5.3.2.2函數(shù)的最大（?。┲担ㄖR梳理+例題+變式+練習(xí)）（解析版）

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育5.3.2.2函數(shù)的最大（?。┲狄c(diǎn)一函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上取得最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不讀的曲線，那么它必有最大值與最小值，并且函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．【筆記小結(jié)】(1)函數(shù)的最值是一個(gè)整體性的概念．函數(shù)極值是在局部區(qū)間上對函數(shù)值的比較，具有相對性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個(gè)定義域上的情況，是對整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較．(2)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值只能各有一個(gè)，具有唯一性，而極大值和極小值可能多于一個(gè)，也可能沒有，例如：常數(shù)函數(shù)就既沒有極大值也沒有極小值．(3)極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)處取得；有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處取必定是極值．要點(diǎn)二求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：(1)求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．【筆記小結(jié)】(1)求函數(shù)的最值，顯然求極值是關(guān)鍵的一環(huán)．但僅僅是求最值，可用下面簡化的方法求得．①求出導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)．②比較這些點(diǎn)與端點(diǎn)處函數(shù)值的大小，就可求出函數(shù)的最大值和最小值．(2)若函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)單調(diào)，則最大、最小值在端點(diǎn)處取得．(3)若連續(xù)函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值必然是最值．例如在(－∞，＋∞)上函數(shù)只有一個(gè)極值，那么這個(gè)極值也就是最值．【基礎(chǔ)自測】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，一定在區(qū)間端點(diǎn)處取得．()(2)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值．()(3)在定義域內(nèi)，若函數(shù)有最值與極值，則極大(小)值就是最大(小)值．()(4)若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值，則最大(小)值最多有一個(gè)；若有極值，則可有多個(gè)．()【答案】（1）×（2）√（3）×（4）√2．函數(shù)f(x)＝4x－x4在x∈[－1,2]上的最大值、最小值分別是()A．f(1)與f(－1)B．f(1)與f(2)C．f(－1)與f(2)D．f(2)與f(－1)【答案】B【解析】f′(x)＝4－4x3，f′(x)>0，即4－4x3>0?x<1，f′(x)<0?x>1.∴f(x)＝4x－x4在x＝1時(shí)取得極大值，且f(1)＝3，而f(－1)＝－5，f(2)＝－8，∴f(x)＝4x－x4在[－1,2]上的最大值為f(1)，最小值為f(2)，故選B.3．函數(shù)f(x)＝2x－cosx在(－∞，＋∞)上()A．無最值B．有極值C．有最大值D．有最小值【答案】A【解析】f′(x)＝2＋sinx>0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值，也無最值．4．已知函數(shù)f(x)＝sinx－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值為－1，則實(shí)數(shù)a的值是________.【答案】1【解析】f′(x)＝cosx－2<0∴函數(shù)f(x)在[0，π]上單調(diào)遞減∴f(x)max＝f(0)＝－a＝－1故a＝1.題型一求函數(shù)的最值【例1】求下列函數(shù)的最值．(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1,3]；(2)f(x)＝eq\f(1,2)x＋sinx，x∈[0,2π]．【解析】(1)f(x)＝2x3－12x，∴f′(x)＝6x2－12＝6(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))，令f′(x)＝0解得x＝－eq\r(2)或x＝eq\r(2).當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－eq\r(2))－eq\r(2)(－eq\r(2)，eq\r(2))eq\r(2)(eq\r(2)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值因?yàn)閒(－1)＝10，f(3)＝18，f(eq\r(2))＝－8eq\r(2)，所以當(dāng)x＝eq\r(2)時(shí)，f(x)取得最小值－8eq\r(2)；當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取得最大值18.(2)f′(x)＝eq\f(1,2)＋cosx，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝eq\f(2,3)π或x＝eq\f(4,3)π.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表所示：x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)π))eq\f(2,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，\f(4,3)π))eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π，2π))2πf′(x)＋0－0＋f(x)0極大值eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),2)極小值eq\f(2,3)π－eq\f(\r(3),2)π∴當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有最小值f(0)＝0；當(dāng)x＝2π時(shí)，f(x)有最大值f(2π)＝π.【方法歸納】導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值(1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)內(nèi)使導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，同時(shí)還要找出導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．(2)比較三類點(diǎn)處的函數(shù)值：導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值．【跟蹤訓(xùn)練1】(1)函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋6在區(qū)間[－4,4]上的最大值為()A．11B．－70C．－14D．－21【答案】(1)A【解析】(1)函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋6的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3，由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；f(3)＝－21；f(4)＝－14；所以函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋6在區(qū)間[－4,4]上的最大值為11.