6.2+排列與組合+講義-【新教材】2020-2021學(xué)年人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育試卷第=page11頁，總=sectionpages33頁倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育第六章計數(shù)原理第六章計數(shù)原理6.26.2排列與組合知識解讀 知識解讀知識點(diǎn)一排列排列的定義一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示排列數(shù)公式的兩種形式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n.(2)Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！).全排列：把n個不同的元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，全排列數(shù)為Aeq\o\al(n,n)＝n！(叫做n的階乘)．規(guī)定：0?。?.排列相同的條件兩個排列相同的充要條件：(1)兩個排列的元素完全相同．(2)元素的排列順序也相同．知識點(diǎn)二組合組合定義一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．組合數(shù)公式組合數(shù)公式乘積形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，其中m，n∈N*，并且m≤n階乘形式Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！n－m！)規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.組合數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).性質(zhì)2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).知識點(diǎn)三排列與組合的關(guān)系相同點(diǎn)兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素不同點(diǎn)排列問題中元素有序，組合問題中元素?zé)o序關(guān)系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)間存在的關(guān)系A(chǔ)eq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)知識歸納知識歸納排列數(shù)與組合數(shù)定義計算公式性質(zhì)聯(lián)系排列數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)．用符號“Aeq\o\al(m,n)”表示Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)(1)Aeq\o\al(n,n)＝n??；(2)0?。?Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),m！)組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)．用符號“Ceq\o\al(m,n)”表示Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)(1)Ceq\o\al(n,n)＝Ceq\o\al(0,n)＝1；(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；(3)Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)題型探究題型探究例1．10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求各有多少種情況出現(xiàn)下列結(jié)果：（1）4只鞋子沒有成雙的；（2）4只鞋子恰有兩雙；（3）4只鞋子有2只成雙，另2只不成雙．【答案】（1）3360(種)；（2）45(種)；（3）1440(種)．【詳解】解：（1）從10雙鞋子中選取4雙，有種不同選法，每雙鞋子中各取一只，分別有2種取法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，選取種數(shù)為N＝×24＝3360(種)．（2）從10雙鞋子中選2雙有種取法，即有45種不同取法．（3）先選取一雙有種選法，再從9雙鞋中選取2雙有種選法，每雙鞋只取一只各有2種取法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同取法為N＝×22＝1440(種)．例2．平面內(nèi)有A，B，C，D四個不同的點(diǎn)，其中任意3個點(diǎn)不共線.（1）試寫出以其中任意兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段.（2）試寫出以其中任意兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.（3）試寫出以其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形.【答案】（1）AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC；（2）AB，AC，AD，BC，BD，CD；（3）ABC，ABD，BCD.【詳解】解：（1）以其中任意兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段為一個排列，共有有向線段：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC；（2）以其中任意兩個點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為一個組合問題，共有線段：AB，AC，AD，BC，BD，CD；（3）以其中任意三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個組合問題，共有ABC，ABD，BCD.例3．對任意，定義+，其中為正整數(shù).（1）求的值；（2）探究是否為定值，并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1),;(2)是定值，答案見解析;(3)答案見解析.【詳解】解：(1)由題意知，，，所以，(2)是定值，證明:由題意知，，，則，所以.(3)假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列，則，當(dāng)時，，即，即，因?yàn)?，所以，，整理得，，其中為正整?shù)，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又，即不成立，即假設(shè)不成立，所以不存在存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列.例4．有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).（1）選5人排成一排；（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人；（3）全體排成一排，女生必須站在一起；（4）全體排成一排，男生互不相鄰；（5）(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；（6）(一題多解)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊.【答案】（1）2520；（2）5040；（3）576；（4）1440；（5）3600;（6）3720【詳解】（1）從7人中選5人排列，有＝7×6×5×4×3＝2520(種).（2）分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有種方法，共有＝5040(種).（3）將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有種方法，再將女生全排列，有種方法，共有＝576(種).（4）先排女生，有種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有種方法，共有＝1440(種).（5）法一(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有種排列方法，共有5×＝3600(種).