《型曲線(xiàn)積分北工大》課件

型曲線(xiàn)積分北工大PPT課件型曲線(xiàn)積分定義第一型曲線(xiàn)積分設(shè)函數(shù)f(x,y)在曲線(xiàn)L上有定義，L的弧長(zhǎng)為s，在L上取分點(diǎn)，并作相應(yīng)的弧長(zhǎng)差，則第二型曲線(xiàn)積分設(shè)向量函數(shù)F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在曲線(xiàn)L上有定義，L的方向向量為t，則型曲線(xiàn)積分的性質(zhì)線(xiàn)性性質(zhì)型曲線(xiàn)積分滿(mǎn)足線(xiàn)性性質(zhì)，即對(duì)于任意常數(shù)a和b，以及任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)f和g，有可加性型曲線(xiàn)積分滿(mǎn)足可加性，即對(duì)于任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)f和g，以及任意兩段光滑曲線(xiàn)C1和C2，有方向依賴(lài)性型曲線(xiàn)積分的方向依賴(lài)性是指，若將積分路徑的方向反向，則型曲線(xiàn)積分的值會(huì)變?yōu)橄喾磾?shù)。第一型曲線(xiàn)積分的計(jì)算公式參數(shù)方程若曲線(xiàn)L的參數(shù)方程為x=x(t),y=y(t)(a≤t≤b),則有：計(jì)算公式∫Lf(x,y)ds=∫abf(x(t),y(t))√[x'(t)]2+[y'(t)]2dt第一型曲線(xiàn)積分的應(yīng)用弧長(zhǎng)計(jì)算第一型曲線(xiàn)積分可用于計(jì)算曲線(xiàn)弧長(zhǎng)。面積計(jì)算可用于計(jì)算平面圖形的面積。質(zhì)量計(jì)算可用于計(jì)算曲線(xiàn)或曲面的質(zhì)量。格林公式1聯(lián)系將第一型曲線(xiàn)積分與第二型曲線(xiàn)積分聯(lián)系起來(lái)。2簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化曲線(xiàn)積分計(jì)算，將曲線(xiàn)積分轉(zhuǎn)化為二重積分。3應(yīng)用在物理、工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。第二型曲線(xiàn)積分的定義定義設(shè)L是分段光滑曲線(xiàn)，函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)在L上連續(xù).積分則稱(chēng)積分∫L(Pdx+Qdy)為第二型曲線(xiàn)積分.意義第二型曲線(xiàn)積分的意義在于，它可以用來(lái)計(jì)算曲線(xiàn)L上的面積、體積、功等.第二型曲線(xiàn)積分的性質(zhì)線(xiàn)性性第二型曲線(xiàn)積分對(duì)被積函數(shù)具有線(xiàn)性性。積分路徑可加性積分路徑可以分解成多個(gè)子路徑，積分結(jié)果等于各子路徑積分的和。方向性第二型曲線(xiàn)積分的方向性，積分路徑方向相反，積分值符號(hào)相反。第二型曲線(xiàn)積分的計(jì)算公式公式描述∫CPdx+Qdy積分路徑C上的積分，其中P和Q是定義在C上的函數(shù)∫CPdx+Qdy=∫ab[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dt計(jì)算公式，其中t是參數(shù)第二型曲線(xiàn)積分的應(yīng)用流體動(dòng)力學(xué)計(jì)算流體在特定路徑上的流動(dòng)功。力學(xué)計(jì)算力沿著曲線(xiàn)路徑所做的功。電磁學(xué)計(jì)算電場(chǎng)或磁場(chǎng)沿著曲線(xiàn)路徑的積分。第一型與第二型曲線(xiàn)積分的聯(lián)系定義第一型曲線(xiàn)積分定義為沿曲線(xiàn)積分函數(shù)值乘以弧長(zhǎng)，第二型曲線(xiàn)積分定義為沿曲線(xiàn)積分函數(shù)值乘以切向量投影長(zhǎng)度。計(jì)算第一型曲線(xiàn)積分可通過(guò)參數(shù)方程計(jì)算，第二型曲線(xiàn)積分可通過(guò)Green公式轉(zhuǎn)化為第一型曲線(xiàn)積分。第三型曲線(xiàn)積分的定義曲線(xiàn)積分類(lèi)型第三型曲線(xiàn)積分是另一種重要的曲線(xiàn)積分類(lèi)型，它通常用于計(jì)算曲線(xiàn)的長(zhǎng)度或曲面面積.積分定義定義:設(shè)L是空間曲線(xiàn)，f(x,y,z)是L上的連續(xù)函數(shù)，則第三型曲線(xiàn)積分是指將函數(shù)f(x,y,z)沿曲線(xiàn)L積分，其結(jié)果是一個(gè)數(shù)值.第三型曲線(xiàn)積分的性質(zhì)1線(xiàn)性對(duì)于同一曲線(xiàn)，第三型曲線(xiàn)積分對(duì)被積函數(shù)具有線(xiàn)性性質(zhì)。2可加性如果曲線(xiàn)C是由曲線(xiàn)C1和C2拼接而成，則第三型曲線(xiàn)積分可以分解為對(duì)C1和C2的積分。3與路徑無(wú)關(guān)對(duì)于保守向量場(chǎng)，第三型曲線(xiàn)積分與積分路徑無(wú)關(guān)，只與曲線(xiàn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。第三型曲線(xiàn)積分的計(jì)算公式1參數(shù)方程用參數(shù)方程表示曲線(xiàn)，求出參數(shù)的積分上限和下限2被積函數(shù)將被積函數(shù)代入?yún)?shù)方程，轉(zhuǎn)換為參數(shù)形式3微元將曲線(xiàn)微元ds用參數(shù)表示第三型曲線(xiàn)積分的應(yīng)用計(jì)算面積第三型曲線(xiàn)積分可以用來(lái)計(jì)算曲面的面積。