(2)函數(shù)y＝xlnx的最小值為()A．－e－1B．－eC．e2D．－eq\f(10,3)【答案】(2)A【解析】(2)因?yàn)閥＝xlnx，定義域是(0，＋∞)，所以y′＝1＋lnx，令y′>0，解得：x>eq\f(1,e)，令y′<0，解得：0<x<eq\f(1,e)，所以函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))上遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))上遞增，故x＝eq\f(1,e)時(shí)，函數(shù)取最小值是－eq\f(1,e).題型二含參數(shù)的最值問題【例2】已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2－a2x.求函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上的最小值．【解析】f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，令f′(x)＝0，得x1＝－eq\f(a,3)，x2＝a.①當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在[0，a)上單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3.②當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(0)＝0.③當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,3)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，＋∞))上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)))＝eq\f(5,27)a3.綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)min＝－a3；當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)min＝0；當(dāng)a<0時(shí)，f(x)min＝eq\f(5,27)a3.【變式探究1】本例中再加“a>0”這一條件，求函數(shù)f(x)在[－a,2a]上的最值．【解析】f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，令f′(x)＝0，得x1＝－eq\f(a,3)<x2＝a.所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－a，－\f(a,3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，a))上單調(diào)遞減，在[a,2a]上單調(diào)遞增．所以f(－a)＝－a3，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)))＝eq\f(5,27)a3，f(a)＝－a3，f(2a)＝2a3，所以f(x)max＝f(2a)＝2a3，f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.【方法歸納】(1)含參數(shù)的函數(shù)最值問題的兩類情況①能根據(jù)條件確定出參數(shù)，從而化為不含參數(shù)函數(shù)的最值問題．②對于不能求出參數(shù)值的問題，則要對參數(shù)進(jìn)行討論，其實(shí)質(zhì)是討論導(dǎo)函數(shù)大于0，等于0，小于0三種情況．若導(dǎo)函數(shù)恒不等于0，則函數(shù)在已知區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，最值在端點(diǎn)處取得；若導(dǎo)函數(shù)可能等于0，則求出極值點(diǎn)后求極值，再與端點(diǎn)值比較后確定最值．(2)已知函數(shù)最值求參數(shù)值(范圍)的思路已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，用參數(shù)表示出最值后求參數(shù)的值或范圍．【跟蹤訓(xùn)練2】已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值．(2)當(dāng)b＝0時(shí)，若函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為0，求a的值．【解析】(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，有g(shù)(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b.所以g′(x)＝ex－2a.因此，當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．當(dāng)a≤eq\f(1,2)時(shí)，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；當(dāng)a≥eq\f(e,2)時(shí)，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；當(dāng)eq\f(1,2)<a<eq\f(e,2)時(shí)，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0,1)，所以函數(shù)g(x)在區(qū)間[0，ln(2a)]上單調(diào)遞減，在區(qū)間(ln(2a)，1]上單調(diào)遞增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.綜上所述，當(dāng)a≤eq\f(1,2)時(shí)，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；當(dāng)eq\f(1,2)<a<eq\f(e,2)時(shí)，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；當(dāng)a≥eq\f(e,2)時(shí)，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)當(dāng)b＝0時(shí)，由(1)知，若a≤eq\f(1,2)，則g(x)min＝g(0)＝1，不符合題意，若eq\f(1,2)<a<eq\f(e,2)，則g(x)min＝2a－2aln(2a)，令2a－2aln(2a)＝0，解得a＝eq\f(e,2)(舍去)．若a≥eq\f(e,2)，則g(x)min＝e－2a＝0得a＝eq\f(e,2).綜上所述a＝eq\f(e,2).題型三函數(shù)的最值與不等式問題【例3】已知函數(shù)f(x)＝(x－1)3＋m.(1)若f(1)＝1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥x3－1在區(qū)間[1,2]上恒成立，求m的取值范圍．【解析】(1)因?yàn)閒(1)＝1，所以m＝1，則f(x)＝(x－1)3＋1＝x3－3x2＋3x，而f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞)．(2)不等式f(x)≥x3－1在區(qū)間[1,2]上恒成立，即不等式3x2－3x－m≤0在區(qū)間[1,2]上恒成立，即不等式m≥3x2－3x在區(qū)間[1,2]上恒成立，即m不小于3x2－3x在區(qū)間[1,2]上的最大值．因?yàn)閤∈[1,2]時(shí)，3x2－3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(3,4)∈[0,6]，所以m的取值范圍是[6，＋∞)．【變式探究2】本例(2)中的條件“關(guān)于x的不等式f(x)≥x3－1在區(qū)間[1,2]上恒成立”改為“關(guān)于x的不等式f(x)≥x3－1在區(qū)間[1,2]上有解”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍又如何？