”的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)題意依次判斷選項中函數(shù)和在區(qū)間上的單調(diào)性即可得到答案.【解析】對選項A，在單調(diào)遞增，設(shè)，，，，為增函數(shù)，故A錯誤；對選項B，在單調(diào)遞增，設(shè)，，，，為增函數(shù)，故B錯誤；對選項C，在單調(diào)遞增，設(shè)，，，，為減函數(shù)，故C正確；對選項D，在單調(diào)遞增，設(shè)，，，，為減函數(shù)，故D正確.故選：CD11．已知函數(shù)，則下列有關(guān)的敘述正確的是（）A．在處的切線方程為 B．在上是單調(diào)遞減函數(shù)C．是極大值點 D．在上的最小值為0【答案】ACD【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可判斷B；利用極大值點的定義可判斷C；利用極值以端點值可判斷D.【解析】，，A，，，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，A正確；B，，當(dāng)時，則，，，所以函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，B錯誤；C，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；所以是極大值點，C正確；D，由B、C可知，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；，.所以函數(shù)在上的最小值為0，D正確.故選：ACD第II卷（非選擇題