計(jì)算流量在流體力學(xué)中，第三型曲線(xiàn)積分可以用來(lái)計(jì)算流體的流量。計(jì)算重心第三型曲線(xiàn)積分可以用來(lái)計(jì)算物體的重心。型曲線(xiàn)積分的廣義定義廣義定義型曲線(xiàn)積分的廣義定義是對(duì)于曲線(xiàn)積分的一種擴(kuò)展，它可以處理更一般的曲線(xiàn)，包括非光滑曲線(xiàn)和閉合曲線(xiàn)。應(yīng)用廣義定義在處理更復(fù)雜的物理和工程問(wèn)題時(shí)更為實(shí)用，例如計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)中的壓力和流速。型曲線(xiàn)積分的直角坐標(biāo)系下的計(jì)算1參數(shù)方程將曲線(xiàn)方程用參數(shù)方程表示2積分變量替換將積分變量替換為參數(shù)3求解定積分利用微積分知識(shí)求解定積分極坐標(biāo)系下的型曲線(xiàn)積分1曲線(xiàn)方程極坐標(biāo)系下，曲線(xiàn)方程可以用ρ=ρ(θ)表示2積分變量積分變量為θ，積分區(qū)間為曲線(xiàn)在極坐標(biāo)系下的參數(shù)方程的θ取值范圍3計(jì)算公式根據(jù)曲線(xiàn)的參數(shù)方程，將積分變量替換成θ，并用極坐標(biāo)系下的面積元素dρdθ替換原來(lái)的面積元素dxdy切線(xiàn)坐標(biāo)系下的型曲線(xiàn)積分1參數(shù)方程曲線(xiàn)可以用參數(shù)方程表示2切向量曲線(xiàn)切線(xiàn)方向由切向量決定3積分變量積分變量為參數(shù)第一型曲線(xiàn)積分的應(yīng)用實(shí)例計(jì)算曲線(xiàn)長(zhǎng)度，例如計(jì)算圓周長(zhǎng)，可以用第一型曲線(xiàn)積分進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算曲面面積，例如計(jì)算曲面旋轉(zhuǎn)體表面積，可以用第一型曲線(xiàn)積分進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算力學(xué)中的功，例如計(jì)算恒力做功，可以用第一型曲線(xiàn)積分進(jìn)行計(jì)算。第二型曲線(xiàn)積分的應(yīng)用實(shí)例第二型曲線(xiàn)積分在物理學(xué)和工程學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。例如，在計(jì)算流體力學(xué)中，我們可以使用第二型曲線(xiàn)積分來(lái)計(jì)算流體的質(zhì)量流量。在電磁學(xué)中，第二型曲線(xiàn)積分可以用來(lái)計(jì)算電場(chǎng)的環(huán)路積分。此外，第二型曲線(xiàn)積分還可以用來(lái)計(jì)算曲面的面積、曲線(xiàn)的長(zhǎng)度以及曲線(xiàn)的曲率。這些應(yīng)用表明，第二型曲線(xiàn)積分是一個(gè)非常強(qiáng)大的工具，可以用來(lái)解決各種問(wèn)題。第三型曲線(xiàn)積分的應(yīng)用實(shí)例例如，在計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)中的流體流過(guò)曲面的流量時(shí)，可以使用第三型曲線(xiàn)積分來(lái)計(jì)算流體在曲線(xiàn)上的流量。在電磁學(xué)中，可以使用第三型曲線(xiàn)積分來(lái)計(jì)算電場(chǎng)或磁場(chǎng)在曲線(xiàn)上的線(xiàn)積分，從而計(jì)算電場(chǎng)或磁場(chǎng)對(duì)電荷或電流的作用力。幾何意義和物理意義面積第一型曲線(xiàn)積分可以用來(lái)計(jì)算平面圖形的面積.體積第二型曲線(xiàn)積分可以用來(lái)計(jì)算旋轉(zhuǎn)曲面的體積.功第二型曲線(xiàn)積分可以用來(lái)計(jì)算力場(chǎng)中物體沿曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)所做的功.作業(yè)演練題1求曲線(xiàn)y=x2從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)的第一型曲線(xiàn)積分∫cy2ds。該積分表示曲線(xiàn)y=x2上從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)的弧長(zhǎng)上的面積?？梢酝ㄟ^(guò)參數(shù)方程和積分公式來(lái)計(jì)算。作業(yè)演練題2計(jì)算曲線(xiàn)積分∫C(x2+y2)ds，其中C為圓周x2+y2=1上從點(diǎn)(1,0)到點(diǎn)(0,1)的弧線(xiàn)。作業(yè)演練題3計(jì)算曲線(xiàn)積分計(jì)算積分路徑為從(0,0)到(1,1)的直線(xiàn)段上的曲線(xiàn)積分。積分路徑變換將積分路徑變換為從(0,0)到(1,0)再到(1,1)的兩條直線(xiàn)段，并計(jì)算積分。格林公式驗(yàn)證使用格林公式驗(yàn)證上述兩種積分路徑的積分結(jié)果。作業(yè)演練題4設(shè)C是由曲線(xiàn)y=x2,x=1,y=0所圍成的曲線(xiàn)，計(jì)算曲線(xiàn)積分∫C(x2+y2)ds.作業(yè)演練題5計(jì)算下列曲線(xiàn)積分其中C為半徑為1的圓周總結(jié)及問(wèn)題討論型曲線(xiàn)積分我們學(xué)習(xí)了型曲線(xiàn)積分的基本概念，以及它們?cè)谖?/p>