【解析】不等式f(x)≥x3－1在區(qū)間[1,2]上有解，即不等式3x2－3x－m≤0在區(qū)間[1,2]上有解，即不等式m≥3x2－3x在區(qū)間[1,2]上有解，即m不小于3x2－3x在區(qū)間[1,2]上的最小值．因?yàn)閤∈[1,2]時(shí)，3x2－3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2－eq\f(3,4)∈[0,6]，所以m的取值范圍是[0，＋∞)．【方法歸納】有關(guān)恒成立問題，一般是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．求解時(shí)要確定這個(gè)函數(shù)，看哪一個(gè)變量的范圍已知，即函數(shù)是以已知范圍的變量為自變量的函數(shù)．一般地，λ≥f(x)恒成立?λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立?λ≤[f(x)]min.【跟蹤訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1處取得極值－3－c，其中a，b，c為常數(shù)．若對任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求c的取值范圍．【解析】由題意知f(1)＝－3－c因此b－c＝－3－c，從而b＝－3.對f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝4ax3lnx＋ax4·eq\f(1,x)＋4bx3＝x3(4alnx＋a＋4b)．由題意，知f′(1)＝0，得a＋4b＝0，解得a＝12，從而f′(x)＝48x3lnx(x>0)．令f′(x)＝0，解得x＝1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，此時(shí)f(x)為減函數(shù)；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，此時(shí)f(x)為增函數(shù)．所以f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝－3－c，并且此極小值也是最小值．所以要使f(x)≥－2c2(x>0)恒成立，只需－3－c≥－2c2即可．整理得2c2－c－3≥0，解得c≥eq\f(3,2)或c≤－1.所以c的取值范圍為(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).易錯(cuò)辨析混淆極值與最值致錯(cuò)【例4】已知函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋bx＋5，在x＝－2和x＝eq\f(2,3)處取得極值．(1)求函數(shù)f(x)的解析式．(2)求函數(shù)f(x)在[－4,1]上的最值．【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝x3－ax2＋bx＋5，所以f′(x)＝3x2－2ax＋b，因?yàn)樵趚＝－2和x＝eq\f(2,3)處取得極值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′－2＝0，,f′\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－4.))所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5.(2)因?yàn)閒′(x)＝3x2＋4x－4，所以由f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝eq\f(2,3)，所以f(x)在[－4，－2)上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))上單調(diào)遞增．因?yàn)閒(－4)＝－11，f(－2)＝13，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(95,27)，f(1)＝4.所以f(x)max＝f(－2)＝13，f(x)min＝f(－4)＝－11.一、單選題1．已知，，（）是函數(shù)（且）的3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】顯然，即，設(shè)，則，所以，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【解析】解：顯然，即，設(shè)，則所以，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以在上單調(diào)遞增，所以，故選：A.2．已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）①的圖象關(guān)于中心對稱；②的圖象關(guān)于對稱；③的最大值為；④既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】將原函數(shù)化為，然后結(jié)合的性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：，令，則，，對于①：，故的圖象關(guān)于對稱，故①正確；對于②：，故的圖象關(guān)于對稱，故②正確；對于③：令，得，因?yàn)?，，，最大值為，故③錯(cuò)誤；對于④：，故是奇函數(shù)，，故，故④正確．故選：C．3．函數(shù)的最大值為（）A．32 B．27 C．16 D．40【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增,，因此，的最大值為.故選：A4．的最大值與最小值之差為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖像的對稱性，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性和最值.【解析】，設(shè)，則則為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，其最大值與最小值是互為相反數(shù)，即的最大值與最小值之差為，當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，所以的最大值與最小值之差為故選：B5．已知經(jīng)過圓錐的頂點(diǎn)與底面圓心的截面是邊長為的正三角形，一個(gè)圓柱的下底面在該圓錐的底面上，上底面圓周在該圓錐的側(cè)面上，則該圓柱的體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，利用相似比得出，再由圓柱的體積公式即可求解.【解析】由題意設(shè)圓柱的底面半徑為（），高為，所以，解得，所以圓柱的體積，，令，解得，，解得，，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；所以.故選：C6．已知直線分別與函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)、，現(xiàn)給出下述結(jié)論：①；②；③；④，則其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)和的圖象關(guān)于對稱，直線與垂直，可得，、，，關(guān)于對稱，即可判斷①；利用基本不等式即可判斷②，構(gòu)造，判斷其單調(diào)性，即可判斷③，由，判斷其單調(diào)性，即可判斷④．【解析】由題意直線與垂直，函數(shù)和的圖象關(guān)于對稱，，、，，關(guān)于對稱，則；①正確；對于②：由，因?yàn)?，則；②正確；對于③：構(gòu)造函數(shù)；則，當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減；，，，③正確；對于④：，，令函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，可得，函數(shù)在單調(diào)遞增；，不對，即④不對．故選：B7．下列函數(shù)中，的最小值是2的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】對于A：取特殊值，代入后否定結(jié)論；對于B：取特殊值，代入后否定結(jié)論；對于C：利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最小值；對于D：根據(jù)基本不等式利用的條件“一正二定三相等”進(jìn)行判斷.