法二(特殊位置優(yōu)先法)左右兩邊位置可安排另6人中的兩人，有種排法，其他有種排法，共有＝3600(種).（6）法一：甲在最右邊時，其他的可全排，有種方法；甲不在最右邊時，可從余下的5個位置任選一個，有A種，而乙可排在除去最右邊的位置后剩下的5個中任選一個有種，其余人全排列，只有種不同排法，共有＋＝3720.法二：7名學(xué)生全排列，只有種方法，其中甲在最左邊時，有種方法，乙在最右邊時，有種方法，其中都包含了甲在最左邊且乙在最右邊的情形，有種方法，故共有－2＋＝3720(種).例5．現(xiàn)有編號為，，，，，，的7個不同的小球．（1）若將這些小球排成一排，且要求，，三個球相鄰，則有多少種不同的排法？（2）若將這些小球排成一排，要求球排在中間，且，，各不相鄰，則有多少種不同的排法？（3）若將這些小球排成一排，要求，，，四個球按從左到右排（可以相鄰也可以不相鄰），則有多少種不同的排法？（4）若將這些小球放入甲，乙，丙三個不同的盒子，每個盒子至少一個球，至多3個球，則有多少種不同的放法？【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【詳解】（1）把，，三個球看成一個整體，則不同的排法總數(shù)為種.（2）在正中間，所以的排法只有1種，因?yàn)?，，互不相鄰，故，，三個球不可能在同在的左側(cè)或右側(cè)，若，，有1個在的左側(cè)，2個在的右側(cè)，則不同的排法有，同理可得若，，有2個在的左側(cè)，2個在的右側(cè)，不同的排法有，故所求的不同排法總數(shù)為種.（3）從7個位置中選出4個位置給，，，，且，，，四個球按從左到右排，共有排法種，再排余下元素，共有種，故不同排法總數(shù)為種.（4）三個盒子所放的球數(shù)分別為或，若三個盒子所放的球數(shù)分別為，則不同排法共有，若三個盒子所放的球數(shù)分別為，則不同排法共有，故不同的排法總數(shù)為.課后小練課后小練1．某車間甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人．現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核．（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；（Ⅱ）求從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．2．現(xiàn)有大小相同的只球，其中只不同的紅球，只不同的白球，只不同的黑球．（1）將這只球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，有多少種排列的方法?（請用數(shù)字作答）（2）將這只球分成三堆，三堆的球數(shù)分別為：，共有多少種分堆的方法?（請用數(shù)字作答）（3）現(xiàn)取只球，求各種顏色的球都必須取到的概率．（請用數(shù)字作答）3．（1）3個人坐在有八個座位的一排椅子上，若每個人的左右兩邊都要有空位，則不同坐法的種數(shù)為多少？（2）某高?，F(xiàn)有10個保送上大學(xué)的名額分配給7所高中學(xué)校，若每所高中學(xué)校至少有1個名額，則名額分配的方法共有多少種？4．將個編號為、、、的不同小球全部放入個編號為、、、的個不同盒子中.求：（1）每個盒至少一個球，有多少種不同的放法？（2）恰好有一個空盒，有多少種不同的放法？（3）每盒放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種不同的放法？（4）把已知中個不同的小球換成四個完全相同的小球（無編號），其余條件不變，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？5．現(xiàn)有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十個數(shù)字.（1）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？（2）組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，315是從小到大排列的第幾個數(shù)？（3）可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？（4）選出一個偶數(shù)和三個奇數(shù)，組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)共有多少個？（5）如果一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字從左到右按由大到小的順序排列，則稱此正整數(shù)為“漸減數(shù)”，那么由這十個數(shù)字組成的所有“漸減數(shù)”共有多少個？6．在中學(xué)生綜合素質(zhì)評價某個維度的測評中，分優(yōu)秀、合格、尚待改進(jìn)三個等級進(jìn)行學(xué)生互評.某校高一年級有男生500人，女生400人，為了了解性別對該維度測評結(jié)果的影響，采用分層抽樣方法從高一年級抽取了45名學(xué)生的測評結(jié)果，并作出頻數(shù)統(tǒng)計表如下：表一：男生男生等級優(yōu)秀合格尚待改進(jìn)頻數(shù)155表二：女生女生等級優(yōu)秀合格尚待改進(jìn)頻數(shù)153（1）求,的值；（2）從表一、二中所有尚待改進(jìn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行交談，記其中抽取的女生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）由表中統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“測評結(jié)果優(yōu)秀與性別有關(guān)”.男生女生總計優(yōu)秀非優(yōu)秀總計45參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.010.050.012.7063.8416.635倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費(fèi)領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育參考答案1．（Ⅰ）2，1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)檐囬g甲組有10名工人，乙組有5名工人，所以甲、乙兩組的比例是，又因?yàn)閺募?、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技術(shù)考核，所以從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)是2，1；（Ⅱ）因?yàn)檐囬g甲組有10名工人，其中有4名女工人，所以從甲組抽取的工人中恰好1名女工人的概率；（Ⅲ）因?yàn)檐囬g甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，所以求抽取的3名工人中恰有2名男工人的概率．2．（1）種；（2）種；（3）.【詳解】解：（1）只球排成一列且相同顏色的球必須排在一起，共有種方法；（2）將這只球分成三堆，三堆的球數(shù)分別為：，共有種分法；（3）當(dāng)取出個紅球，個的白球，個的黑球時，；當(dāng)取出個紅球，個白球，個黑球時，；當(dāng)取出個紅球，個白球，個黑球時，；.故各種顏色的球都必須取到的概率為．3．（1）24；（2）84【詳解】解：（1）由題意知有5個座位都是空的，我們把3個人看成是坐在座位上的人，往5個空座的空檔插，由于這5個空座位之間共有4個空，3個人去插，共有（種．（2）根據(jù)題意，將10個名額，分配給7所學(xué)校，每校至少有1個名額，可以轉(zhuǎn)化為10個元素之間有9個間隔，要求分成7份，每份不空；相當(dāng)于用6塊檔板插在9個間隔中，共有種不同方法．所以名額分配的方法共有84種．4．（1）（種）；（2）（種）；（3）（種）；（4）（種）.【詳解】（1）根據(jù)題意知，每個盒子里有且只有一個小球，所求放法種數(shù)為（種）；（2）先將個小球分為組，各組的球數(shù)分別為、、，然后分配給個盒子中的個盒子，由分步乘法計數(shù)原理可知，所求的放法種數(shù)為（種）；（3）考查編號為的盒子中放入編號為的小球，則其它個球均未放入相應(yīng)編號的盒子，那么編號為、、的盒子中放入的小球編號可以依次為、、或、、，因此，所求放法種數(shù)為（種）