【解析】對于A：的定義域?yàn)?取特殊值，代入得y=-2<2.故A錯(cuò)誤；對于B：的定義域?yàn)?取特殊值，代入得y=e-1<2.故B錯(cuò)；對于C：的定義域?yàn)镽..令，解得；令，解得；所以在上單減，在上單增，所以當(dāng)時(shí)，y取得最小值2.故C正確；對于D：.令，則.所以，當(dāng)，記時(shí)取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D錯(cuò)誤.故選：C8．已知函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．B．函數(shù)的最大值為C．若方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．若，則【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可判斷A、B的正誤；由在、上的值域，即可知恰有兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)的取值范圍；若，構(gòu)造及并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而確定在上的符號判斷的符號，再結(jié)合的單調(diào)性即可證.【解析】由題意，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；A：，正確；B：的極大值，也是最大值為，正確；C：∵時(shí)，即上；時(shí)，即上；∴要使恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，錯(cuò)誤；D：由知：若，令，，，∴設(shè)，，則，∴在上單調(diào)遞增，即，故在上恒成立，∴，即，又，，由在上遞減，即，故，正確.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較函數(shù)值的大小及最大值，再由的區(qū)間值域，確定恰有兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)的范圍；利用極值點(diǎn)偏移問題的解法證明即可.二、多選題9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．的周期為 B．的圖象關(guān)于對稱C．的最大值為 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷A，由對稱性判斷B，求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性、最值判斷CD．【解析】，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，A正確；，，B錯(cuò)誤；，則，考慮一個(gè)周期長度的區(qū)間范圍內(nèi)，得，，，－0－0＋0－減減極小值增極大值減，又，，所以，C正確，由表格知D正確．故選：ACD．10．聲音是物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)，純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音，若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是的一個(gè)周期 B．在上是增函數(shù)C．的最大值為 D．在上有個(gè)極值點(diǎn)【答案】CD【分析】分別計(jì)算和的最小正周期，再由其最小公倍數(shù)即可得到的最小正周期為，即可判斷A選項(xiàng)；設(shè)，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，即可判斷BCD選項(xiàng).【解析】解：因?yàn)椋?，的最小正周期是，的最小正周期是，所以的最小正周期是，故A不正確；由題可知，取一周期，不放設(shè)，由，令得，，，當(dāng)，，為增函數(shù)，當(dāng)，，為減函數(shù)，當(dāng)，，為增函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，在上為單調(diào)遞減，故B不正確；由于，，所以的最大值為，所以C正確；由上可得在上，在和處取得極值點(diǎn)，即在上有個(gè)極值點(diǎn)，故D正確.故選：CD.11．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．B．函數(shù)的最大值為1C．若方程恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D．若，則【答案】ABD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可判斷A、B的正誤；由在、上的值域，即可知恰有兩個(gè)不等的實(shí)根時(shí)的取值范圍；取，要證，即證，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而確定在上的符號，即可證.【解析】由題意，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，A：，正確；B：的極大值，也是最大值為，正確；C：∵時(shí)，即上；時(shí)，即上；∴要使恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，則，錯(cuò)誤；D：不妨設(shè)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，若，則，要證，即證，，只需證明，即證明令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以，所以，即，故，正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）請點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．已知函數(shù)，則的最小值是______．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最小值.【解析】由題意，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以時(shí)取得最小值，此時(shí)．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值是．13．已知對任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】【分析】將不等式化成，再兩邊取對數(shù)，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可得解.【解析】，，而，于是得：，，令，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)時(shí)，，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：14．已知，（為常數(shù)），的最大值為，則_______．【答案】2【分析】令，得到，然后對取對數(shù)，構(gòu)建新的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)得到，進(jìn)一步得到，最后得到結(jié)果.【解析】令，所以，其中，令，且，所以可知：，；，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，由，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增所以由，即，所以故答案為：2【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于使用換元，并構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解.四、解答題15．已知斜率為k的直線l與拋物線y2=4x交于A?B兩點(diǎn)，y軸上的點(diǎn)P使得△ABP是等邊三角形.（1）若k>0，證明：點(diǎn)P在y軸正半軸上；（2）當(dāng)取到最大值時(shí)，求實(shí)數(shù)k的